求解電場(chǎng)強(qiáng)度13種方法(附例題)

1、求解電場(chǎng)強(qiáng)度方法分類賞析一必會(huì)的基本方法：1運(yùn)用電場(chǎng)強(qiáng)度定義式求解例1.質(zhì)量為m、電荷量為q的質(zhì)點(diǎn)，在靜電力作用下以恒定速率v沿圓弧從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),，其速度方向改變的角度為B （弧度），AB弧長為s，求AB弧中點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E?！窘馕觥浚嘿|(zhì)點(diǎn)在靜電力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則其所需的向心力由位于圓心處的點(diǎn)V2S電荷產(chǎn)生電場(chǎng)力提供。由牛頓第二定律可得電場(chǎng)力F = F向=m。由幾何關(guān)系有r=-,r日所以F =v m s根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的定義有F _ mv q qs方向沿半徑方向，指向由場(chǎng)源電荷的電性來決定。2 運(yùn)用電場(chǎng)強(qiáng)度與電場(chǎng)差關(guān)系和等分法求解例2 （ 2012安徽卷）如圖1-1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，

2、有方向平行于坐標(biāo)平面的勻強(qiáng) 電場(chǎng)，其中坐標(biāo)原點(diǎn) 0處的電勢(shì)為0V,點(diǎn)A處的電勢(shì)為6V，點(diǎn)B處的電勢(shì)為3V，則電場(chǎng) 強(qiáng)度的大小為AA 200V / mB 2OoV3v / mC 100V/mD 100s/3V/mitem)仙）存冏也Jli*w丿dc（1）在勻強(qiáng)電場(chǎng)中兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U = Ed, d為兩點(diǎn)沿電場(chǎng)強(qiáng)度方向的距離。在一些非強(qiáng)電場(chǎng)中可以通過取微元或等效的方法來進(jìn)行求解。（2若已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)三點(diǎn)電勢(shì)，則利用“等分法”找出等勢(shì)點(diǎn)，畫出等勢(shì)面，確定電場(chǎng) 線，再由勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小與電勢(shì)差的關(guān)系求解。3 運(yùn)用“電場(chǎng)疊加原理”求解圖2例3（2010海南）.如右圖2, M、N和P是以MN為直徑的半圈弧上的

3、三點(diǎn)， O點(diǎn)為半 圓弧的圓心， MOP =60 電荷量相等、符號(hào)相反的兩個(gè)點(diǎn)電荷分別置于： M、N兩點(diǎn)， 這時(shí)O點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為 E ;若將N點(diǎn)處的點(diǎn)電荷移至 P則o點(diǎn)的場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小變?yōu)?e2 ,巳與e2之比為bA 1: 2 B. 2:1 C 2:3D 4:3必備的特殊方法：4 運(yùn)用平衡轉(zhuǎn)化法求解例4 一金屬球原來不帶電，現(xiàn)沿球的直徑的延長線放置a、 b、c一均勻帶電的細(xì)桿 MN，如圖3所示。金屬球上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在球內(nèi)直徑上 三點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為 Ea、Eb、Ec，三者相比（）A . Ea最大B Eb最大C. Ec 最大D Ea= Eb= Ec【解析】：導(dǎo)體處于靜電平衡時(shí)，其內(nèi)部的電場(chǎng)強(qiáng)

4、度處處為零，故在球內(nèi)任意點(diǎn)，感應(yīng) 電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)與帶電細(xì)桿MN在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向相反。均勻帶電細(xì)桿MN可看成是由無數(shù)點(diǎn)電荷組成的。 a、b、c三點(diǎn)中，c點(diǎn)到各個(gè)點(diǎn)電荷的距離最 近，即細(xì)桿在c點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)最大，因此，球上感應(yīng)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)c點(diǎn)最大。故正確選項(xiàng)為Co點(diǎn)評(píng)：求解感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在導(dǎo)體內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)，轉(zhuǎn)化為求解場(chǎng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)問題，即E感=-E外（負(fù)號(hào)表示方向相反）5.運(yùn)用“對(duì)稱法”（又稱“鏡像法”）求解例5. （2013新課標(biāo)I）如圖4, 一半徑為R的圓盤上均勻分布著電荷量為Q的電荷,在垂直于圓盤且過圓心 c的軸線上有a、 b、d三個(gè)點(diǎn)，a和b、b和c

