1990考研數(shù)二真題及解析

1、nt =點(diǎn)處的法線方程是 _6曲線(1)已知(A)(C)x2lim -Flx+1a =1,b = 1axb =0,其中a,b是常數(shù)，則Ja = 1,b - -1(B)(D)a 1,b = -1(A) f(x)(B)f(x)dx(C) f(x) C(D)f (x)dx佃90年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題、填空題(本題共5小題，每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)3X = cos t t ,宀十2上對(duì)應(yīng)于點(diǎn)3y = sin t1 tan_1(2)設(shè) y = e X sin ，貝y yr= _X1 _(3) x .1-xdx =_ .-J3-13 下列兩個(gè)積分的大小關(guān)系是：c e

2、 dx _ f ex dx.J_2 J_21Ixl蘭1 設(shè)函數(shù)f(x),則函數(shù)ff(x) = _0, |x1二、選擇題(每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把 所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)設(shè)函數(shù)f(x)在(-：，=)上連續(xù)，則d f(x)dx等于2 已知函數(shù)f (x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且f(X)二f(x),則當(dāng)n為大于2的正整數(shù)時(shí)，f(X)的n階導(dǎo)數(shù)f(x)是()(A) n!f(x)n1(B)nf(x)n1(C) f(x)2n(D)n !f(x)2n設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù)，且F(x)e=iXf(t)dt，則 F (x)等于()(A) -e f(e) - f

3、 (x)(B)-ef(e) f(x)(C) ef(er_ f(x)(D)e f (e) f(x)設(shè)F(x)=號(hào)f(o).x = 0,其中 f(x)在 x=0 處可導(dǎo)，f (0) =0, f (0) =0,則 x = 0 x =0(A)連續(xù)點(diǎn)(B)第一類間斷點(diǎn)(C)第二類間斷點(diǎn)(D)連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)不能由此確定(1)已知lim(匚空)x =9 ,求常數(shù)a.x a是F(x)的三、(每小題5分,滿分25分.) 求由方程2yx =(xy)l n(xy)所確定的函數(shù)y = y(x)的微分dy .1求曲線y2(x 0)的拐點(diǎn)1 +x(4)計(jì)算為dx.(5)求微分方程xlnxdy+(ylnx)dx=0滿足條件

4、yx=e=1的特解四、(本題滿分9分)x2y2在橢圓二2 =1的第一象限部分上求一點(diǎn)P,使該點(diǎn)處的切線、橢圓及兩坐標(biāo)軸所a b圍圖形面積為最小(其中a 0,b0).五、(本題滿分9分)1 応 證明：當(dāng)x 0 ,有不等式arctan x -.x 2六、(本題滿分9分)x In t1設(shè) f (x)dt,其中 x 0,求 f(x) f()1 1 +tx七、(本題滿分9分)過點(diǎn)P(1,0)作拋物線y=寸廠2的切線，該切線與上述拋物線及 x軸圍成一平面圖形 求此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成旋轉(zhuǎn)體的體積.八、(本題滿分9分)求微分方程y 4y 4 eax之通解，其中a為實(shí)數(shù).dy =dy dx dt199

5、0年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析、填空題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分.）1（1）【答案】y-丄8【解析】將t在代入?yún)?shù)方程得宀在匕處的函數(shù)值：7 得切點(diǎn)為（3J3,）8 8過已知點(diǎn)（xo,y）的法線方程為y-y = k（x-冷），當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)（心丫。）處的導(dǎo)數(shù)”1兀y x和時(shí)，k所以需求曲線在點(diǎn)t處的導(dǎo)數(shù).x Ky （xo）6由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可得dtdydx3sin21 cost,2tant,dxdtdt-3cos tsintyx【答案】1 tan e x2 1 sec xdydx= f (u) g (x)或齊冊(cè)-1-2x/ 11 tan sin e xxcos1 Jx

6、 x2【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.y= eX丿I )xIX丿(1 丫1tan11 ( V.tan sin -+eAcos- l 一I x丿xxlx丿f + 1彳 八tan；2 1 -1=e sec 2lx x丿兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式：sin1 extan：x齊 f(u) g(x)或dydxdy du=-T-du dx4【答案】15【解析】對(duì)于原定積分，有換元法或拆項(xiàng)法可選擇 掉積分式子中的根式或使得根式積分可以單獨(dú)積分出結(jié)果,不管是何種方法，最終的目的都是去方法1:換元法，令、1 - x二t,原積分區(qū)間為0豈X乞1,則0乞1 - X乞1,進(jìn)而0乞、一 1 - X乞1,新積分區(qū)間為0乞t乞1 ；當(dāng)x=0時(shí),

