反三角函數(shù)(1)

1、下頁上頁主頁下頁上頁主頁 反三角函數(shù)反三角函數(shù)下頁上頁主頁(1)什么樣的函數(shù)有反函數(shù)什么樣的函數(shù)有反函數(shù)?一一對應(yīng)函數(shù)有反函數(shù)一一對應(yīng)函數(shù)有反函數(shù)沒有沒有,因為他不是一一對應(yīng)函數(shù)因為他不是一一對應(yīng)函數(shù)(2)互為反函數(shù)圖象之間有什么關(guān)系互為反函數(shù)圖象之間有什么關(guān)系關(guān)于直線關(guān)于直線y=x對稱對稱(4)正弦函數(shù)y=sinx在 上有反函數(shù)嗎？(3)正弦函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx ,余弦函數(shù)y=cosx,正切函數(shù)y=tanx在定義域上有反函數(shù)嗎在定義域上有反函數(shù)嗎? 余弦函數(shù)y=cosx在0， 上有反函數(shù)嗎？正切函數(shù)y=tanx在 上有反函數(shù)嗎？,2 2 (,)2 2 下頁上頁主頁xyo-2 - 2 3

2、4 1-1 正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？)(sinRxxy22 沒有沒有,因為他不是一一對應(yīng)函數(shù)，因為他不是一一對應(yīng)函數(shù)，同一個三角函數(shù)值會對應(yīng)同一個三角函數(shù)值會對應(yīng) 許多角。許多角。 正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？)(sinRxxysin (, )2 2yx x 正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？ 有有,因為它是一一對應(yīng)函數(shù)，因為它是一一對應(yīng)函數(shù)，同一個三角函數(shù)值只對應(yīng)一個角。同一個三角函數(shù)值只對應(yīng)一個角。下頁上頁主頁一、反正弦函數(shù)一、反正弦函數(shù) 1、定義：、定義：正弦函數(shù)正弦函數(shù) 的反函的反函數(shù)數(shù)sin (, )2 2yx x 叫反正弦函數(shù)，記作叫反正弦函

3、數(shù)，記作 (本義反函數(shù)本義反函數(shù)) arcsinxyarcsinyx 習(xí)慣記作習(xí)慣記作 (矯正反函數(shù)矯正反函數(shù)) 1,1, 2 2xy 1,1,arcsin ,xaya 若有下頁上頁主頁理解和掌握 符號arcsin (1)a a （1）、）、 表示一個角表示一個角（2）、這個角的范圍是）、這個角的范圍是,2 2 （3）、這個角的正弦值是）、這個角的正弦值是即即, aarcsinaarcsin,.2 2a 即sin(arcsin )( 1,1)aa a (4)arcsin(sin ),.2 2aa a 下頁上頁主頁21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-1123221-1sin , 1

4、,12 2yx xy arcsin , 1,1,2 2yx xy 2、反正弦函數(shù)、反正弦函數(shù)y=arcsinx,x-1，1的圖象與性質(zhì)：的圖象與性質(zhì)：yxyx22(1)定義域定義域:-1，1。(2)值域值域:,2 2 (3)奇偶性奇偶性:是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，arcsin()arcsin 1,1.xxx (4)單調(diào)性單調(diào)性:是增函數(shù)是增函數(shù)。o下頁上頁主頁(1)arcsin1 _(2)arcsin( 1)_1(3)arcsin0_(4)arcsin_212(5)arcsin()_(6)arcsin_2223(7)arcsin()_(8)arcsin

5、_223(9)arcsin()_2 3、熟記特殊值的反正弦函數(shù)值、熟記特殊值的反正弦函數(shù)值220646433下頁上頁主頁2-2-22O1EF22 只有正弦函數(shù)主值區(qū)間只有正弦函數(shù)主值區(qū)間 上的角才能用上的角才能用反正弦表示反正弦表示ax=?arcsinax1x2x1=-arcsinax2=2+arcsina4、已知三角函數(shù)值求角、已知三角函數(shù)值求角2,2,sinxxy3x4x3arcsinxa 42arcsinxa sin,1,( 1) arcsin ()kx a ax Rx kak z ,2 2 下頁上頁主頁你想學(xué)習(xí)例題講解嗎？你想學(xué)習(xí)例題講解嗎？不，回主頁不，回主頁是，繼續(xù)是，繼續(xù)例1：判

6、斷下列各式是否正確？并簡述理由。3(1)arcsin233(2)arcsin32(3)arcsin12()2kkZ(4)arcsin()arcsin33 (5)sin(arcsin2)222(6)sin(arcsin)1010對錯13錯錯13 錯21對例例2、求下列各式的值：、求下列各式的值：21(1)sin arcsin(2)sin arcsin322(1) 1,1,322sin arcsin33 1(2) 1,1,211sin arcsin22 解：解：例例3、求下列各式的值：、求下列各式的值：34(1)tan arcsin(2)cos arcsin253(3)cos arcsin, 1,