5、、 c和d間的距離均為R，在a點(diǎn)處有一電荷量為q （q0）的固定點(diǎn)電荷已知b點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為零，則d點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)的大小為（k為靜電力常量）13q B. kC. kD. k【解析】:點(diǎn)電荷+q在b點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為E1、薄板在b點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為E2, b點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零是Ei與 E2疊加引起的，且兩者在此處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等,方向相反，大小Ei = E2 =kqE2,方向水平向左；點(diǎn)d 點(diǎn)場(chǎng) Ed= E2 + E3 =根據(jù)對(duì)稱性可知，均勻薄板在d處所形成的電場(chǎng)強(qiáng)度大小也為電荷在d點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)E3 = 電廳，方向水平向左。根據(jù)疊加原理可知,（3R）10kq9R2 點(diǎn)評(píng)：對(duì)稱法是利用帶電體電荷分布具有對(duì)稱性，或帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)具有對(duì)

6、稱性的特點(diǎn)來求合電場(chǎng)強(qiáng)度的方法。通常有中心對(duì)稱、軸對(duì)稱等。圖6例7如圖6所示，在一個(gè)接地均勻?qū)w球的右側(cè)P點(diǎn)距球心的距離為 d,球半徑為R.o在P點(diǎn)放置一個(gè)電荷 量為+q的點(diǎn)電荷。試求導(dǎo)體球感應(yīng)電荷在P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小。析與解：如圖6所示，感應(yīng)電荷在球上分布不均勻， 靠近P 一側(cè)較密，關(guān)于 OP對(duì)稱，因此感應(yīng)電荷的等效分布點(diǎn)在OP連線上一點(diǎn)P。設(shè)P 距離O為r，導(dǎo)體球接地，故球心 O處電勢(shì)為零。根據(jù)電勢(shì)疊加原理可知，導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷總電荷量Q在O點(diǎn)引起的電勢(shì)與點(diǎn)電荷 q在O點(diǎn)引導(dǎo)kq kQR起的電勢(shì)之和為零，即+頁=0,即感應(yīng)電荷量Q = -q。同理，Q與q在球面上任意點(diǎn)引起的電勢(shì)疊加之后也為

7、零，即kQkqR? 一 2Rr cos一八 r2一 R2 -2Rdcos：d2，其中a為球面上任意一點(diǎn)與 0連線和0P的夾角，具有任意性。將Q代入上式并進(jìn)行數(shù)學(xué)變換后得d2r2 -R4 = （2 Rrd2 -2Rd）cosa,由于對(duì)于任意 a角，該式都成立，因此，r滿足的關(guān)玄阜 r系疋2根據(jù)庫侖定律可知感應(yīng)電荷與電荷q間的相互作用力kqQ = kdRq (d -r)2 = (d2 - R2)2據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度定義可知感應(yīng)電荷在p點(diǎn)所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度e = F = 2kdRqq （d -R ）6 運(yùn)用“等效法”求解例6. （ 2013安徽卷）.如圖5所示，xOy平面是無窮大導(dǎo)體的表面，該導(dǎo)體充滿Z :：

8、 0的空間，Z 0的空間為真空。將電荷為 q的點(diǎn)電荷置于z軸上z=h處，則在xOy平面上會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電荷?？臻g任意一點(diǎn)處的電場(chǎng)皆是由點(diǎn)電荷q和導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷共同激發(fā)的。已知靜電平衡時(shí)導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零，則在量）Z軸上z =處的場(chǎng)強(qiáng)大小為（k為靜電力常2A. k4qh2B.k誥C.k笙9h2D. k40q9h2【解析】：求金屬板和點(diǎn)電荷產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)，顯然用現(xiàn)在的公式直接求解比較困難。能否用中學(xué)所學(xué)的知識(shí)靈活地遷移而解決呢？當(dāng)然可以。由于xOy平面是無窮大導(dǎo)體的表面,電勢(shì)為0，而一對(duì)等量異號(hào)的電荷在其連線的中垂線上電勢(shì)也為0,因而可以聯(lián)想成圖 6中所示的兩個(gè)等量異號(hào)電荷組成的靜電場(chǎng)等效替代原