7、t =1,當(dāng)x=1時(shí)，t=0,故新積分上限為0,下限為1._ _ 1_1d , 1 - x = dt = dtdx dx,則 dx 二-2tdt.2J1 x2t0 2原式二(1-t2) t (-2tdt)1法線斜率為k3.所以過已知點(diǎn)的法線方程為y 一 1 h：j3(x - 3 3)8 8【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:如果u =g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，而y = f (x)在點(diǎn)u = g(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) y = f lg(x)l在點(diǎn)x可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為【解析】原函數(shù)對(duì)x求導(dǎo)，有f(x) g(x) - f (x) g(x) f(x) g (x).2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：如果u = g(x)在點(diǎn)x

8、可導(dǎo)，而y = f (x)在點(diǎn)u二g(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y二f lg(x) 1在點(diǎn)x可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為sin1tan)e x+ 1 tanx二 e1tan丄sin e xtan!1x sin-0,X2IX +1Pm(1 一a)x2 -(a b)x-b方法2:拆項(xiàng)法,2t2-t4 dtft51515XhX-11,原式二1 .川X-11 、1-xdx1 1 31 -xdx I i1-x 2 dx22 _ J-35 一 15【解析】由于3 .x e3ex在-2,-1連續(xù)且3卜,根據(jù)比較定理得到廣e3dxn f-2-2ex dx.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】對(duì)于相同區(qū)間上的定積分的比較,有“比較定理”如下:若f(x

9、)與g(x)在區(qū)間a,b( a,b為常數(shù),a：b)上連續(xù)且可積,且f(x)_g(x),則bb有.f (x)dx 亠：g(x)dx.aa【答案】1【解析】對(duì)于分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求解必須取遍內(nèi)層函數(shù)的值域 函數(shù)的所有可能的解析式.,不能遺漏，求出復(fù)合后根據(jù)f (x)的定義知,當(dāng)|xQ時(shí),有f(x)=1.代入ff(x),又f(1)=1.于是當(dāng)|x1時(shí),復(fù)合函數(shù)ff(x) =1 ；當(dāng) |x| 1 時(shí),有 f(x) =0.代入 ff(x),又 f (0) =1,即當(dāng) |x| 1 時(shí),也有 ff(x)=1 因此,對(duì)任意的X (：，=),有ff(X)三1.二、選擇題(每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】

10、【解析】C本題考查多項(xiàng)式之比當(dāng)X：時(shí)的極限.由題設(shè)條件，有【答案】【答案】B【解析】由函數(shù)的不定積分公式：若 F (x)是 f (x)的一個(gè)原函數(shù),f (x)dx = F (x) C , dF (x) = f (x)dx,有d f(x)dx = f (x)dx dx = f (x)dx.所以本題應(yīng)該選(B).【答案】A【解析】本題考查高階導(dǎo)數(shù)的求法為方便記y=f(x).由y#y2,逐次求導(dǎo)得324y =2yy =2y ,y =3!y y =3!y，由第一歸納法，可歸納證明y(n)二n!yn 1.假設(shè)n =k成立，即y(k)=k!yk1,則y(f = y(訂珂k!yk* = (k+1)!yk V

11、二 k 1 !yk1 d,所以n二k1亦成立，原假設(shè)成立.【答案】A_xe 【解析】對(duì)F(x)f (t)dt兩邊求導(dǎo)數(shù)得LxF (x) = f (e(ej - f (x)(x)(ej - f (x).故本題選A.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.對(duì)積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若 F(t)一. f (x)dx,(t) , ：(t)均一階可導(dǎo)，則F (t)二 1 (t) f：(t)丨(t) f(t)l.2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果u =g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，而y= f (x)在點(diǎn)u =g(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y = fg(x) 1在點(diǎn)x可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為= f (u) g (x)或dy = y .dxdx du dx【答

12、案】Ba=，否則lim(1_a)x2 _(a + b)x_b、a+b=O,FX+1丿嚴(yán)0.分析應(yīng)有所以解以上方程組，可得a =1,b二-1.所以此題應(yīng)選 C.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】或由x = lim(1 -)xx(xa(1 a)a=lim-xx-x廠 a三7(1 )xae2a -a =e =9, e= xim：2ax 一 a2a【解析】由于lim F(x) =lim f (x) =lim f (x) - f(0),XQx 0 xx0 x_0由函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義f(Xo)=limm = lim f(x rx) f(x)Ax 心T得 lim F (x)=廠(0)式 0 = f (0) = F (0),