7、1(4)sin 2arcsin5xx 3(1)tan arcsin2tan33,cos0,2 2 23cos1 sin,543cos arcsin55解：解：4(2)arcsin5設(shè)設(shè)4sin5則則例例3、求下列各式的值：、求下列各式的值：34(1)tan arcsin(2)cos arcsin253(3)cos arcsin, 1,1(4)sin 2arcsin5xx ,cos0,2 2 22cos1 sin1,x24cos arcsin15x(3)arcsin,x設(shè)設(shè)sinx則則例例3、求下列各式的值：、求下列各式的值：34(1)tan arcsin(2)cos arcsin253(3)c

8、os arcsin, 1,1(4)sin 2arcsin5xx 333(4)sin 2arcsin2sin arcsincos arcsin5552332155342552425例例4、求下列各式的值：、求下列各式的值：2(1)arcsin sin(2)arcsin sin43(1)arcsin sin42arcsin242(2)arcsin sin33arcsin23下頁上頁主頁251arcsin.251arccos.215arcsin.215arccos._1419983DCBA其最小內(nèi)角為的正弦值成等比數(shù)列，一個直角三角形三內(nèi)角）年全國，理、（Ba故應(yīng)選（舍）或解得成等比數(shù)列，則，解：設(shè)

9、215arcsin215sin215sinsinsin11cos,sin2下頁上頁主頁你想學(xué)習(xí)反余弦函數(shù)嗎？你想學(xué)習(xí)反余弦函數(shù)嗎？不，回主頁不，回主頁是，繼續(xù)是，繼續(xù)下頁上頁主頁xyo-2 - 2 3 4 1-1 沒有沒有,因為他不是一一對應(yīng)函數(shù)，因為他不是一一對應(yīng)函數(shù)，同一個三角函數(shù)值會對應(yīng)同一個三角函數(shù)值會對應(yīng) 許多角。許多角。 余弦函數(shù)余弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？cos ()yx xRcos (0, )yx x 余弦函數(shù)余弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？ 有有,因為它是一一對應(yīng)函數(shù)，因為它是一一對應(yīng)函數(shù)，同一個三角函數(shù)值只對應(yīng)一個角。同一個三角函數(shù)值只對應(yīng)一個角。下頁上頁主頁二、反

10、余弦函數(shù)二、反余弦函數(shù) 1、定義：、定義：余弦函數(shù)余弦函數(shù) 的反函的反函數(shù)數(shù)cos (0, )yx x 叫反余弦函數(shù)，記作叫反余弦函數(shù)，記作 (本義反函數(shù)本義反函數(shù)) arccosxyarccosyx 習(xí)慣記作習(xí)慣記作 (矯正反函數(shù)矯正反函數(shù)) 1,1,0, xy 1,1,arccos ,xaya 若有下頁上頁主頁理解和掌握 符號arccos(1)a （1）、）、 表示一個角表示一個角（2）、這個角的范圍是）、這個角的范圍是0,（3）、這個角的余弦值是）、這個角的余弦值是即即, aarccosaarccos0,.即cos(arccos )( 1,1)aa a (4)arccos(cos ),0

11、, .aa a下頁上頁主頁54.543.532.521.510.5-0.5-1-4-3-2-11234y=cosx,x0，y-1，1y=arccosx,x-1，1y0，-112、反余弦函數(shù)、反余弦函數(shù)y=arccosx,x-1，1的圖的圖象與性質(zhì)象與性質(zhì)oxyyx(1)定義域：定義域：-1，1。(2)值域值域:0，。(3)奇偶性奇偶性: 非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)(4)單調(diào)性單調(diào)性:是減函數(shù)。是減函數(shù)。arccos()arccos 1,1.xxx 下頁上頁主頁arccos()arccos ( 1,1).xx x 證明：證明：11,x11,x cos(arccos )cos(arccos ),xx

12、xarccos0, ,arccos0, ,xx arccos()arccos ( 1,1).xx x 證明：證明：下頁上頁主頁(1)arccos1 _(2)arccos( 1)_1(3)arccos0_(4)arccos_212(5)arccos()_(6)arccos_2223(7)arccos()_(8)arccos_223(9)arccos()_2 3、熟記特殊值的反正弦函數(shù)值、熟記特殊值的反正弦函數(shù)值20342334656下頁上頁主頁只有余弦函數(shù)主值區(qū)間0，上的角才能用反余弦表示2-2-22O1 EFaxarccosax1x2x3-arccosa2-arccosa2+arccosa,