9、電場(chǎng)。根據(jù)電場(chǎng)疊加原理，容易求得z =點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，E = k -fr- k q = k -7，故選項(xiàng)D正確。2（2）2（3）29h2（2）點(diǎn)評(píng)：（1）等效法的實(shí)質(zhì)在效果相同的情況下，利用問題中某些相似或相同效果進(jìn)行知識(shí)遷移的解決問題方法，往往是用較簡(jiǎn)單的因素代替較復(fù)雜的因素。（2）本題也可以用排除法求解僅點(diǎn)電荷q在z =處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)就是k-4，而合場(chǎng)2h強(qiáng)一定大于k糾，符合的選項(xiàng)只有 D正確。h2i mHI*-elm；aqO* - * s；rl E2B兩處的電場(chǎng)方向相反，E1 E2C兩處的電場(chǎng)方向相同，E1 v E2D兩處的電場(chǎng)方向相反，E1v E2.圖7【解析】：將均勻帶電細(xì)桿等分為很多段，每

10、段可看作點(diǎn)電荷，由于細(xì)桿均勻帶電，我們?nèi)關(guān)于P1的對(duì)稱點(diǎn)a,則a與a關(guān)于P1點(diǎn)的電場(chǎng)互相抵消，整個(gè)桿對(duì)于 P1點(diǎn)的電場(chǎng)，僅 僅相對(duì)于a 部分對(duì)于P1的產(chǎn)生電場(chǎng)而對(duì)于 P2,卻是整個(gè)桿都對(duì)其有作用，所以， P2點(diǎn) 的場(chǎng)強(qiáng)大.設(shè)細(xì)桿帶正電，根據(jù)場(chǎng)的疊加，這些點(diǎn)電荷在 P1的合場(chǎng)強(qiáng)方向向左，在 P2的合 場(chǎng)強(qiáng)方向向右，且 E1V E2.故選D .點(diǎn)評(píng)：(1)因?yàn)橹粚W(xué)過點(diǎn)電荷的電場(chǎng)或者勻強(qiáng)電場(chǎng)，而對(duì)于桿產(chǎn)生的電場(chǎng)卻沒有學(xué)過，因而需要將桿看成是由若干個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，再進(jìn)行矢量合成.(2)微元法就是將研究對(duì)象分割成許多微小的單位，或從研究對(duì)象上選取某一“微元”加以分析，找出每一個(gè)微元的性質(zhì)與規(guī)律，然后通過累積

11、求和的方式求出整體的性質(zhì)與規(guī)律。嚴(yán)格的說，微分法是利用微積分的思想處理物理問題的一種思想方法例8如圖7 (a)所示，一個(gè)半徑為R的均勻 帶電細(xì)圓環(huán)，總量為 Q。求圓環(huán)在其軸線上與環(huán) 心0距離為r處的P產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。析與解：圓環(huán)上的每一部分電荷在P點(diǎn)都產(chǎn)上取微元 I，其所帶電荷量q =2R I，在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng):生電場(chǎng)，整個(gè)圓環(huán)在 P所建立電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)等于各 部分電荷所產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)的疊加。如圖7 (b)在圓環(huán)k.qkQ.：l2 2 = 2 2r R 2二R(r R )整個(gè)圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為所有微元產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)矢量和。根據(jù)對(duì)稱性原理可，所有微元在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)沿垂直于軸線方向的分量相互抵消，所以整個(gè)圓

