大學(xué)數(shù)學(xué)論文范文

1、畢業(yè)論文題 目 三重積分的計(jì)算與應(yīng)用 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí) 數(shù)學(xué)0802 學(xué) 生 xxxx 學(xué) 號(hào) 20000903042 指導(dǎo)教師 二一二年五月二十五日摘 要三重積分在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛的應(yīng)用.利用三重積分求解不規(guī)則物體的體積，不僅僅是當(dāng)代大學(xué)生要學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)，在很多的大型橋梁，建筑工程中，三重積分也有著不可替代的作用.然而，很多學(xué)生不能熟練掌握三重積分的相關(guān)知識(shí)，因而也不會(huì)去應(yīng)用該知識(shí).為了讓學(xué)生更好地掌握三重積分的相關(guān)知識(shí)，以便以后能夠熟練巧妙運(yùn)用，本文系統(tǒng)的總結(jié)了三重積分的求解方法.求解三重積分最根本的就是將三重積分化為累次積分.但是化為累次積分時(shí)可以有不

2、同的選擇，既可以“先二后一”（坐標(biāo)面投影法），也可以“先一后二”（坐標(biāo)軸投影法），有的題目還可以巧妙地運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性求解，復(fù)雜的題目可以選擇換元法來(lái)求解.不同的方法在不同的情況下適用，對(duì)于一個(gè)題目來(lái)說(shuō)，具體應(yīng)該選擇哪種方法來(lái)求解，則應(yīng)該進(jìn)一步分析.三重積分有著廣泛的應(yīng)用，主要是在大型橋梁工程建設(shè)中用來(lái)計(jì)算不規(guī)則物體的體積.無(wú)論在哪兒應(yīng)用，都要先抽象成數(shù)學(xué)模型，再計(jì)算.因此本文的應(yīng)用只是采用了一些簡(jiǎn)單的例題，關(guān)鍵是讓學(xué)生去體會(huì)不同方法解三重積分的過(guò)程.關(guān)鍵詞：三重積分；先一后二；先二后一；換元法；分析應(yīng)用；abstracttriple integral in the reality in a wid

3、e range of applications. using triple integral solving the volume of irregular objects, is not only the foundation of contemporary college students to learn knowledge, in many large bridges, building engineering, triple integral also having the effect that cannot replace. however, many students cant

4、 master triple integral related information, and thus wont go with the application of the knowledge. in order to let the student to grasp the triple integral of relevant knowledge, so that later skilled to clever apply, this paper summarized the system triple integral solution. solving the most fund

5、amental triple integral is will triple integral into leici points. but into leici integral will have different options, already can after the first one (coordinate surface projection method), also can first after a second (a projection method), some questions can also smart use of symmetry solution,

6、 complex title can choose for yuan method to solve. different methods in different situations, applicable, for a topic for, specific should choose which kind of method to solve, it should be further analysis. triple integral in a wide range of applications, mainly in the large bridge engineering con

7、struction is used to calculate the volume of irregular objects. no matter where application, first into abstract mathematical model, then calculation. so this paper is the application of the simple examples, the key is to let students to experience different ways to solve triple integral process. ke

8、y words： triple integral；after the first one；first after a second；for yuan method； 目 錄摘 要iabstractii目 錄iii1 前 言12 三重積分的定義與性質(zhì)22.1 三重積分的定義22.2 三重積分的性質(zhì)23 三重積分的計(jì)算43.1 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分43.3.1 坐標(biāo)面投影法43.3.2 坐標(biāo)軸投影法73.3.3 利用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算83.2 利用換元法計(jì)算三重積分93.2.1 柱坐標(biāo)變換103.2.2 球坐標(biāo)變換114 三重積分的應(yīng)用144.1 利用三重積分求重心144.2 利用三重積分

9、求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量164.3 利用三重積分求引力175 結(jié) 論20參 考 文 獻(xiàn)21致 謝221 前 言三重積分在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛的應(yīng)用.利用三重積分求解不規(guī)則物體的體積，不僅僅是當(dāng)代大學(xué)生要學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)，在很多的大型橋梁，建筑工程中，三重積分也有著不可替代的作用.在國(guó)內(nèi)，三重積分的實(shí)際應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上國(guó)外應(yīng)用廣泛，因此，國(guó)內(nèi)的學(xué)生很多情況下只限于對(duì)三重積分的書(shū)面認(rèn)識(shí)，意識(shí)不到它在現(xiàn)實(shí)中的廣泛應(yīng)用.很多學(xué)生在學(xué)習(xí)三重積分時(shí)，不了解三重積分的幾何意義，因而不能熟練掌握求解三重積分的方法.當(dāng)面臨求解三重積分問(wèn)題時(shí)，往往不知如何下手.即便是知道將三重積分化為累次積分，也不知道該選用哪種方法求解，求解過(guò)程中更是

