函數(shù)傅里葉級數(shù)展開

1、 1. 函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開 一一.傅里葉級數(shù)的引進(jìn)傅里葉級數(shù)的引進(jìn) 在物理學(xué)中,我們已經(jīng)知道最簡單的波是諧波(正弦波),它是形如 的波,其中 是振幅, 是角頻率, 是初相位.其他的波如矩形波,鋸形波等往往都可以用一系列諧波的疊加表示出來.這就是說,設(shè) 是一個周期為 的波,在一定條件下可以把它寫成其中 是 階諧波,我們稱上式右端的級數(shù)是由 所確定的傅里葉級傅里葉級數(shù)數(shù)tAsinA tfT 10sinnnntnAAtf10sincosnnntnbtnaAtnbtnatnAnnnnsincossinnT2 tf二二. 三角函數(shù)的正交性三角函數(shù)的正交性設(shè) 是任意實(shí)數(shù), 是長度為 的區(qū)間,由于三角函數(shù)

2、 是周期為 的函數(shù),經(jīng)過簡單計算,有利用積化和差的三角公式容易證明還有c2, cc2kxkx sin,cos2,2 , 1, 0sinsin, 0coscos220220kkxdxkxdxkxdxkxdxcccc 1, 2 , 1;0coscos0sinsin0cossin222llklxdxkxlxdxkxlxdxkxcccccc 2我們考察三角函數(shù)系其中每一個函數(shù)在長為 的區(qū)間上定義，其中任何兩個不同的函數(shù)乘積沿區(qū)間上的積分等零 ，而每個函數(shù)自身平方的積分非零 。我們稱這個函數(shù)系在長為 的區(qū)間上具有正交性具有正交性。, 2 , 121sin22cos1coscos22222202022kd

3、xkxdxdxkxkxdxkxdxcccccc 3,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx22 2,1見 3見三、傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 設(shè)函數(shù) 已展開為全區(qū)間設(shè)的一致收斂的三角級數(shù) 現(xiàn)在利用三角函數(shù)系數(shù)的正交性來研究系數(shù) 與 的關(guān)系。將上述展開式沿區(qū)間 積分，右邊級數(shù)可以逐項(xiàng)積分，由 得到即又設(shè) 是任一正整數(shù)，對 的展開式兩邊乘以 沿 積分，由假定，右邊可以逐項(xiàng)積分，由和 ，得到 xf kxbkxaaxfkkksincos210, 2 , 1,0kbaakk xf, 1 0022aadxxf dxxfa10n xfnxcos, 2,1 3即同樣可得因此得到歐拉

4、-傅里葉公式 nnkkkanxdxanxdxkxbnxdxkxanxdxanxdxxf210coscossincoscoscos2cos nxdxxfancos1 nxdxxfbnsin1 , 2 , 1 , 0sin1kkxdxxfbk , 2 , 1 , 0cos1kkxdxxfak自然，這些系數(shù)也可以 沿別的長度為 的區(qū)間來積分。 以上是在 已展開為一致收斂的三角級數(shù)的假定下得到系數(shù)的表達(dá)式的。然而從歐拉-傅里葉公式的形式上看，只要周期為 的函數(shù) 在區(qū)間 上可積和絕對可積（如果 式有界函數(shù)，則假定它是可積的。這時它一定式絕對可積的；如果 是無界函數(shù)，就假定他是絕對可積，因而也是可積的，這

5、樣，不論在哪一種情形，都是可積和絕對可積了），就可以按歐拉-傅里葉公式來確定所有的數(shù) ，從而作出三角級數(shù)2 xf2 xf, xf xfkkba ,10sincos2kkkkxbkxaa我們稱這級數(shù)是 關(guān)于三角函數(shù)系 的傅里葉級數(shù)，而 稱為 的傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)，記為 xf,sin,cos, 1xxkkba , xf 10sincos2kkkkxbkxaaxf四、收斂判別法四、收斂判別法 傅里葉級數(shù)的收斂判別法傅里葉級數(shù)的收斂判別法。設(shè)函數(shù) 在 上可積和絕對可積若 在 點(diǎn)的左右極限 和 都存在，并且兩個廣義單側(cè)導(dǎo)數(shù)都存在，則 的傅里葉級數(shù)在 點(diǎn)收斂。當(dāng) 是 的連續(xù)點(diǎn)時它收斂與 ，當(dāng) 是 的間斷

6、點(diǎn)（一定是第一類間斷點(diǎn)）時收斂于 xf, 10sincos2kkkkxbkxaaxf xfx0 xf0 xfxxfxxfxxfxxfxx0lim,0lim00 xfxx xf xfx xf0021xfxf例1 在 上展開函數(shù) 為傅里葉級數(shù)。例2 在 上展開函數(shù)為傅里葉級數(shù)。例3 在 上展開 為傅里葉級數(shù)。, xxf, xcxcxf0 ,0,212 , 0 xxf例4 將 在 上展開為余弦級數(shù)。例5 將以下函數(shù)展開為正弦級數(shù) xxf, 0 lxxlxxf21, 0210 ,sin五、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式 傅里葉級數(shù)的 階諧波 可以用復(fù)數(shù)形式表示。由歐拉公式得如果記 那么上面的傅里葉級數(shù)就化成一個

