反常積分?jǐn)可⑿耘袆e方法.王康

1、反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法摘 要反常積分是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的年輕學(xué)科，其主要運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究各種反常積分解決的途徑和方案，從數(shù)學(xué)的角度表達(dá)了人們處理數(shù)學(xué)問(wèn)題所遵循的的一種理念，反常積分的斂散性作為反常積分的主要一個(gè)分支，現(xiàn)已成為眾多學(xué)者們研究的焦點(diǎn)。在實(shí)際問(wèn)題的求解過(guò)程中，對(duì)于反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法的研究具有重要的理論意義。全文共分為三個(gè)部分。第一部分為緒論部分，主要介紹了反常積分?jǐn)可⑿缘母艣r，求解反常積分?jǐn)可⑿詥?wèn)題所設(shè)計(jì)的基本概念，以及本文的內(nèi)容安排。第二部分基于反常積分?jǐn)可⑿缘母蹬袆e法來(lái)判斷反常積分的斂散性，在理論上證明了算法的收斂性，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了算法的可行性。第三部分以反常積分?jǐn)可?/p>

2、性的數(shù)列式判別法為基礎(chǔ)進(jìn)行研究，將數(shù)列的斂散性與反常積分的斂散性結(jié)合起來(lái),利用數(shù)列的性質(zhì),更為簡(jiǎn)便直觀地判別反常積分的發(fā)散。關(guān)鍵詞：反常積分；斂散性；Cauchy判別法；無(wú)窮積分；瑕積分；反常積分的發(fā)散。Anomalous integral convergence and divergence of the judgement method Abnormal integral is a young discipline with strong applicability, which mainly uses the way and scheme of various mathematical

3、methods to solve the abnormal points, from the angle of mathematics to express a concept that people deal with mathematical problems followed, convergence of abnormal integral as a main branch of abnormal integral, has become the focus of many scholars study. In the process of solving practical prob

4、lems, the convergence of abnormal integral has important theoretical significance for the research on the identification method. This paper is divided into three parts. The first part is the introduction, mainly introduces the anomalous divergence of integration of basic concepts, ofmathematics conv

5、ergence problem is designed, and the contents of this paper. The second part of the convergence of abnormal integral value discriminant method to judge the convergence of abnormal integral based on, the convergence of the algorithm is proved in theory, numerical experiments show the feasibility of t

6、he algorithm. The third part of the anomalous integral divergence type sequence of discriminant analysis based on the sequence, and the convergence of convergence of abnormal integral combination, using the sequence properties, more simple and intuitive to distinguish the divergence of abnormal inte

7、gral. Keywords: abnormal integral; convergence; Cauchy discriminant analysis; infinite integral; infinite integral; generalized integral divergence.目錄引 言1第1章 緒論21.1基本概念介紹21.2幾種常用的計(jì)算方法51.3反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e常用算法61.4本文內(nèi)容安排10第2章 反常積分?jǐn)可⑿缘母蹬袆e法112.1引言112.3小結(jié)14第3章 反常積分?jǐn)可⑿缘臄?shù)列式判別法153.1引言153.2算法的提出173.3算法的描述183.4小結(jié)18

8、結(jié)論與展望20致 謝21參考文獻(xiàn)22附 錄23附 錄A 一篇引用的外文文獻(xiàn)及其譯文23附 錄B 主要參考文獻(xiàn)的題錄及摘要26引 言 反常積分在諸多領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用的，其性質(zhì)及應(yīng)用引起人們極大的研究興趣。目前對(duì)于反常積分的研究，主要集中在理論研究。在積分的歷史上，反常積分可以說(shuō)是積分這個(gè)大家庭中的小兄弟，雖然反常積分是剛剛興起的理論，但是它在高等數(shù)學(xué)、物理學(xué)及概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科中得到了重要應(yīng)用，隨著數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科的發(fā)展，越來(lái)越多的人開(kāi)始關(guān)注并開(kāi)始學(xué)習(xí)反常積分，并且基本上已經(jīng)形成理論體系。這些理論的產(chǎn)生無(wú)疑對(duì)積分的發(fā)展乃至相關(guān)學(xué)科的發(fā)展都是大有裨益的。通過(guò)對(duì)反常積分的不同層次方面的研究，確定了一

9、些可以解反常積分的特殊方法，讓我們對(duì)反常積分的解法有更深層次理解1；確定了含參量反常積分的定義和含參量反常積分的解法以及在生活中的應(yīng)用，含參量的反常積分的進(jìn)一步研究可以更好地研究反常積分?jǐn)可⑿?5；通過(guò)歐拉公式來(lái)對(duì)反常積分進(jìn)行研究，從積分的深層次對(duì)反常積分開(kāi)展討論6；通過(guò)對(duì)反常積分的性質(zhì)方面入手，通過(guò)研究反常積分的性質(zhì)來(lái)研究反常積分的斂散性7；研究反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性關(guān)系，通過(guò)對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性的探析，來(lái)和反常積分進(jìn)行對(duì)比，從而得到反常積分的性質(zhì)8；以反常積分在教學(xué)中的學(xué)習(xí)，以及解反常積分的數(shù)列式判別法來(lái)判斷反常積分的斂散，讓我們能更具體的學(xué)習(xí)和了解反常積910;對(duì)一些國(guó)外數(shù)學(xué)家對(duì)反常積分?jǐn)?/p>

