第四章數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)建模

1、 一切科學(xué)的抽象，都更深刻、更正確、更全面性地反映著自然列寧第一節(jié) 抽象畢加索抽象畫 數(shù)學(xué)中的“1” 從“一個(gè)人”、“一棵樹”、“一只羊”等客觀事物中抽象出來的，只保留這些對象在數(shù)量上的特性，即量的多少 數(shù)學(xué)中的“圓”從許許多多具體形體中抽象出來的“形”的概念，并沒有顧及它所代表的特殊的質(zhì)的內(nèi)容 純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，所以是非常現(xiàn)實(shí)的材料這些材料以極度抽象的形式出規(guī)，這只能在表面上掩蓋它起源于外部世界的事實(shí)。 恩格斯點(diǎn)、線、面，常量、變量概念 一、抽象方法 抽象是把研究的事物從某種角度看待的本質(zhì)屬性抽取出來舍去其非本質(zhì)屬性進(jìn)行考察的思維方法。在數(shù)學(xué)中，抽象是指從研究對象或

2、問題中抽取出數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其它屬性對其進(jìn)行考察的方法。數(shù)學(xué)中的概念、關(guān)系、定理、方法、符號等都是數(shù)學(xué)抽象或再抽象的思維結(jié)果。抽象思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之一。2.數(shù)學(xué)抽象的基本形式（1）理想化抽象 所謂理想化是指通過抽象得到的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，并非客觀事物本身存在的東西，而是從實(shí)際事物中分離出來的經(jīng)過思維加工得來的，甚至是假想出來的概念和性質(zhì) 。 如，在幾何中的“點(diǎn)”、“直線”、“平面”等抽象概念，在自然界也是不存在的，都是經(jīng)過人們的智慧加工得來的理想化概念幾何中的“點(diǎn)”是從自然界中物體的大小無限地減少可能得到的結(jié)果，或者在物體的大小比較中，大大可以忽略不計(jì)的物體中抽象得來的，而且把它理想

3、化為無長、無寬、無高的“點(diǎn)”同樣，“直線”被理想化為沒有厚度和寬度的線、“平面被理想化為沒有厚度的面等。 在數(shù)學(xué)中，往往在原有的對象中引入理想化元素，創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)理論例如無限遠(yuǎn)點(diǎn)(理想化元素) 和虛根的引入。 上述事例說明，理想化抽象的方法在數(shù)學(xué)的發(fā)展和發(fā)明創(chuàng)造中具有重要的作用”(2)等價(jià)抽象 在數(shù)學(xué)研究中，把同類對象的共同性質(zhì)抽取出來而舍棄對象的其它性質(zhì)，這種抽象方法稱為等價(jià)抽象 例如，對于兩個(gè)集合來說，如果能夠在它們的元素之間建立起一例如，對于兩個(gè)集合來說，如果能夠在它們的元素之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系，則稱它們?yōu)閷Φ鹊募弦粚?yīng)關(guān)系，則稱它們?yōu)閷Φ鹊募献匀粩?shù)自然數(shù)是等價(jià)抽象的結(jié)果是等價(jià)抽

4、象的結(jié)果 又如，兩個(gè)三角形，它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，具有這樣的性質(zhì)的三角形，它們都具有相同的形狀把三角形這種相同的性質(zhì)和形狀的特點(diǎn)抽象出來就得到相似三角形相似三角形的概念這也是等價(jià)抽象 再如，在自然數(shù)中有的數(shù)被一個(gè)自然數(shù)除，都得到相同的余數(shù)(如2，7，12，17，被5除都得到余數(shù)2)，從這類自然數(shù)的共同特征抽象得到同余數(shù)同余數(shù)的概念，也是等價(jià)抽象 等價(jià)關(guān)系滿足以下三條性質(zhì)：等價(jià)關(guān)系滿足以下三條性質(zhì)：自反性、對稱性、傳遞性。自反性、對稱性、傳遞性。 設(shè)有一集合設(shè)有一集合E，如果給定了笛卡爾乘積，如果給定了笛卡爾乘積EE的一個(gè)子集合的一個(gè)子集合R，我們就說，我們就說在在E上定義了一個(gè)二元關(guān)

5、系上定義了一個(gè)二元關(guān)系R.即一個(gè)二元關(guān)系，就是一個(gè)有序偶對的集合。即一個(gè)二元關(guān)系，就是一個(gè)有序偶對的集合。 如果用如果用a,b,c, 表示所考察的一類對象，那么表示所考察的一類對象，那么 自反性：如果對于所有的自反性：如果對于所有的a，都有（，都有（a,a）R，例如數(shù)的相等，自然數(shù)，例如數(shù)的相等，自然數(shù)的整除等的整除等 對稱性：如果（對稱性：如果（a,b）R，則（，則（b,a）R，如數(shù)的不等、直線的平行、，如數(shù)的不等、直線的平行、垂直、相似等垂直、相似等 傳遞性：如果（傳遞性：如果（a,b）R，（，（b,c）R，則（，則（a,c）R.如數(shù)的大小、如數(shù)的大小、直線的平行、整除、相似等直線的平行、