7、簡潔的形式n, 2 , 1sincosntnbtnanniiiiiieeieeiee221sin21cos10sincos2nnntnbtnaa10222ntinnntinnneibaeibaa, 2 , 1,00ncibacibacannnnnn這就是傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式， 為復(fù)振幅為復(fù)振幅， 與 是一對共軛復(fù)數(shù)tinnnec21ncncnc六、收斂判別法的證明六、收斂判別法的證明 1、狄利克雷積分、狄利克雷積分 為了研究傅里葉級數(shù)的收斂性問題，我們必須把傅里葉級數(shù)的部分和表示為一個特定形式的反常積分 狄利克雷積分。狄利克雷積分。 設(shè) 在 上可積和絕對可積，它的傅里葉級數(shù)為其中 xf, 10

8、sincos2kkkkxbkxaaxf , 2 , 1 , 0cos1kktdttfak , 2 , 1 , 0sin1kktdttfbk傅里葉級數(shù)的部分和由三角公式當(dāng) ，有公式 10sincos2kkknkxbkxaaxfS dtkxktkxkttfnk1sinsincoscos211 dtxtktfnk1cos211212sincos2coscos212sin2nn02sin2sin2212sincos2coscos21nn當(dāng) 時把右邊理解為 時的極限值，值一等式也就成立。把它應(yīng)用到 的表達(dá)式中，得到經(jīng)過驗(yàn)證知道，被積函數(shù)是 的周期為 的函數(shù)，可以把積分區(qū)間換為 ，因此作代換 ，得00 x

9、fSn dtxtxtntfxfSn2sin2212sin1t2xx, dtxtxtntfxfSxxn2sin2212sin1uxt duuunuxfxfSn2sin2212sin1duuunuxf2sin2212sin100duuunuxfuxf2sin2212sin10上面 的幾種積分表達(dá)式都稱為狄利克雷積分。狄利克雷積分。 xfSn2、黎曼引理、黎曼引理 黎曼引理黎曼引理 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上可積和絕對可積，那么以下的極限式成立局部性定理局部性定理 函數(shù) 的傅里葉級數(shù)在 點(diǎn)的收斂和發(fā)散情況，只和 在這一點(diǎn)的充分領(lǐng)近區(qū)域的值有關(guān)。 uba, 0coslim, 0sinlimpuduupuduu

10、bapbap xfx xf3、迪尼判別法及其推論、迪尼判別法及其推論 迪尼定理（迪尼判別法）迪尼定理（迪尼判別法） 設(shè)能取到適當(dāng) ，使由函數(shù) 以及 點(diǎn)所作出的滿足條件：對某正數(shù) ，使在 上， 為可積和絕對可積，那么 的傅里葉級數(shù)在 點(diǎn)收于 。 利普希茨判別法利普希茨判別法（地理判別法的一個推論）如果函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)，并且對于充分小的正數(shù) 在 點(diǎn)的利普希茨條件 成立，其中 皆是正數(shù)，且 ，那么 的傅里葉級數(shù)在 點(diǎn)收斂于 ，更一般地，如果對于充分小的 成立s xfx suxfuxfu2hh, 0 uu xfxs xfxux huLuxfuxf0,L1 xfx xfuLuxfuxf0 同前，那么 的

11、傅里葉級數(shù)在 點(diǎn)收斂于一個重要推論一個重要推論 如果 在 點(diǎn)有有限導(dǎo)數(shù) ，或是有兩個單側(cè)的有限導(dǎo)數(shù),L xfx200 xfxf xfx xf uxfuxfxfuxfuxfxfuu00limlim甚至只是有更一般的有限導(dǎo)數(shù)那么 的傅里葉級數(shù)在 點(diǎn)收斂于 或因?yàn)檫@時對于函數(shù) 在 點(diǎn)的 的利普希茨條件是成立的。uxfuxfuxfuxfuu0lim,0lim00 xfx xf200 xfxf xfx1七、傅里葉級數(shù)的性質(zhì)七、傅里葉級數(shù)的性質(zhì)一、一致收斂性一、一致收斂性 1設(shè)周期為 的可積和絕對可積函數(shù) 在比 更寬的區(qū)間 上有有限導(dǎo)數(shù) ，那么的傅里葉級數(shù)在區(qū)間 上一致收斂于 。 2設(shè)周期為 的可積和絕對

12、可積函數(shù) 在比 更寬的區(qū)間 上連續(xù)且為分段單調(diào)函數(shù)，那么 的傅里葉級數(shù)在區(qū)間 上一致收斂于 。2 xfba,ba, xf xfba, xf2 xfba,ba, xfba, xf二，傅里葉級數(shù)的逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)二，傅里葉級數(shù)的逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo) 設(shè) 是 上分段連續(xù)函數(shù)，它的傅里葉級數(shù)是我們并不假定右端級數(shù)的和是 甚至也不假定它收斂，然而它卻可以逐項(xiàng)積分，設(shè) 和 是 上任意兩點(diǎn)，則有三，最佳平方平均逼近三，最佳平方平均逼近 設(shè) 是任意一個 次三角多項(xiàng)式 xf, 10sincos2nnnnxbnxaaxf xfcx, 1000sincos2nxnnxdtntbntacxadttf xTnn nkkknkxBkxAAxT10sincos2其中 都是常數(shù)。又設(shè) 是上可積和平方可積函數(shù)，稱是用三角多項(xiàng)式 在平方