Poisson過程PPT精品文檔

1、1隨機數學 第二章第二章 泊松過程與更新過程泊松過程與更新過程教師教師: : 陳陳 萍萍2定義定義稱一個隨機過程稱一個隨機過程是一個是一個過程過程(point process),(point process),若若N(t) N(t) 滿足滿足: :( ),0N t t 2）若）若s0t0和充分小的和充分小的 ，有，有 其中其中 為為 的高階無窮小。的高階無窮小。又稱又稱 為為Poission過過程的強度系數程的強度系數)0(tPoission過程是一個過程是一個Levy過程。過程。5定理定理2.1.12.1.1 若若N(t),t 0為為Poission過程，則過程，則, 0, tsNkektk

2、sNtsNPtk,!)()()()()()(tPsNtsN利用定理利用定理2.1.1 ,可得到可得到Poission過程的等價定義過程的等價定義:即即定義定義2.1.22.1.2 計數過程計數過程N(t),t0稱為具有參數稱為具有參數( (或強度或強度) ) 的的Poission過程，如果過程，如果1 1）N(0)=0 N(0)=0 ，2 2）具有獨立增量性，）具有獨立增量性，3 3）)()()(, 0,tPsNtsNts此即此即6是一計數過程是一計數過程,且且M(0)=0具有獨立增量性具有獨立增量性；只需驗證只需驗證 3),0,()( ) ()s tM stM sPp t70()(1)()!

3、n mtmmnn mnteCppnm0(1)!mntmnetpptmn0()!()(1)! !()!n mtmnnnmteppn mnm(1)#!mmtmptptetpeptemm 0|( )nP M stM smP M stM sm N stN snmP N stN snm8 設首次地震發(fā)生設首次地震發(fā)生(t=0)(t=0)后的一段時間內，破壞性余震后的一段時間內，破壞性余震發(fā)生序列是一個強度為發(fā)生序列是一個強度為(次次/ /小時小時) )的泊松過程的泊松過程. .任意任意時刻時刻t0,t0,以以V(t)表示表示t t時刻之前最后一次破壞性余震時刻之前最后一次破壞性余震直到直到t t時刻所經

4、歷的時間時刻所經歷的時間; ;以以W(t)W(t)表示表示t t時刻之后直到時刻之后直到下一次破壞性余震發(fā)生的剩余時間下一次破壞性余震發(fā)生的剩余時間. .(1)(1)求求V(t)與與W(t)的分布函數的分布函數; ; V(t)與與W(t)獨立嗎獨立嗎? ?(2)(2)已知在此之前最后一次破壞性余震發(fā)生到現(xiàn)在已已知在此之前最后一次破壞性余震發(fā)生到現(xiàn)在已過了過了s s小時小時, ,求未來求未來t t小時內沒有破壞性余震發(fā)生的概小時內沒有破壞性余震發(fā)生的概率率. .9 000 xV txN tN txxtxt 00011txVxFvP V txxtext 00N txN txW txxt 1000t

5、xWextFwP W txx 10泊松過程是獨立增量過程泊松過程是獨立增量過程, , ,x y N tN txN tyN t與獨立 |1tP W tt V tsP W tte 112.2 泊松過程的性質泊松過程的性質2.2.1 到達時間間隔與到達時刻的分布到達時間間隔與到達時刻的分布010inf:,( ),1kkt tN tkk設設N(t),tN(t),t 00為泊松過程，為泊松過程，N(t)N(t)表示在表示在0,t0,t內事內事件發(fā)生的次數，令件發(fā)生的次數，令 ， 表示第表示第k k個事件發(fā)生的個事件發(fā)生的時刻時刻; ; 表示第表示第k-1k-1個事件與第個事件與第k k個事件發(fā)生個事件發(fā)