10、會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.為了讓學(xué)生更好地掌握三重積分的相關(guān)知識(shí)，本文系統(tǒng)的總結(jié)了三重積分的求解方法，以便學(xué)生盡快掌握相關(guān)內(nèi)容.本文主要是將三重積分所有的求解方法系統(tǒng)的進(jìn)行歸納總結(jié)，詳盡介紹運(yùn)用三重積分求重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，及引力的方法，同時(shí)給出求解上述問(wèn)題的公式，并列舉了部分例題，以便學(xué)生更好地掌握三重積分相關(guān)知識(shí).要想熟練地掌握三重積分，首先要了解三重積分的定義，理解三重積分的定義及意義，熟練掌握三重積分的性質(zhì)，為后面的求解方法打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).（1）在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分時(shí)，可以選用“先一后二”的坐標(biāo)面投影法和“先二后一”的坐標(biāo)軸投影法，甚至可以利用對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行計(jì)算.但是，對(duì)于不同的問(wèn)題，應(yīng)該選擇

11、哪種方法，責(zé)應(yīng)當(dāng)具體問(wèn)題具體分析.（2）利用換元法求解三重積分時(shí)，要注意把空間中的閉區(qū)域一對(duì)一地映成空間中的一般常用的是柱坐標(biāo)變換和球坐標(biāo)變換.當(dāng)選擇用換元法求解三重積分時(shí)，還應(yīng)該注意積分限的確定.三重積分有著廣泛的應(yīng)用，主要是在大型橋梁工程建設(shè)中用來(lái)計(jì)算不規(guī)則物體的體積，重心，在物理學(xué)上求解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，及求質(zhì)點(diǎn)對(duì)其他點(diǎn)的引力.不管什么問(wèn)題，只要遇到三重積分問(wèn)題，先看清題意，將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再套用公式，進(jìn)行計(jì)算.2 三重積分的定義與性質(zhì)2.1 三重積分的定義設(shè)密度函數(shù)是定義在三維空間可求質(zhì)量的有界區(qū)域上的有界函數(shù),現(xiàn)用若干光滑曲面所組成的曲面網(wǎng)來(lái)分割,他把分割成個(gè)小區(qū)域.記的體積為,.

12、在每個(gè)中任取一點(diǎn)，作積分和定義 設(shè)為定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域上的函數(shù)，是一個(gè)確定的常數(shù).若對(duì)任給的正數(shù),總存在某一正數(shù),使得對(duì)于任的意分割,只要,屬于分割的所有積分和都有則稱(chēng)在上可積，數(shù)j稱(chēng)為函數(shù)在上的三重積分，記作其中稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為積分變量，稱(chēng)為積分區(qū)域.當(dāng)時(shí)，在幾何上表示的體積.2.2 三重積分的性質(zhì)性質(zhì)1 若在上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且性質(zhì)2 若在上可積，且無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則在上也可積，且性質(zhì)3 若上可積，且，則性質(zhì)4 若在上可積，則在上也可積，且3 三重積分的計(jì)算3.1 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分在直角坐標(biāo)系下求解三重積分時(shí)，一般是先將三重積分化為累次積分.但是，將三重積

13、分化為累次積分時(shí)，可以“先一后二”也可以“先二后一”.不同的題目，適合化為哪一種累次積分，還得具體問(wèn)題具體分析.3.3.1 坐標(biāo)面投影法如圖2.5，在面上閉區(qū)域的投影為閉區(qū)域,， 過(guò)作一條與軸平行且穿過(guò)閉區(qū)域的直線，這時(shí)，該直線和閉區(qū)域的邊界曲面分別相交于兩點(diǎn)首先，我們將看作定值，則就可以看成只關(guān)于的函數(shù).令在面上，我們可知因此，在上的二重積分有 圖2.5所以三重積分可以化為 這種方法稱(chēng)為坐標(biāo)面投影法，即先一后二法.閉區(qū)域稱(chēng)為型空間區(qū)域.同理，我們可以得到型空間區(qū)域.例1 若使由曲面和平面所圍成的立體，將三重積分化為三次累次積分.圖2.2從圖2.2中可知， .例2 求，其中是由曲面，與平面和所