12、環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)中各微元產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)沿軸線方向分量之和，即Ep =工cos0=工kQAIr2：R(r2 R2)：廠R2kQr (r2 R2)38 運(yùn)用“割補(bǔ)法”求解例8.如圖8所示，用長為L的金屬絲彎成半徑為 r的圓弧，但在 A、B之間留有寬度 為d的間隙，且d遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于r，將電量為Q的正電荷均為分布于金屬絲上，求圓心處的電場(chǎng) 強(qiáng)度?！窘馕觥浚杭僭O(shè)將這個(gè)圓環(huán)缺口補(bǔ)上，并且已補(bǔ)缺部分的電荷密度 與原有缺口的環(huán)體上的電荷密度一樣，這樣就形成一個(gè)電荷均勻 分布的完整帶電環(huán)，環(huán)上處于同一直徑兩端的微小部分所帶電荷 可視為兩個(gè)相應(yīng)點(diǎn)的點(diǎn)電荷，它們?cè)趫A心O處產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加后合場(chǎng)強(qiáng)為零。根據(jù)對(duì)稱性可知，帶電小段，

13、由題給條件可視為點(diǎn)電荷，它在圓心O處的場(chǎng)強(qiáng)是可求的。若題中待求場(chǎng)強(qiáng)為巨則E+ E 2= 0。設(shè)原缺口環(huán)所帶電荷的線密度為p , ；-= Q/(2二r-d)，則補(bǔ)上的那一小段金屬絲帶電量Q = ： d，在0處的場(chǎng)強(qiáng)E1 = K Q /r 2,由E+巳=0可得：巳=-已，負(fù)號(hào)表示 E?與E反向，背向圓心向左。例9如圖8 (a)所示，將表面均勻帶正電的半球，沿線分成兩部分，然后將這兩部分 移開很遠(yuǎn)的距離，設(shè)分開后的球表面仍均勻帶電。試比較A點(diǎn)與A點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。析與解：如圖8 ( b)所示，球冠上正電荷在 A點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 E1、球?qū)用嫔险?荷在A點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度為 E2。球冠與球?qū)觾刹糠植灰?guī)

14、則帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，無法用所(a)(b)(c)在球?qū)颖砻娓街粋€(gè)與原來完全相同的帶正電半球體，如圖8 （c）所示，顯然由疊加原理可知，在 A 點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度 E3 E2。若將球冠與補(bǔ)償后的球缺組成一個(gè)完整球體，則 則均勻帶電球體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零可知，Ei與E3大小相等，方向相反。由此可以判斷，球冠面電荷在 A點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 Ei大于球?qū)用骐姾稍?A點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度 E2。9運(yùn)用“極值法”求解例9.如圖9所示，兩帶電量增色為 +Q的點(diǎn)電荷相距2L, MN是兩電荷連線的中垂線， 求MN上場(chǎng)強(qiáng)的最大值?！窘馕觥浚河脴O限分析法可知，兩電荷間的中點(diǎn)0處的場(chǎng)強(qiáng)為零，在中垂線 MN處的無窮遠(yuǎn)處電場(chǎng)也

15、為零，所以 MN上必有場(chǎng)強(qiáng)的最大值。最常規(guī)方法找出所求量的函數(shù)表達(dá)式，再 求極值。點(diǎn)評(píng)：物理學(xué)中的極值問題可分為物理型和數(shù)學(xué)型兩類。物理型主要依據(jù)物理概念、定理、 定律求解。數(shù)學(xué)型則是在根據(jù)物理規(guī)律列方程后，依靠數(shù)學(xué)中求極值的知識(shí)求解。本題屬于數(shù)學(xué)型極值法，對(duì)數(shù)學(xué)能力要求較高，求極值時(shí)要巧妙采用數(shù)學(xué)方法才能解得。10運(yùn)用“極限法”求解例10 （2012安徽卷）.如圖11-1所示，半徑為 R的均勻帶電圓形平板，單位面積帶電量為 二，其軸線上任意一點(diǎn) P （坐標(biāo)為x）的電場(chǎng)強(qiáng)度可以由庫侖定律和電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理求x出：E =2二k；1-2廠萬，方向沿x軸?，F(xiàn)考慮單位面積帶電量為I。的無限大均勻（R

