矩陣在圖像處理中的若干應(yīng)用11

1、矩陣在圖像處理中的若干應(yīng)用1緒論目前，隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，現(xiàn)實(shí)生活中有大量的信息用數(shù)字進(jìn)行存儲(chǔ)、處理和傳送。而傳輸帶寬、速度和存儲(chǔ)器容量等往往有限制，因此數(shù)據(jù)壓縮就顯得十分必要。數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)已經(jīng)是多媒體發(fā)展的關(guān)鍵和核心技術(shù)。圖像文件的容量一般都比較大，所以它的存儲(chǔ)、處理和傳送會(huì)受到較大限制，圖像壓縮就顯得極其重要。當(dāng)前對(duì)圖像壓縮的算法有很多，特點(diǎn)各異，類似JPEG 等許多標(biāo)準(zhǔn)都已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。奇異值分解(Singular Value Decomposition ，SVD) 是一種基于特征向量的矩陣變換方法，在信號(hào)處理、模式識(shí)別、數(shù)字水印技術(shù)等方面都得到了應(yīng)用。由于圖像具有矩陣結(jié)構(gòu)，有

2、文獻(xiàn)提出將奇異值分解應(yīng)用于圖像壓縮，并取得了成功，被視為一種有效的圖像壓縮方法。本文在奇異值分解的基礎(chǔ)上進(jìn)行圖像壓縮。2矩陣的奇異值分解原理2.1矩陣的奇異值設(shè)，是的特征值，是的特征值，它們都是實(shí)數(shù)。且設(shè)則特征值與之間的關(guān)系為：，。設(shè)， 的正特征值，的正特征值，稱，是的正奇異值，簡(jiǎn)稱奇異值。若是正規(guī)矩陣，則的奇異值是的非零特征向量的模長(zhǎng)。2.2矩陣的奇異值分解（SVD）若，是的個(gè)正奇異值，則存在階酉矩陣和階酉矩陣，滿足： (1)其中，為奇異對(duì)角陣。滿足是對(duì)角陣，滿足是對(duì)角陣1。的第列為的對(duì)應(yīng)于奇異值對(duì)應(yīng)的左奇異向量，的第列為的對(duì)應(yīng)于奇異值對(duì)應(yīng)的右奇異向量。它們的每一列均為單位向量，且各列之間相

3、互正交。若，是的個(gè)正奇異值，則總有次酉矩陣，滿足：，其中。奇異值分解是一種基于特征向量的矩陣變換方法。奇異值分解是現(xiàn)代數(shù)值的最基本和最重要的工具之一。3矩陣的奇異值分解在圖像壓縮中的應(yīng)用3.1奇異值分解壓縮原理分析用奇異值分解來(lái)壓縮圖像的基本思想是對(duì)圖像矩陣進(jìn)行奇異值分解，選取部分的奇異值和對(duì)應(yīng)的左、右奇異向量來(lái)重構(gòu)圖像矩陣。根據(jù)奇異值分解的圖像性質(zhì)1和4可以知道，奇異值分解可以代表圖像的能量信息，并且可以降低圖像的維數(shù)2。如果表示個(gè)維向量，可以通過(guò)奇異值分解將表示為個(gè)維向量。若的秩遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于和，則通過(guò)奇異值分解可以大大降低的維數(shù)。對(duì)于一個(gè)像素的圖像矩陣，設(shè)，其中，。按奇異值從大到小取個(gè)奇異值和

4、這些奇異值對(duì)應(yīng)的左奇異向量及右奇異向量重構(gòu)原圖像矩陣。如果選擇的，這是無(wú)損的壓縮；基于奇異值分解的圖像壓縮討論的是，即有損壓縮的情況。這時(shí)，可以只用個(gè)數(shù)值代替原來(lái)的個(gè)圖像數(shù)據(jù)。這個(gè)數(shù)據(jù)分別是矩陣的前個(gè)奇異值， 左奇異向量矩陣的前列和 右奇異向量矩陣的前列元素。比率： (2)稱為圖像的壓縮比。顯然，被選擇的奇異值的個(gè)數(shù)應(yīng)該滿足條件，即。故在傳送圖像的過(guò)程中，不需要傳個(gè)數(shù)據(jù)，而只需要傳個(gè)有關(guān)奇異值和奇異向量的數(shù)據(jù)即可。接收端，在接收到奇異值以及左奇異向量和右奇異向量后，可以通過(guò)： (3)重構(gòu)出原圖像矩陣。與的誤差為： (4)某個(gè)奇異值對(duì)圖像的貢獻(xiàn)可以定義為，對(duì)一幅圖像來(lái)說(shuō)，較大的奇異值對(duì)圖像信息的