6、整除、相似等（3）強(qiáng)抽象與弱抽象 強(qiáng)抽象是指在已知概念中，加強(qiáng)對某一屬性的限制，抽強(qiáng)抽象是指在已知概念中，加強(qiáng)對某一屬性的限制，抽象出作為原概念特例的新概念的方法，即通過擴(kuò)大原概念的象出作為原概念特例的新概念的方法，即通過擴(kuò)大原概念的內(nèi)涵來建立新概念的抽象方法。內(nèi)涵來建立新概念的抽象方法。 例：從四邊形概念出發(fā)，從兩組對邊給予適當(dāng)限制，則例：從四邊形概念出發(fā)，從兩組對邊給予適當(dāng)限制，則得平行四邊形和梯形的概念。得平行四邊形和梯形的概念。 若從平行四邊形概念出發(fā)，再對邊或角分別適當(dāng)限制，若從平行四邊形概念出發(fā)，再對邊或角分別適當(dāng)限制，有得到矩形、菱形及正方形的概念。有得到矩形、菱形及正方形的概念

7、。 由對數(shù)的概念出發(fā)，對底數(shù)給予適當(dāng)?shù)南拗疲色@得以由對數(shù)的概念出發(fā)，對底數(shù)給予適當(dāng)?shù)南拗?，可獲得以1010為底的常用對數(shù)和以為底的常用對數(shù)和以e e為底的自然對數(shù)等為底的自然對數(shù)等 弱抽象：指在已知概念中，減弱對某一屬性的限制，弱抽象：指在已知概念中，減弱對某一屬性的限制，抽象出比原概念更為廣泛的新概念，使原概念成為新抽象出比原概念更為廣泛的新概念，使原概念成為新概念的特例的方法。即通過縮小原概念的內(nèi)涵來建立概念的特例的方法。即通過縮小原概念的內(nèi)涵來建立新概念的抽象方法。新概念的抽象方法。 例：從全等三角形的概念出發(fā)，借助弱抽象就可獲例：從全等三角形的概念出發(fā)，借助弱抽象就可獲得相似形與等積

8、形的概念，它們分別保留了得相似形與等積形的概念，它們分別保留了“形狀相形狀相同同”及及“面積相等面積相等”的特性。的特性。 又如：在銳角三角函數(shù)概念中，放寬對又如：在銳角三角函數(shù)概念中，放寬對“銳角銳角”的的限制，可以獲得任意角的三角函數(shù)的概念，任意角的限制，可以獲得任意角的三角函數(shù)的概念，任意角的三角函數(shù)保留了三角函數(shù)保留了“比比”的屬性的屬性 （4）存在性抽象（可能性抽象） 先用假設(shè)的方法肯定抽象出來的數(shù)學(xué)概念的存在性，并由此先用假設(shè)的方法肯定抽象出來的數(shù)學(xué)概念的存在性，并由此發(fā)展出一定的數(shù)學(xué)理論，然后在理論和實(shí)踐中加以驗(yàn)證，從而發(fā)展出一定的數(shù)學(xué)理論，然后在理論和實(shí)踐中加以驗(yàn)證，從而確認(rèn)新

9、的數(shù)學(xué)理論的合理性。確認(rèn)新的數(shù)學(xué)理論的合理性。 例如：自然數(shù)列就是存在性一個(gè)例子要把自然數(shù)列無限延伸，必須把人類生命的有限性以及認(rèn)識客觀事物在時(shí)間上的局限性舍去，才有可能實(shí)現(xiàn)無限地延伸自然數(shù)列的設(shè)想從實(shí)踐的觀點(diǎn)來看，能夠?qū)崿F(xiàn)的過程必須是有限個(gè)步驟因此，任何人都不可能把自然數(shù)列延伸到無限的境地但是，人們認(rèn)識到，如果能夠把自然數(shù)列延伸到任何一個(gè)自然數(shù)n，那么必能寫出n后面的一個(gè)自然數(shù)n+1由此，認(rèn)為把自然數(shù)列無限延伸潛在著實(shí)現(xiàn)的可能性，簡稱可能性 從圓內(nèi)接正六邊形算起，把邊數(shù)連續(xù)倍增來計(jì)算圓周長等等，都是以前一步計(jì)算結(jié)果為根據(jù)，就能夠算出后一步的結(jié)果，這就認(rèn)為可能無限地計(jì)算下去由此，得到圓周率的概

