正態(tài)總體均值方差區(qū)間估計

1、四四. . 區(qū)間估計區(qū)間估計 譬如，在估計湖中魚數(shù)的問題中，若譬如，在估計湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù)的極大我們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù)的極大似然估計為似然估計為1000條條.121P 湖中魚數(shù)的真值湖中魚數(shù)的真值12 1. 區(qū)間估計定義：區(qū)間估計定義：121P ),(2111nXXX ),(2122nXXX )(21 滿足滿足設設 是是 一個待估參數(shù)，給定一個待估參數(shù)，給定, 0 若由樣本若由樣本X1,X2,Xn確定的兩個統(tǒng)計量確定的兩個統(tǒng)計量則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平（置信度、的置信水平（置信度、置信概率）為置信概率）為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. ,21 12

2、1 和分別稱為置信下限和置信上限分別稱為置信下限和置信上限. 2. 估計的精度要盡可能的高估計的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間如要求區(qū)間12 長度長度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準則它準則.,21 1. 要求要求 以很大的可能被包含在區(qū)間以很大的可能被包含在區(qū)間 21 P內(nèi)，就是說，概率內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大要盡可能大.即要求估計盡量可靠即要求估計盡量可靠. 可靠度與精度是一對矛盾，可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度盡可能提高精度 兩個要求：兩個要求： 1. 選取未知參數(shù)的某個估計量選取未知參數(shù)的某個

3、估計量 ， 2. 尋找置信區(qū)間的方法尋找置信區(qū)間的方法|1P 使得使得 2. 根據(jù)置信水平根據(jù)置信水平 ，找一個正數(shù)，找一個正數(shù) ， 1 誤差限誤差限 . 3. 由不等式由不等式| 可以解出可以解出 ：N(0, 1) 選選 的點估計為的點估計為X求參數(shù)求參數(shù) 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 例例1 設設X1,Xn是取自是取自 的樣本，的樣本， ,2已知 ),(2 N 1XZn 取取明確問題明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？置信水平是多少？ 尋找未知參數(shù)的尋找未知參數(shù)的一個良好估計一個良好估計.解：解： 尋找一個待估參數(shù)和尋找一個待估參數(shù)和

4、估計量的函數(shù)估計量的函數(shù) ，要求，要求其分布為已知其分布為已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率取值于任意區(qū)間的概率.,1 對給定的置信水平對給定的置信水平查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得2,Z 對于給定的置信水平對于給定的置信水平(大概率大概率), 根據(jù)根據(jù)U的分布，的分布，確定一個區(qū)間確定一個區(qū)間, 使得使得U取值于該區(qū)間的概率為取值于該區(qū)間的概率為置信水平置信水平.2|1XPZn 使使 /2 /2X(x)1-z/2-z/221)(2 z221P XZXZnn 從中解得從中解得2|1XPZn 由由于是所求于是所求 的的 置信區(qū)間為置信區(qū)間為 22(,)XZXZnn

5、 置信區(qū)間不是唯一的置信區(qū)間不是唯一的. .對于同一個置信度對于同一個置信度, ,可以可以有不同的置信區(qū)間有不同的置信區(qū)間. .置信度相同時置信度相同時, ,當然置信區(qū)間越短越當然置信區(qū)間越短越好好. .一般來說一般來說, ,置信區(qū)間取成置信區(qū)間取成概率對稱區(qū)間概率對稱區(qū)間. .注意注意 從例從例1解題的過程，我們歸納出求置解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下信區(qū)間的一般步驟如下:1. 明確問題明確問題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間是求什么參數(shù)的置信區(qū)間? 置信水平置信水平 是多少是多少? 12. 尋找參數(shù)尋找參數(shù) 的一個良好的點估計的一個良好的點估計T (X1,X2,Xn) 稱稱S(T

6、, )為樞軸量為樞軸量. 3. 尋找一個待估參數(shù)尋找一個待估參數(shù) 和估計量和估計量T的函數(shù)的函數(shù) S(T, ),且其分布為已知且其分布為已知. 只能含有待估參數(shù)4. 對于給定的置信水平對于給定的置信水平 ，根據(jù)，根據(jù)S(T, )的分布，確定常數(shù)的分布，確定常數(shù)a, b，使得，使得 1 1 P(aS(T, )b)= 5. 對對“aS(T, )b”作等價變形作等價變形,得到如下得到如下形式形式: 121P 12(,) 1 則則 就是就是 的的100( )的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 一、單個總體的情況一、單個總體的情況二、兩個總體的情況二、兩個總體的情況第五節(jié)第五節(jié) 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計正態(tài)總體