13、所以函數(shù)不連續(xù)，且極限存在但不等于函數(shù)值，故為第一類(可去)間斷點(diǎn)，故本題選B.1.函數(shù)y二f (x)在點(diǎn)連續(xù)：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義如果lf(xHf(x0),則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).2.函數(shù)f(X)的間斷點(diǎn)或者不連續(xù)點(diǎn)的定義：設(shè)函數(shù) f (x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義 只要滿足一下三種情況之一即是間斷點(diǎn)(1)在X=x0沒有定義；(2)雖在= x0有定義，但lim f (x)不存在；(3)雖在 = x0 有定義，且 lim f (x)存在，但 lim f(x)=f(x0);通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果怡是函數(shù)f (x)的間斷點(diǎn)，但左極限f(x)及右極限f (x)都存在，那

14、么x0稱為函數(shù)f (x)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn) 稱為第二類間斷點(diǎn) 三、(每小題5分，滿分25分.)1(1)【解析】此題考查重要極限：lim(1)x =巳同理可得a =ln3.(2)【解析】方程兩邊求微分，得2dy -dx = ln(x - y) d (x - y) (x - y) d ln( x - y)(3)【解析】對(duì)分式求導(dǎo)數(shù),有公式U 丿u v ；uv,所以vC為任意常數(shù),如果選擇不當(dāng)可能引起更繁雜的計(jì),積累經(jīng)驗(yàn)二(dx -dy)ln( xy) (xy)dxd x y整理得dy=gdx.-2x, 2(3x2-1)y毛，y(1 + x )(1 + x)11 1令y“=

15、0得x：，y 在此變號(hào),即是x時(shí)，yO；x：. 時(shí),.0;3-,3-7313故拐點(diǎn)為(，一).43 4【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.拐點(diǎn)的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的某一鄰域連續(xù)，函數(shù)f (x)的圖形在點(diǎn) xo處的左右側(cè)凹凸性相反，則稱(xo, f (xo)為曲線f (x)的拐點(diǎn).2.拐點(diǎn)判別定理：(1)設(shè)函數(shù)f(X)在(xo-：,Xo，)連續(xù)，在去心鄰域(xo-：,xo r) 對(duì),就是區(qū)間 (x0-6,+6)內(nèi)不包括點(diǎn)x0二階可導(dǎo)，且f(x)(x-x0)在Ocx-xo C6上不變號(hào)，則 (xo, f(X。)為拐點(diǎn)(2) 設(shè)函數(shù) f (x)在(xo -X。、)二階可導(dǎo),f(X。)=0,又 f (Xo) =

16、 O,則(Xo,f(X。)為拐點(diǎn)本題利用第一個(gè)判別定理就足夠判定所求點(diǎn)是否是拐點(diǎn)了【解析】由一d(1 _X)二d 有(1X)2(1X)2(1X)腭dxxd亡)分部法黑e七dxxln xIn |1 - x | C ,1 -x注：分部積分法的關(guān)鍵是要選好誰先進(jìn)入積分號(hào)的問題 算,最后甚至算不出結(jié)果來在做題的時(shí)候應(yīng)該好好總結(jié)【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】分部積分公式：假定u二u(x)與v = v(x)均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則由于exlnx =i積分得y ln x =ln x通解為y =2代入初始條件yx圭=ln x 1 -+-22ln x【解析】對(duì)橢圓方程進(jìn)行微分,有 xd2x -ab2dx a y過曲線上已知點(diǎn)（x

17、o,y。）的切線方程為y y。= k(x - Xo),當(dāng) y (xo)存在時(shí),k = y (xo).所以點(diǎn)（x, y）處的切線方程為 Y - y二孚（X -x）,化簡(jiǎn)得到a y1 a2SJx -1 二 ab,x (0, a). y 4a,b為常數(shù)，欲使得S的最小，則應(yīng)使得xy最大；從而問題化為求 u =xy（ y由橢圓方程所確定）當(dāng)x（0, a）時(shí)的最大值點(diǎn)令 u = xy,u = xy y = 0 ,得 y=2 2,再對(duì)x2 y? = 1兩邊求導(dǎo)得x a ba合可得x （唯一駐點(diǎn)）,即在此點(diǎn)u-xy取得最大，S取得最小值.,故所求面積為a,x 必為最小uv dx = uv - u vdx,或