14、圍成的閉區(qū)域.解 由題意可知 .例3 一立體是由曲面圍成，求該立體的體積.解 由題意可知因此3.3.2 坐標(biāo)軸投影法 圖2.3如圖2.2，把積分區(qū)域向軸投影，得投影區(qū)間用過(guò)且平行于面的平面截，得截面.在截面上，可以計(jì)算二重積分.此時(shí)是關(guān)于的函數(shù)，只需計(jì)算單積分的值就可以得到三重積分的值.由分析可知，三重積分可以化為.這種方法被稱(chēng)為坐標(biāo)軸投影法，即先二后一法.閉區(qū)域.這樣的閉區(qū)域被稱(chēng)為-型空間區(qū)域.同理，可以得到-型，-型空間區(qū)域.例4 計(jì)算三重積分，其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域.解 由題意可知. .例5 計(jì)算，其中是曲面，以及拋物柱面所圍成的閉區(qū)域.解 由題意可知 .3.3.3 利用對(duì)

15、稱(chēng)性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算若是三維空間中關(guān)于面對(duì)稱(chēng)的有界閉區(qū)域，為v上的連續(xù)函數(shù)，則有當(dāng)關(guān)于為奇函數(shù)時(shí)，.當(dāng)關(guān)于為偶函數(shù)時(shí)，.其中為在面上方的部分.3.2 利用換元法計(jì)算三重積分是三維空間中的有界閉區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù).設(shè)變換,.把空間中的閉區(qū)域一對(duì)一地映成空間中的，并設(shè)，及它們的一階偏導(dǎo)數(shù)在內(nèi)連續(xù)且行列式則.例6 利用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，計(jì)算以下曲面所圍成的體積.，.解 令, 即.且滿足因此.3.2.1 柱坐標(biāo)變換設(shè)為空間中的一點(diǎn)，在面上的投影為圖2.4由圖2.4可知，因此在面上的的極坐標(biāo)為，我們稱(chēng)為的柱坐標(biāo).因此，我們得到柱坐標(biāo)變換而相對(duì)應(yīng)的雅克比行列式所以.例7 計(jì)算其中由與所圍的立體.解 .例8

16、求，其中是錐面與平面所圍成的立體.解 柱坐標(biāo)變化 .3.2.2 球坐標(biāo)變換圖2.5如圖2.4，在面內(nèi)的投影為，軸正半軸與的夾角為，軸正半軸與的夾角為，則為的球坐標(biāo).因此，我們得到球坐標(biāo)變換而對(duì)應(yīng)的雅克比行列式所以，三重積分的球坐標(biāo)變換公式為.例9 計(jì)算，其中是由錐面和球面圍成.解 ， . .4 三重積分的應(yīng)用4.1 利用三重積分求重心設(shè)物體占有空間閉區(qū)域，該區(qū)域在點(diǎn)處的密度函數(shù)為，假定在上連續(xù)，則該物體的重心為.例10 已知橢球體的方程為求橢球體的體積.解 做變換其中,.因此 例11 求其中是由與所圍成的區(qū)域.解 做變換使映射到由題意可知.雅克比行列式所以 .例12 求密度均勻的上半橢球體的重

17、心.解 設(shè)橢球體由不等式表示，由對(duì)稱(chēng)性可知 密度均勻，所以為常數(shù).因此由例10和例11可知4.2 利用三重積分求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間閉區(qū)域，在點(diǎn)處的密度為，假定在上連續(xù)，則該物體對(duì)坐標(biāo)面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為該物體對(duì)坐標(biāo)軸的慣量為例13 設(shè)某球體的密度與球心的距離成正比，求它對(duì)于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解 設(shè)球體由不等式表示，密度函數(shù)為其中是比例系數(shù).切平面方程為則球體相對(duì)于平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 .例14 求邊長(zhǎng)為密度均勻的立方體關(guān)于其任一棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖2.6解 如圖2.6所示,正方體的棱長(zhǎng)為，我們求正方體關(guān)于在軸上的那一棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，有公式 4.3 利用三重積分求引力設(shè)物體的密度函數(shù)為該物體對(duì)立體外質(zhì)量為