5、貢獻(xiàn)量較大，較小的奇異值對(duì)圖像的貢獻(xiàn)較小。假如接近1，該圖像的主要信息就包含在之中。通常圖像的奇異值都具“大L 曲線”，只有不多的一些比較大的奇異值，其它的奇異值相對(duì)較小，因此一般只需要比較小的k 就使接近1。在滿足視覺(jué)要求的基礎(chǔ)上，按奇異值的大小選擇合適的奇異值個(gè)數(shù)，就可以通過(guò)將圖像恢復(fù)。越小，用于表示的數(shù)據(jù)量就小，壓縮比就越大，而越接近，則與就越相似。在一些應(yīng)用場(chǎng)合中，如果是規(guī)定了壓縮比，則可以由式求出，這時(shí)也同樣可以求出。3.2奇異值分解壓縮應(yīng)用過(guò)程在對(duì)圖像進(jìn)行操作時(shí)，因?yàn)榫仃嚨木S數(shù)一般較大，直接進(jìn)行奇異值分解運(yùn)算量大，可以將圖像分解為子塊，對(duì)各子塊進(jìn)行奇異值分解并確定奇異值個(gè)數(shù)，將每個(gè)

6、子塊進(jìn)行重構(gòu)。這樣操作除了因?yàn)閷?duì)較小型的矩陣進(jìn)行奇異值分解的計(jì)算量比較小外，另一方面是為了利用原始圖像的非均勻的復(fù)雜性。如果圖像的某一部分比較簡(jiǎn)單，那么只需要少量的奇異值，就可以達(dá)到滿意的近似效果。為了保證圖像的質(zhì)量就需要較多的奇異值。但是各個(gè)子塊的奇異值數(shù)目， 大小各不相同， 因此可以考慮為每個(gè)子塊自適應(yīng)的選擇適當(dāng)?shù)钠娈愔禂?shù)目。一種簡(jiǎn)單的方法是定義奇異值貢獻(xiàn)量的和來(lái)選擇，其中是一個(gè)接近1的數(shù)。對(duì)常見(jiàn)的256 256 .bmp格式的圖像（位圖），劃分為44個(gè)子塊，每個(gè)子塊大小為6464。對(duì)每個(gè)子塊根據(jù)來(lái)選擇所需要的奇異值數(shù)目3。增大的值來(lái)選擇奇異值數(shù)目，可以推理得隨著不斷增大，視覺(jué)效果越來(lái)越好

7、。隨著不斷增大，需要的奇異值也增多，壓縮比會(huì)減小。4矩陣奇異值分解在圖像隱藏中的應(yīng)用4.1數(shù)字圖像置亂的數(shù)學(xué)性質(zhì)置亂原理：將原來(lái)點(diǎn)處的像素對(duì)應(yīng)的灰度值或RGB顏色值移動(dòng)到變換后的點(diǎn)處，數(shù)字圖像的置亂有基于位置空間、色彩空間和頻率空間的置亂變換。置亂具有周期性，如果對(duì)一個(gè)數(shù)字圖像反復(fù)地使用置亂變換，當(dāng)經(jīng)過(guò)一定周期的迭代后，會(huì)出現(xiàn)復(fù)現(xiàn)原圖像。我們構(gòu)造自同構(gòu)變換如下： (5)則置亂次數(shù)及k可作為隱藏系統(tǒng)的密碼，從而提高了系統(tǒng)的安全性和保密性。4.2數(shù)字圖像的奇異值分解一幅靜態(tài)圖像，實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)彩色或灰度像素矩陣，在線性代數(shù)中，矩陣的特征值是矩陣特征的體現(xiàn)，而矩陣的奇異值在體現(xiàn)矩陣特征方面，要優(yōu)于特