13、0,cosxxy4、已知三角函數(shù)值求角、已知三角函數(shù)值求角cos,1,2arcsin ()x a ax Rxkak z 下頁上頁主頁你想學(xué)習(xí)例題講解嗎？你想學(xué)習(xí)例題講解嗎？不，回主頁不，回主頁是，繼續(xù)是，繼續(xù)例1：判斷下列各式是否正確？并簡述理由。1(1)arccos231(2)arccos32(3)arccos02()2kkZ(4)arccos()arccos33(5)cos(arccos2)222(6)cos(arccos)1010對錯13錯錯13 錯21對例例2、求下列各式的值：、求下列各式的值：211(1)cos arccos(2)arccos cos362(1) 1,1,322cos

14、 arccos33 11(2)arccos cos63arccos26解：解：2cos(arcsin )1xx的過程是求，證明原式的過程就看成一個角分析：可以把cosarcsin x222221arcsincos1sin1cos0cos1sincos2,2,sinarcsinxxxxx所以所以又因為的三角函數(shù)值關(guān)系利用同角則由反正弦的定義知證明：令例例3、證明：、證明：例例4、求下列各式的值：、求下列各式的值：4(1)sin arccos5(2)tan arccos, 1,1,045(3)cos arccosarccos513xxx 4(1)arccos,54cos5 0, ,sin0,23s

15、in1 cos,543sin arccos55設(shè)設(shè)則則例例4、求下列各式的值：、求下列各式的值：4(1)sin arccos5(2)tan arccos, 1,1,045(3)cos arccosarccos513xxx (2)arccos0, ,sin(arccos )0 xxsin(arccos )tan(arccos )cos(arccos )xxx21 cos (arccos )cos(arccos )xx21xx例例4、求下列各式的值：、求下列各式的值：4(1)sin arccos5(2)tan arccos, 1,1,045(3)cos arccosarccos513xxx 45c

16、os arccoscos arccos51345sin arccossin arccos5134531256.51351365 45(3)cos arccosarccos513下頁上頁主頁你想學(xué)習(xí)反正切函數(shù)嗎？你想學(xué)習(xí)反正切函數(shù)嗎？不，回主頁不，回主頁是，繼續(xù)是，繼續(xù)下頁上頁主頁tan (,)2yx xkkz 沒有沒有,因為他不是一一對應(yīng)函數(shù)，因為他不是一一對應(yīng)函數(shù)，同一個三角函數(shù)值會對應(yīng)同一個三角函數(shù)值會對應(yīng) 許多角。許多角。 正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？tan ,(, )2 2yx x 正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？ 有有,因為它是一一對應(yīng)函數(shù)，因為它是一一對應(yīng)函

17、數(shù)，同一個三角函數(shù)值只對應(yīng)一個角。同一個三角函數(shù)值只對應(yīng)一個角。22下頁上頁主頁三、反正切函數(shù)三、反正切函數(shù) 1、定義：、定義：正切函數(shù)正切函數(shù) 的反函的反函數(shù)數(shù)tan (, )2 2yx x 叫反正切函數(shù)，記作叫反正切函數(shù)，記作 (本義反函數(shù)本義反函數(shù)) arctanxyarctanyx 習(xí)慣記作習(xí)慣記作 (矯正反函數(shù)矯正反函數(shù)) ,(, )2 2xR y ,arctan ,xaRya 若有下頁上頁主頁理解和掌握 符號arctan ()a aR（1）、）、 表示一個角表示一個角（2）、這個角的范圍是）、這個角的范圍是(,)2 2 （3）、這個角的正切值是）、這個角的正切值是即即, aarct

18、anaarctan(,).2 2a 即tan(arctan )()aa aR(4)arctan(tan ),(,).2 2aa a 下頁上頁主頁32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-4-3-2-112342、反正切函數(shù)、反正切函數(shù)y=arctanx,xR的圖象與性質(zhì)的圖象與性質(zhì)22Ryxxy)2,2(,tan22)2,2(,arctanyRxxy(1)定義域定義域R(2)值域值域: (,)22 (3)奇偶性奇偶性:是奇函數(shù)是奇函數(shù)arctan(-x)=-arctanx(xR)其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱。(4)單調(diào)性單調(diào)性:是增函數(shù)是增函數(shù)yx下頁上頁主頁(1)arctan1 _(2)arctan( 1)_(3)arctan0_(4)arctan 3_3(5)arctan(3)_(6)arctan_33(7)arctan()_3 3、熟記特殊值的反正切函數(shù)值、熟記特殊值的反正切函數(shù)值3044636下頁上頁主頁只有正切函數(shù)主值區(qū)間 上的角才能 用反正切表示22axx=arctana2323x1x2x1=arctana-x2=arctana+)2,2(,t