16、2 +x2）帶電平板，從其中間挖去一半徑為r圓板，在Q處形成的場(chǎng)強(qiáng)為E=2二k；0。的圓版，如圖11-2所示。則圓孔軸線上任意一點(diǎn)Q （坐標(biāo)為x）的電場(chǎng)強(qiáng)度為2 二 20x22、1/2(r x )B.2：k；0r(r x )xC.2*0 rrD. 2 二 k；0 x【解析1】：由題中信息可得單位面積帶電量為匚0無限大均勻帶電平板，可看成是Rts的圓板，在Q處形成的場(chǎng)強(qiáng)為E =2二 k；0。而挖去的半徑為圖 11-1r的圓板在Q點(diǎn)形成的場(chǎng)強(qiáng)為圖 11-2xE =2Z01FT，則帶電圓板剩余部分在Q點(diǎn)形成的場(chǎng)強(qiáng)為E _E J2：k；0x/ 2 2、1/2(r x )正確選項(xiàng):【解析2】：Rts的圓

17、板，在Q處形成的場(chǎng)強(qiáng)為E =2二k；0。當(dāng)挖去圓板rT0時(shí)，坐標(biāo)x處的場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)為E =2二k；1，將r=0代入選項(xiàng)，只有A符合。點(diǎn)評(píng)：極限思維法是一種科學(xué)的思維方法，在物理學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用。 我們可以將該物理量或它的變化過程和現(xiàn)象外推到該區(qū)域內(nèi)的極限情況（或極端值），使物理問題的本質(zhì)迅速暴露出來，再根據(jù)己知的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)很快得出規(guī)律性的認(rèn)識(shí)或正確的判斷。11.運(yùn)用“圖像法”求解例11（2011北京理綜）.靜電場(chǎng)方向平行于x軸，其電勢(shì) 擬x的分布可簡(jiǎn)化為如圖12所示的 折線，圖中g(shù)和d為已知量。一個(gè)帶負(fù)電的粒子在電場(chǎng)中以 x=0為中心，沿x軸方向做周期性 運(yùn)動(dòng)。已知該粒子質(zhì)量為 m、電量為-q,其

18、動(dòng)能與電勢(shì)能之和為一 A （0Aqg）。忽略重力。圖12求：（1）粒子所受電場(chǎng)力的大小?！窘馕觥浚海?）由圖可知，0與d （或-d）兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為 g cp電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E二0d電場(chǎng)力的大小F二qE = q 0d點(diǎn)評(píng)：物理圖線的斜率，其大小為k=縱軸量的變化量/橫軸量的變化量。但對(duì)于不同的具體問題,k的物理意義并不相同。描述電荷在電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力F與電量q關(guān)系的F-q圖像的斜率表示電場(chǎng)強(qiáng)度，同樣，電勢(shì)對(duì)電場(chǎng)方向位移圖像的斜率也表示場(chǎng)強(qiáng)。12.運(yùn)用“類比法”求解例10如圖9 （a）所示，ab是半徑為r的圓的一條直徑，該圓處于勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng) 強(qiáng)度為E。在圓周平面內(nèi)，將一電荷量為q的帶正電小球從 a點(diǎn)以相同的動(dòng)能拋出，拋出方 向不同時(shí)，小球會(huì)經(jīng)過圓周上不同的點(diǎn)。在這些點(diǎn)中，到達(dá)c點(diǎn)時(shí)小球的動(dòng)能最大。 已知/ cab=30 若不計(jì)重力和空氣阻力，試求： 電場(chǎng)的方向與弦ab間的夾角。 若小球在 a點(diǎn)時(shí)初速度方向與電場(chǎng)方 向垂直，則小球恰好落在 c點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為多大。析與解： 求解電場(chǎng)強(qiáng)度方向問題看起來簡(jiǎn)單但有時(shí)是比較復(fù)雜而困難的。本題中，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，僅電場(chǎng)力做功，不計(jì)重力，則電 勢(shì)能與動(dòng)能之和