10、念，這些都是運(yùn)用了可能性抽象的方法得到的數(shù)學(xué)概念 哥尼斯堡七橋問題： 德國哥尼斯堡市內(nèi)有一條布勒爾河，在這條河上有兩個(gè)支流，在城中心匯合成大河，河中間是島區(qū)，河上有七座橋。問題：能否從任何一點(diǎn)為起點(diǎn)出發(fā)，相繼走過7座橋，而且每座橋只走一次，然后又重新回到起點(diǎn)ABCD例 亞當(dāng)斯先生和亞當(dāng)斯太太參加了一次晚會，同時(shí)出席的還有其他三對夫婦，他(她)們進(jìn)行了種種握手活動(dòng)沒有人同他(她)自己的配偶握手；同時(shí)，沒有人和同一個(gè)人握兩次手；當(dāng)然，也不會有人同自己握手當(dāng)握手完畢之后，亞當(dāng)斯先生問了每個(gè)人，包括他自己的妻子，他或她握過多少次手，令他驚訝的是：每個(gè)人回答的數(shù)字互不相同那么，請問亞當(dāng)斯太太握多少次手？

11、 數(shù)學(xué)的抽象性是顯而易見的我們對抽象的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，而并不考慮在各個(gè)場合下如何把它們與具體的對象聯(lián)系起來 抽象的過程對數(shù)學(xué)的任何一個(gè)分支都是十分典型的各個(gè)自然數(shù)的概念與各種幾何圖形的概念僅僅是兩個(gè)最古老和最基本的數(shù)學(xué)概念 在此以后還有大量的其它概念，它們的數(shù)量是如此之多以致不可能一一列舉，直至諸如復(fù)數(shù)、函數(shù)、積分、微分、算子、n維空間、無窮維空間這樣的抽象物這些抽象物一個(gè)建立在一個(gè)之上，直至達(dá)到了這樣的普遍性以致失去了與日常生活的任何聯(lián)系，從而被普通人認(rèn)為是完全不可理解的。 著名數(shù)學(xué)教育家倫伯格數(shù)學(xué)的抽象性、精確性以及應(yīng)用的廣泛性 是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征亞歷山大洛夫 數(shù)學(xué)被認(rèn)為是在完全抽象的領(lǐng)域里活動(dòng)

12、的科學(xué)，它和自身所研究的任何特殊事例都脫離了關(guān)系。 懷特海 任何一門數(shù)學(xué)分支，無論怎樣抽象，總有一天會被應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)實(shí)之中。 （羅巴切夫斯基）抽象是把研究的事物從某種角度看待的本質(zhì)屬性,舍去其非本質(zhì)屬性進(jìn)行考察的思維方法.抽象經(jīng)歷分離提純簡略的過程數(shù)學(xué)抽象方法是： 指抽取出同類數(shù)學(xué)對象的共同的、本質(zhì)的屬性或特征，舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程 即把研究對象或問題中抽取數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其它屬性對其進(jìn)行考察的思維方法。2005年年10月月12日上午日上午9時(shí)，時(shí)，“神舟六號神舟六號”載人載人飛船順利升空，實(shí)現(xiàn)多飛船順利升空，實(shí)現(xiàn)多人多天飛行，標(biāo)志著我人多天飛行，標(biāo)志著我國航天事

13、業(yè)又上了一個(gè)國航天事業(yè)又上了一個(gè)新臺階，請問：新臺階，請問： “神舟神舟六號六號”載人飛船的運(yùn)行載人飛船的運(yùn)行軌道是什么？軌道是什么？ 神舟六號在進(jìn)入太空后，先以遠(yuǎn)地點(diǎn)神舟六號在進(jìn)入太空后，先以遠(yuǎn)地點(diǎn)347公里、近地點(diǎn)公里、近地點(diǎn)200公里的公里的橢圓軌道橢圓軌道運(yùn)行，后經(jīng)過變軌調(diào)整為距地運(yùn)行，后經(jīng)過變軌調(diào)整為距地343公里的圓形軌道公里的圓形軌道. 只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹。但當(dāng)達(dá)兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善 拉格朗日化形為數(shù)，以數(shù)論形； 化數(shù)為形，以形論數(shù)。二、概括 概括就是把若干事物共同的屬性聯(lián)合起來考察的方法例如，我們從日出日落，潮漲潮退，一年四季及正弦曲線、余弦曲線的圖象等，觀察到這樣的共同屬性：當(dāng)函數(shù)的自變量增加到一定數(shù)值時(shí)，函數(shù)值可以重復(fù)出現(xiàn)我們把這些個(gè)別事物的各自的屬性聯(lián)合起來考察，發(fā)現(xiàn)了它們的共同性質(zhì)變化的周期性 概括的二種形式:. 研究的對象的擴(kuò)大(包括原對象)2. 取消被研究對象的條件限制如三角函數(shù)的研究如運(yùn)算律的研究冪的運(yùn)算性質(zhì)的研究 例如，自然數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)推廣到有理數(shù)運(yùn)算，進(jìn)一步推廣到實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)運(yùn)算，就是運(yùn)用了概括的方法又如，在中學(xué)數(shù)學(xué)里冪的運(yùn)算性質(zhì)，把同底數(shù)的自然數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