18、的質(zhì)點(diǎn)的引力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為其中為引力系數(shù)，.例15 設(shè)球體有均勻的密度，求對(duì)球外一點(diǎn)（質(zhì)量為）的引力（引力系數(shù)為）.解 設(shè)球體為球外一點(diǎn)的坐標(biāo)為有對(duì)稱(chēng)性顯然可知因此我們只需計(jì)算，而其中所以 .令.對(duì)做柱坐標(biāo)變換得到，由此可知.因此 .所以因此，該球體對(duì)的引力為：.例16 密度均勻柱體：，單位質(zhì)量的點(diǎn)，求該柱體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.解 由例題15可知 .所以，該柱體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為：.5 結(jié) 論經(jīng)過(guò)分析，我們總結(jié)出了面對(duì)不同問(wèn)題，選擇合適的方法來(lái)計(jì)算三重積分，并給出了三重積分在計(jì)算重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及引力中的應(yīng)用.在直角坐標(biāo)系分一下三種情況給出了計(jì)算（1）當(dāng)平行于軸切穿過(guò)閉域內(nèi)部的直線與閉域的邊界曲面

19、相交不多于兩點(diǎn)的時(shí)候，應(yīng)該選用“先一后二”化為累次積分的方法，即選用坐標(biāo)面投影法.（2）當(dāng)積分區(qū)域是型，恰好是-型或-型，-型的；被積函數(shù)與無(wú)關(guān)，且的面積容易表達(dá)為的函數(shù)時(shí)，易于計(jì)算；應(yīng)當(dāng)選用“先二后一”化為累次積分的方法，即坐標(biāo)軸投影法. （3）積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面具有對(duì)稱(chēng)性；被積函數(shù)在積分區(qū)域上關(guān)于坐標(biāo)軸有奇偶性時(shí)應(yīng)選擇利用對(duì)稱(chēng)性求解三重積分.然后又給出了用換元法計(jì)算三重積分，主要用（1）柱坐標(biāo)變換若的投影區(qū)域是圓或?yàn)閳A域的一部分；被積函數(shù)是或的形式；的邊界曲面為圓柱面或旋轉(zhuǎn)拋物面.（2）球坐標(biāo)變換法積分區(qū)域由球面或圓錐面圍成的立體；被積函數(shù)是的形式.最后給出了三重積分在計(jì)算重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

20、引力等方面的應(yīng)用.參 考 文 獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析m.北京:高等教育出版社, 2001(8):152-1532林謙,在直角坐標(biāo)系下三重積分計(jì)算法的探討j.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1999, (5) :86-883王浚嶺.三重積分先一后二求圍定頂?shù)挠?jì)算方法j.高等數(shù)學(xué)研究,2006,(5):32-34董培建.“截面法”在三重積分計(jì)算中的應(yīng)用j.高等數(shù)學(xué)研究,1994,(1):112-1135董艷梅,林謙.在柱坐標(biāo)系下三重積分計(jì)算法的探討j.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,(2):12-156隋英,孫常春.利用球坐標(biāo)計(jì)算一個(gè)三重積分j.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào),2010,(8):

21、82-857潘正義.對(duì)三重積分f(x,y,z)dxdy方法的一些看法j.高等數(shù)學(xué)研究,1997,(1):11-158徐建新.關(guān)于三重積分的積分限的簡(jiǎn)捷確定j.江西科技師范學(xué)院學(xué)報(bào),1994,(4):102-1139武家華.關(guān)于一類(lèi)三重積分的簡(jiǎn)便求法j.工科數(shù)學(xué),1994,(2):44-4810魏貴珍,喻德生.曲面積分在三重積分中的應(yīng)用j.南昌航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2001,(4):42-4611顧慶鳳.關(guān)于三重積分的積分限的簡(jiǎn)捷確定j.科技資訊,2010,(2):142-14512賈小勇.三重積分化三次積分時(shí)確定積分限的一種方法j.甘肅高師學(xué)報(bào),1999, (5):182-18313李昆,趙剛.三重積分中兩種計(jì)算方法的比較j.孝感學(xué)院學(xué)報(bào),2010,(6):72-7514鮑紅梅,吳延?xùn)|,蔣國(guó)民,華洪波.淺談三重積分積分限的確定j.牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào),2011, (8):74-7815賈建文.三重積分的計(jì)算方法j.高等數(shù)學(xué)研究,2010, (2) :12-1316