6、生的時間間隔，即的時間間隔，即k001kkkT12341T2T3T12定理定理2.2.1 (p62)定理定理2.2.1 提供了提供了Poisson過程的參數估計方法過程的參數估計方法.13nniiitnttnneettL01,.1ln00dLdLorddnnt14定理定理2.2.2 到達時間到達時間 的概率密度函數為的概率密度函數為 1(0)()( ).(1)!nntttften n, n證明定理定理2.2.2 提供了Poisson過程的過程的2n( )(1)nitt, n100( )1!knxxkxF xek15122122(2 )2(2 )1nPnn 122122(2 )(2 ),22nn

7、nn0!2221)(22222tetntgtnnn)2(2n22(2 )nn1601()( ).kkEff t dt推論推論 設設N(t), t0N(t), t0是參數為是參數為的泊松過程，的泊松過程， k k11為其到達時刻，則對任意的為其到達時刻，則對任意的00，上的可積上的可積函數函數f f，有，有17的泊松過程，第的泊松過程，第i 次受沖擊次受沖擊0,tDe( )1( )iN ttiitDe tE18定理定理2.2.3 若計數過程若計數過程N(t),t 0的到達時間間隔序列的到達時間間隔序列 是相互獨立同參數為是相互獨立同參數為的指數分布，則的指數分布，則 N(t),t 0是參數為是參

8、數為的泊松過程的泊松過程. ,1nT n 證明定理定理2.2.3 2.2.3 提供了對泊松過程進行計算機模擬及其統(tǒng)提供了對泊松過程進行計算機模擬及其統(tǒng)計檢驗的理論基礎與方法，只需產生計檢驗的理論基礎與方法，只需產生n n個同指數分布的個同指數分布的隨機數隨機數, , 將其作為將其作為Ti, i=1, 即可得到即可得到Poisson過程的一過程的一條樣本軌道條樣本軌道.1920設有設有n n位顧客在位顧客在0 0時刻排隊進入僅有一個服務員的系時刻排隊進入僅有一個服務員的系統(tǒng)統(tǒng). .假定每位顧客的服務時間獨立假定每位顧客的服務時間獨立, ,均服從參數為均服從參數為的指數分布的指數分布. .以以N(

9、t)N(t)表示到表示到t t時刻為止已被服務過的時刻為止已被服務過的顧客人數顧客人數. .求求（1 1）EEN(t) ; ;（2 2）第第n位顧客等候服務時間的數學期望位顧客等候服務時間的數學期望; (3) (3)第第n n位顧客能在位顧客能在t t時刻之前完成服務的概率時刻之前完成服務的概率. .100()1!knxxkxFxek, n21EN(t)第第n位顧客等候服務時間為位顧客等候服務時間為,nn 101!nkntnktPtFtek 11,nn11nnE1111111,nnniniiinT EET222.2.2 2.2.2 到達時刻的條件分布到達時刻的條件分布0),(ttN本節(jié)討論在給

10、定N(t)=n 的條件下，的條件分布及其有關性質。ts 01( )1)sPsN tt這個定理說明，由于泊松過程具有平穩(wěn)獨立增量性，從而在這個定理說明，由于泊松過程具有平穩(wěn)獨立增量性，從而在已知已知0,t 0,t 上有上有1 1個事件發(fā)生的條件下個事件發(fā)生的條件下, ,事件發(fā)生的時間事件發(fā)生的時間1 1應該服從應該服從00，tt上的均勻分布。對此我們自然要問：上的均勻分布。對此我們自然要問：(1)(1)這個性質是否可推廣到的這個性質是否可推廣到的 情形？情形？(2)(2)這個性質是否是泊松過程特有的？換言之，其逆命題是這個性質是否是泊松過程特有的？換言之，其逆命題是否成立？否成立？1,)(nnt