18、者 udv 二 uvvdu.（5）【解析】所給方程為一階線性非齊次方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式為* 11y y =xln xxIn x x |,兩邊乘以Inx得(yln x)xln x dx C ,xC+ .ln x11可得C ,所求特解為y =22分別令X =0與Y = 0,得切線在x, y上的截距分別為 x又由橢圓的面積計(jì)算公式二ab,其中a,b為半長(zhǎng)軸和半短軸由于xin4S(xxlirn_0S(xHc,所以S(x)在(0, a)上存在最小值四、（本題滿分9分）1【解析】方法1： f(-)xdt ,由換元積分t1 t1 -1 1,dt 二飛 du , t :1u :1 ； x ；xu2所以x lnt1

19、 tdtIn uu(u 1)du .x In tdt1 t(t 1)晉dtI n2x.2F(x)In1x-1In x而 F(1 11InxF(x)為 f (x)在a,b上點(diǎn),所求P點(diǎn)為五、(本題滿分9分)【解析】證明不等式的一般方法是將表達(dá)式移到不等號(hào)的一邊，令其為f(x),另一邊剩下0,再在給定區(qū)間內(nèi)討論f (x)的單調(diào)性即可證明原不等式4H11令 f (x) = arctanx,則 f (x) 22 ： 0 (x 0).因此，f (x)在x 21+x xn (0, ：)上單調(diào)減；又有l(wèi)im arctanx,所以j楓2兀 1 兀1lim f(x) = lim () = lim 0,xJj 2

20、 x 2 x 廠：x故0 ： x ： :時(shí)，f (x) lim._ f (x) =0 ,所以原不等式得證.六、(本題滿分9分)由區(qū)間相同的積分式的可加性 ，有1方法 2：令 F(x)二 f(x) f (一)，則x由牛頓-萊布尼茲公式，有x In x1F (x) - F (1)dx In x,刃x2112：dx = 0,故 F (x)二 f (x) f ( ) In x . xx 2【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】 牛頓-萊布尼茲公式：設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù), 的任意一個(gè)原函數(shù)，則有1 1y0 =1, y (3) =丄 由此，與拋物線相切于2、3-221(3,1)斜率為-的切線方程為2x -2y =1.旋轉(zhuǎn)

21、體是由曲線 y =f(x)，直線x-2y=1與x軸所圍成的平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的，求旋轉(zhuǎn)體體積V :方法1：曲線表成y是x的函數(shù)，V是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積之差，套用已有公式得1 】(x_1)34 3HX2-2X)3JI方法2:曲線表成是，旋轉(zhuǎn)體體積bbL f(x)dx = F(x)a = F(b)-F(a).x是y的函數(shù)，并作水平分割，相應(yīng)于y, y dy 1小橫條的體積微元，如上圖所示，dV =2二 y|_(y22) -(2y 1) dy，V = 2和1 (y3 -2y2 + y)dy = 2沢卩 y- y- y20432 .丿 06【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.由連續(xù)曲線y = f(x)、直線x

22、 =a，x =b及x軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸b 2旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積為：Vf 2(x)dx.La此切線過點(diǎn)P(1,0),所以把點(diǎn)P(1,0)代入切線方程得xo = 3,再X。二3代入拋物線方程得-2時(shí),可設(shè)非齊次方程的特解=-2時(shí),可設(shè)非齊次方程的特解2 axY =x Ae ，代入方程可得所以通解為ax_2xey = (G gx)e2(a+2)2(a = -2),2_2x/丄2x丄X ey =(C| qx)e2(a 一2).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)：設(shè)y (x)是二階線性非齊次方程2.設(shè)f (x)在a,b連續(xù)，非負(fù)，a 0,則曲線y二f(x),直線x二a, x二b及

23、x軸圍成的平b面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為：V =2二xf(x)dx(可用微元法導(dǎo)出).八、(本題滿分9分)【解析】所給方程為常系數(shù)二階線性非齊次方程，特征方程r2 4r 0的根為r1 = r2 - -2 ,原方程右端ex =e*中的=a .1Y=Ae ,代入萬程可得A = . 2)2 , P(x)y Q(x)y = f (x)的一個(gè)特解.Y(x)是與之對(duì)應(yīng)的齊次方程y P(x)y Q(x)y = 0的通解，則y = Y(x) y*(x)是非齊次方程的通解2. 二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法：對(duì)于求解二階常系數(shù)線性齊次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即 y P(x)y： Q(x)y =0中的P(x)、Q(x)均是常數(shù)，方程 變?yōu)閥 py qy =o.其特征方程寫為r2 pr 0,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個(gè)特征根 *, ； 分三種情況：