8、征值，圖像矩陣的奇異值反映了圖像的“能量特性”，對(duì)應(yīng)奇異向量則反映了圖像的“幾何特性”，它對(duì)圖像的灰度變化具有不敏感性，圖像奇異值的細(xì)微變化不會(huì)引起圖像視覺(jué)質(zhì)量的下降，如果對(duì)圖像矩陣做轉(zhuǎn)置運(yùn)算，其奇異值不發(fā)生變化。矩陣奇異值具有很好的穩(wěn)定性，當(dāng)矩陣A有微小振動(dòng)時(shí)，其奇異值的改變不會(huì)大于振動(dòng)矩陣的2范數(shù)。若矩陣奇異值經(jīng)過(guò)歸一化處理，則可實(shí)現(xiàn)奇異值的比例不變性。另外，矩陣奇異值還具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此，奇異值能有效地反映矩陣的特征，在圖像處理中能表現(xiàn)圖像的代數(shù)特性。矩陣分解在一定程度上可以用來(lái)進(jìn)行圖像壓縮.對(duì)于圖像分解得到的奇異值矩陣,將其較小的一些對(duì)角元清為0,再進(jìn)行反變換即可完成圖像的有損壓縮.

9、方法的基本原理是將水印嵌入到圖像矩陣的奇異值中。在水印的嵌人過(guò)程中對(duì)圖像矩陣的奇異值分解，得到兩個(gè)正交矩陣、及一個(gè)對(duì)角陣。水印 被疊加到矩陣上，對(duì)新產(chǎn)生的矩陣進(jìn)行奇異值分解，得到、和，其中常數(shù)調(diào)節(jié)水印的疊加強(qiáng)度。然后將矩陣、和 相乘，得到處理后的包含水印的圖像 。即如果矩陣和 分別表示原始圖像矩陣和水印，那么通過(guò)以下的四個(gè)步驟得到水印圖 ：(1)將圖像矩陣進(jìn)行奇異值分解 (2)讀取水印圖像，將其迭加到對(duì)角陣上得到新矩陣 (3)將新矩陣進(jìn)行奇異值分解 (4)得到含水印的圖像 4.3數(shù)據(jù)隱藏算法數(shù)字水印技術(shù)實(shí)際上就是一種數(shù)據(jù)隱藏技術(shù)，它是把一些附加信息（水印信息）直接嵌入原始數(shù)字信息的內(nèi)容中，我們

10、將上述技術(shù)應(yīng)用于數(shù)字水印中，采用了置亂與奇異值分解結(jié)合的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)隱藏于提取，收到了較好的效果。 從水印的提取方法來(lái)看，可分為提取時(shí)需要原圖像和不需要原圖像兩種，后者被稱為盲水印，我們實(shí)現(xiàn)的是盲水印處理，處理過(guò)程如圖1所示：原始圖像置亂加密水印信息嵌入置亂逆運(yùn)算置亂加密水印信息提取水印驗(yàn)證水印圖像嵌入水印圖像嵌入水印的圖像圖1 盲水印基本處理過(guò)程本文算法的具體描述如下：（a）水印圖像的嵌入設(shè)M為載體圖像，W為水印圖像（1） 利用Arnold變換對(duì)載體圖像M進(jìn)行置亂變換，得到（2） 對(duì)分為互不相關(guān)的大小為的若干塊（3） 對(duì)每一小塊進(jìn)行奇異值分解，得到降序排列的奇異值R為圖像矩陣的秩，U、V為對(duì)

11、應(yīng)的左右奇異矩陣，對(duì)S矩陣來(lái)說(shuō)，顯然是,.（4） 求相鄰塊BLOCK1,BLOCK2的S值的相似系數(shù)（5） 若兩塊相似，求其S(1,1)最小值，將兩相似塊S(1,1)置為同樣值。（6） 修改S值，進(jìn)行微量調(diào)整以嵌入水印信息。（7） 計(jì)算嵌入水印后的該兩圖像塊的新S值。（8） 得到新的圖像塊，填回圖像矩陣中。（9） 重復(fù)上述（2）（8）步，直至該圖像所有信息全部嵌入數(shù)字圖像中。（10） 對(duì)做復(fù)原逆變換，得到為正常顯示圖像。（b）水印的提取過(guò)程水印提取采用了最常用的提取方法，就是運(yùn)用加入水印逆運(yùn)算。（1） 對(duì)M（加入水印的圖像）做置換，得到（2） （2）對(duì)含有水印的圖像矩陣進(jìn)行分塊，對(duì)分塊進(jìn)行奇異