7、均值與方差的區(qū)間估計1.均值的置信區(qū)間2.方差的置信區(qū)間1.兩個總體均值差的置信區(qū)間2.兩個總體方差比的置信區(qū)間設總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，(1) 2已知已知, 求求的置信度為的置信度為1-置信區(qū)間置信區(qū)間一、單個正態(tài)總體數(shù)學期望的區(qū)間估計一、單個正態(tài)總體數(shù)學期望的區(qū)間估計)1 ,0(NnXZ/ 從點估計著手構(gòu)造樞軸量: 的1-置信區(qū)間:),(22nzXnzX 構(gòu)造Z的 一個1-區(qū)間:2|1XPZn (2)2未知未知,求求的置信度為的置信度為1-置信區(qū)間置信區(qū)間 從點估計著手構(gòu)造樞軸變量:nSXT/)1n( t) 1n (t2/ 構(gòu)造T的 一個1-區(qū)間:1)1(|(|2

8、/ntTP1nS)1n(tXnS)1n(tXP2/2/ 的1-置信區(qū)間:)nS)1n(tX,nS)1n(tX(2/2/Xf(x)/2/21-/2( 1 )t n 例例1 設正態(tài)總體的方差為1, 根據(jù)取自該總體的容量為100的樣本計算得到樣本均值為5, 求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間.解解 已知2=1, =0.05, 的1-置信區(qū)間：),(22nzXnzX查表：22()1, 1.962zz 的1-置信區(qū)間:(4.804, 5.196)例例2 有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機地取16袋, 稱得重量(單位: 克)如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505

9、493 496 506 502 509 496假設袋裝糖果的重量近似服從正態(tài)分布, 求平均重量的區(qū)間估計, 置信系數(shù)是0.95.解解 未知2, =0.05,求 的1-置信區(qū)間:)nS)1n(tX,nS)1n(tX(2/2/的1-置信區(qū)間:(500.4, 507.1)查表：2(1)2.1315tn 計算：503.75, 6.2022xs 設總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，總體均值總體均值 未知未知 二、單個正態(tài)總體方差的區(qū)間估計二、單個正態(tài)總體方差的區(qū)間估計 構(gòu)造樞軸變量:22) 1(SnQ)1n(2 構(gòu)造Q的 一個1-區(qū)間:121QP 解不等式得到2的1-置信區(qū)間:) 1()

10、 1(,) 1() 1(2212222nSnnSnXf(x)/2/21-121-/2) 1(22n) 1(221n例例 3 投資的回收利用率常常用來衡量投資的風險. 隨機地調(diào)查了26個年回收利潤率(%), 標準差S(%). 設回收利潤率為正態(tài)分布, 求它的方差的區(qū)間估計(置信系數(shù)為0.95).解解 總體均值 未知,=0.05,方差的區(qū)間估計.) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn查表得方差的區(qū)間估計查表得方差的區(qū)間估計 22(0.615,1.905)SS(1) 12, 22已知已知, 1- 2的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間) 1 , 0 (/)()(22212121NnnYXZ

11、 相對1- 2，構(gòu)造樞軸變量: 構(gòu)造Z的 一個1-區(qū)間: 概率恒等變形，得到1- 2的1-置信區(qū)間:1)(22zZzP)(,)(22212122221212nnzYXnnzYX設XN(1,12),Y N(2,22),從中分別抽取容量為n1,n2的樣本,且兩組樣本獨立，樣本均值和樣本方差分別記為.S,Y;S,X2221三、兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計三、兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(2) 12=22=2, 2未知未知,1- 2的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間121212() () (2)1/1/X YTt nnSnn 對于1- 2，構(gòu)造樞軸變量: 構(gòu)造T的 一個1-區(qū)間: 變形得到1- 2的1-置信區(qū)間

12、:121221212211( ()(2),11()(2)X Yt nnSnnX Yt nnSnn 1)2(|(|212nntTP例例 4 某工廠利用兩條自動化流水線罐裝番茄醬, 分別從兩條流水線上抽取隨機樣本: 和 , 計算出 (克), (克), . 假設這兩條流水線上罐裝番茄醬的重量都服從正態(tài)分布, 其總體均值分別為 , 且有相同的總體方差. 試求總體均值差 的區(qū)間估計, 置信系數(shù)為0.95. 1221,XXX1721,YYY6 .10X5 . 9Y7 . 4, 4 . 22221SS21,21 解解 12=22=2, 2未知,1- 2的0.95置信區(qū)間:121221212211( ()(2),11()(2)X Yt nnSnnX Yt nnSnn 222112212(1)(1)2nSnSSnn 其中其中 查