11、N定理定理2.2.42.2.4 設設 是泊松過程，則對是泊松過程，則對 有有23 12(,.,)nUUU12( ,)nf u uu12!,0,0,nnnuuutt其它N(t), t012.n 12.nUUU24的泊松過程，第的泊松過程，第i 次受沖擊次受沖擊0,tDe( )1( )iN ttiitDe tE25則則N(t), t0為泊松過程為泊松過程. . 證略.定理定理2.2.62.2.6 設設N(t), t0為計數過程，為計數過程，T Tn n為第為第n n個事件個事件與第與第n-1n-1個事件的時間間隔，個事件的時間間隔， 獨立同分布且分獨立同分布且分布函數為布函數為F(x),若若F(0

12、)=0，且對且對 , ,都有都有1( )1)PsN t ,1nT n ts 00, tts定理定理2.2.72.2.7 設設N(t), t0為躍度為為躍度為1 1的計數過程，滿足，的計數過程，滿足， t0,N(t) P(t),且在且在N(t)=n條件下，條件下，的條件概率密度是的條件概率密度是1,.,n110.!,.,nnsstnnfsst則則N(t), t0為泊松過程為泊松過程. .證略思考思考: 如何利用以上定理如何利用以上定理 對泊松過程進行計算機模擬和檢驗對泊松過程進行計算機模擬和檢驗?262.3 Poission過程的推廣過程的推廣 ( )1(2.3.1)N tiiX tY2E Y

13、2, varE X ttE YX ttE YN(t),t 0為為Poission過程過程, 1YtsisX tXsE ee 272,N ( )1N tiiX tY2 21exp() 1 ( ) 1122112( )isstsXsee 1E XE Y280,0NntstnentnsNtsNP!|)()(2EtEttN)var()(var2 dGntensNtsNPnt!)()() 1 (029qpPpP1,21 2121( ),()( )0|( )|iiiiiiPP N tn N tsN tPP N tn 30 2121( )|()( )0|( )|iiiiiiiPP N tnP N tsN t

14、PP N tn 112212121211nntstsnnttpteepteeptepte 1221121211nnt st snnt stpepepepe31定義定義2.3.32.3.3 隨機過程隨機過程N(t),t0稱為具有強度函數稱為具有強度函數(t) 的的，如果，如果1 1）是一計數過程）是一計數過程, ,且且N(0)=0 N(0)=0 ，2 2）具有獨立增量性，）具有獨立增量性，3 3）對任意實數）對任意實數t t 0,s0,N(t+s)-N(t)0,s0,N(t+s)-N(t)為具有參數為具有參數 的的PoissonPoisson分布分布. .sttduutm)()(32332.4

15、更新過程更新過程34 ,1nT n 1nnkkT1( )sup :norntnN tnt2.4.1 2.4.1 更新過程的定義更新過程的定義 35,0( )0,0tktetTf tt ?,0,0,000s tP N sN tsN sP N sP N tsN s36更新過程的基本結論：更新過程的基本結論： 過程的統(tǒng)計特性可由序列過程的統(tǒng)計特性可由序列 的共同分布完全的共同分布完全刻畫；刻畫； N(t)是關于是關于t的單調遞增階梯函數，對于固定的的單調遞增階梯函數，對于固定的t，N(t)為取非負整數值的隨機變量；為取非負整數值的隨機變量； 的分布函數為的分布函數為),()(1tFtFtnnxdFx

16、tFtF01)()()()()()(1tFtFntNPnn( )0P N t N(t)的概率分布為的概率分布為37( ).P N tn( )(1)mitt,m100( )1!kmtxkxF xek38( )( )M tE N t0t11)( )( )nnM tF t ( )2)( )1( )F tM tF t2.4.2 更新函數 39 M tt 200()ststMM t edttedtsL()( )1()sMfsMsLLL -11()0tf tets L 402.4.3 更新過程的極限性質更新過程的極限性質(lim)1,nnPn( )1(lim)1.tN tPt223( )/1lim()( )2/yxtN ttPyyedxt 41422.4.4 更新方程更新方程0( )( )()( )tA ta tA tu dF u0t0( )( )()( )tM tF tM tu dF u0( )