12、值分解 為分解后的按降序排列的奇異值向量，U、V為正交的奇異矩陣。（3） 計(jì)算相鄰矩陣的相似系數(shù)。（4） 若兩塊相似，則按相應(yīng)規(guī)則提取水印。（5） 重復(fù)（2）(4)步，直至取出所有的水印W。（c） 圖像實(shí)驗(yàn)結(jié)果將水印放入圖像中，得到的結(jié)果如圖1所示，此時(shí)的仿真時(shí)間為0.546s，信噪比為36.84。圖1 基于置亂變換與奇異值分解的數(shù)字水印圖像處理將水印從圖像中提取出來(lái)如圖2所示。此時(shí)的仿真時(shí)間為0.2652s，相似度比為0.9897?？梢钥闯鎏崛〕鰜?lái)的水印與原來(lái)的水印是一致的，效果非常好。圖2 將水印提取出來(lái)和原來(lái)水印之間的比較由于奇異值具有相對(duì)穩(wěn)定的特點(diǎn)，水印被疊加在圖像的SVD域上，使算法

13、具有較好的穩(wěn)定性和安全性，嵌入水印的圖像保持了較好的品質(zhì)，算法采用了相鄰塊存放的策略，使得提取水印無(wú)需使用原圖像，仿真實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了算法是可行的，特別是與置亂技術(shù)的結(jié)合，更是提高了圖像信息在傳送處理過(guò)程中的安全性，對(duì)于靜止圖像來(lái)說(shuō)，奇異值分解方法與置亂技術(shù)結(jié)合時(shí)一種有效的數(shù)據(jù)隱藏技術(shù)。5總結(jié)本文介紹了兩種矩陣在圖像處理中的常見(jiàn)應(yīng)用。用奇異值分解進(jìn)行圖像壓縮，圖像隱藏。利用文中所述方法，可以獲得成功。盡管如此，仍有些需要改進(jìn)之處。如：在圖像壓縮應(yīng)用中：對(duì)子塊的劃分可以采取更加有效的方法來(lái)完成。例如對(duì)規(guī)模很大的矩陣，隨機(jī)抽取矩陣的某些行列得到規(guī)模較小的矩陣，計(jì)算小矩陣的奇異值，重復(fù)若干次，用這些小矩陣

14、的奇異值逼近原始矩陣的奇異。另外若已知圖像矩陣的奇異值及其特征空間，一般認(rèn)為較大的奇異值及其對(duì)應(yīng)的奇異向量表示圖像信號(hào)，而噪聲反映在較小的奇異值及其對(duì)應(yīng)的奇異向量上。依據(jù)一定的準(zhǔn)則選擇門限，低于該門限的奇異值置零(截?cái)? ，然后通過(guò)這些奇異值和其對(duì)應(yīng)的奇異向量重構(gòu)圖像進(jìn)行去噪。而在圖像隱藏應(yīng)用中：只用奇異值分解也可以對(duì)數(shù)字進(jìn)行隱藏，只是深度不如與置亂技術(shù)結(jié)合隱藏的深，文中用這些性質(zhì)才使得將要隱藏的信息（水?。┣度胼d體后，對(duì)于觀察者的視覺(jué)或聽(tīng)覺(jué)知道奇異值的穩(wěn)定性與旋轉(zhuǎn)不變性，穩(wěn)定性中是利用矩陣的譜半徑，即2-范數(shù)，使觀察者察覺(jué)不出載體數(shù)據(jù)的變換，最理想的情況是水印與原始載體在視覺(jué)上是一模一樣的。

15、6參考文獻(xiàn)1李新, 何傳江. 矩陣論及其應(yīng)用M. 重慶大學(xué)出版社, 2008. 2 王樹(shù)梅, 趙衛(wèi)東, 王志成. 基于 SVD 的圖像數(shù)字水印技術(shù)研究J. 計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì), 2008(6), 11(29): 2834-2839. 3 王磊. 基于SVD 的圖像數(shù)字水印技術(shù)研究D. 安徽：合肥工業(yè)大學(xué), 2009.7附錄程序說(shuō)明1將水印放入圖像的matlab程序代碼clear all;clc;start_time=cputime;file_name=lena.bmp;cover_object=imread(file_name);cover_object =cover_object(:,:,1)

16、;cover_object=double(cover_object);Mc=size(cover_object,1);Nc=size(cover_object,2);file_name=wp.bmp;message=double(imread(file_name);message =message(:,:,1);Mm=size(message,1);Nm=size(message,2);blocksize=8;blocksize1=2;m=(Mc*Nc)/(blocksize2);M=(4*Mm*Nm)/(blocksize12);x=1;y=1;j=1;for(kk=1:m) s=svd(c

17、over_object(y:y+blocksize-1,x:x+blocksize-1); A0(1,j:(j+3)=s(1:4,:); j=j+4; if(x+blocksize)=Nc x=1;y=y+blocksize; else x=x+blocksize; end endA=A0(:,1:4*Mm*Nm);q=reshape(A,2*Mm,2*Nm);x=1;y=1;j=1;i=1;for(kk=1:M) s=svd(q(y:y+blocksize1-1,x:x+blocksize1-1); A1(i,j)=s(1,1); if(x+blocksize1)=2*Nm x=1; y=y

18、+blocksize1; i=i+1; j=1; else x=x+blocksize1; j=j+1; endendu,s,v=svd(A1);%a=input(message)a=0.4;u1,s1,v1=svd(s+a*message);save s s;save u1 u1;save v1 v1;A=u*s1*v;i=1;j=1;x=1;y=1;for(kk=1:M) u,s,v=svd(q(y:y+blocksize1-1,x:x+blocksize1-1); s(1,1)=A(i,j);midA(y:y+blocksize1-1,x:x+blocksize1-1)=u*s*v; i

19、f(x+blocksize1)=2*Nm x=1;y=y+blocksize1;i=i+1;j=1; else x=x+blocksize1;j=j+1; endendA=reshape(midA,1,4*Mm*Nm);A0(:,1:4*Mm*Nm)=A;watermarked_image=cover_object;x=1;y=1;j=1;for(kk=1:m) u,s,v=svd(cover_object(y:y+blocksize-1,x:x+blocksize-1); s(1:4,1:4)=diag(A0(1,j:j+3); watermarked_image(y:y+blocksize

20、-1,x:x+blocksize-1)=u*s*v; j=j+4; if(x+blocksize)=Nc x=1;y=y+blocksize; else x=x+blocksize; end endscramble=uint8(midA);imwrite(scramble,midA.bmp,bmp);outme=uint8(watermarked_image);imwrite(outme,svd_watermarked.bmp,bmp);elapsed_time=cputime-start_timexsz=255*255*Nc*Mc/sum(sum(cover_object-watermark

21、ed_image).2);psnr=10*log10(xsz)figure(1)subplot(2,2,1),imshow(imread(lena.bmp)title(原圖)subplot(2,2,2),imshow(uint8(message)title(水印)subplot(2,2,3),imshow(scramble,)title(置亂圖)subplot(2,2,4),imshow(outme,)title(含水印圖)程序說(shuō)明2將水印提取出來(lái)，并與原來(lái)的水印相比較的matlab程序代碼clear all;start_time=cputime;file_name=svd_watermark

22、ed.bmp;cover_object=double(imread(file_name);cover_object =cover_object(:,:,1);Mc=size(cover_object,1);Nc=size(cover_object,2);file_name=wp.bmp;org_message=double(imread(file_name);org_message =org_message(:,:,1);Mm=size(org_message,1);Nm=size(org_message,2);blocksize=8;blocksize1=2;m=(Mc*Nc)/(blocksize2);M=(4*Mm*Nm)/(blocksize12);x=1;y=1;j=1;for(kk=1:m) s=svd(cover_object(y:y+blocksize-1,x:x+blocksize-1); A0(1,j:(j+3)=s(1:4,:); j=j+4; if(x+blocksize)=Nc x=1;y=y+bl