10、散性的研究，通過(guò)外文文獻(xiàn)更具體的了解反常積分1112。多年來(lái)，人們對(duì)反常積分的研究，取得了不少成果。而反常積分的斂散性也被越來(lái)越多的人所研究，如何通過(guò)反常積分的定義和性質(zhì)來(lái)判斷反常積分的斂散性成為重要一環(huán)，下面的文獻(xiàn)為反常積分的定義，反常積分的原理，反常積分的計(jì)算和解答，反常積分在生活中的應(yīng)用給出了具體的解釋。反常積分的定義如下：設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，在點(diǎn)的任一右鄰域上無(wú)界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間上有界且可積.如果存在極限，則稱此極限為無(wú)界函數(shù)在上的反常積分，記作，并稱反常積分收斂，如果極限不存在，這時(shí)也說(shuō)反常積分發(fā)散。 本文主要對(duì)反常積分的斂散性的不同判別方法進(jìn)行研究。第1章 緒論反常積分?jǐn)可⑿缘呐?/p>

11、別方法是分析數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域中十分活躍的研究課題，如何快速地判別反常積分的收斂也發(fā)散以成為當(dāng)今的焦點(diǎn)，由于反常積分在分析學(xué)中的顯著作用，對(duì)反常積分的斂散性的研究具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值。反常積分的定義如下：設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，在點(diǎn)的任一右鄰域上無(wú)界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間上有界且可積.如果存在極限，則稱此極限為無(wú)界函數(shù)在上的反常積分，記作，并稱反常積分收斂，如果極限不存在，這時(shí)也說(shuō)反常積分發(fā)散。 求解反常積分?jǐn)可⑿詥?wèn)題時(shí)將會(huì)涉及以下概念：（1） 反常積分：反常積分又叫廣義積分，是對(duì)普通定積分的推廣，指含有無(wú)窮上限/下限，或者被積函數(shù)含有瑕點(diǎn)的積分，前者稱為無(wú)窮限廣義積分，后者稱為瑕積分（又稱無(wú)界函數(shù)

12、的反常積分）。（2） 瑕點(diǎn)：設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，在點(diǎn)a的任一右領(lǐng)域上無(wú)界，但是在任何一內(nèi)閉區(qū)間上有界且可積，如果存在極限則稱此極限為無(wú)界函數(shù)在上的反常積分，記作并稱反常積分收斂，如果極限不存在，這時(shí)也說(shuō)明反常積分發(fā)散。由上面的定義知，被積函數(shù)在點(diǎn)近旁是無(wú)界的，這時(shí)點(diǎn)稱為的瑕點(diǎn)，而無(wú)界函數(shù)反常積分有稱為瑕積分。類似的，可定義瑕點(diǎn)為時(shí)的瑕積分：=其中在有定義，在點(diǎn)b的任一鄰域上無(wú)界，但是在任何上可積。若的瑕點(diǎn)，則定義瑕積分=其中在上有定義，在點(diǎn)的任一鄰域上無(wú)界，但在任何和上都是可積的。當(dāng)且僅當(dāng)右邊2個(gè)瑕積分都收斂時(shí)，左邊的瑕積分才是收斂的。又若兩點(diǎn)都是的瑕點(diǎn)，而在任何上可積這時(shí)定義瑕積分=其中為上

13、任一實(shí)數(shù)。同樣的當(dāng)且僅當(dāng)式右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí)，左邊的瑕積分才是收斂的。 （3）絕對(duì)收斂：若在任何有限區(qū)間上可積，且有收斂，則亦必收斂，并有當(dāng)收斂時(shí)，稱為絕對(duì)收斂，由定理知：絕對(duì)收斂的無(wú)窮積分，它自身也一定收斂，但是他的逆命題一般不一定成立，今后舉例說(shuō)明收斂的無(wú)窮積分不一定收斂。我們稱收斂而不絕對(duì)收斂者為條件收斂。（4） 比較原則：設(shè)定義上的兩個(gè)函數(shù)和，瑕點(diǎn)同為，在任何上都可積，且滿足則當(dāng)收斂時(shí)，發(fā)散時(shí)，亦必發(fā)散。（5） Cauchy判別法:Cauchy判別法即柯西判別法，設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若從某一項(xiàng)起（即存在，當(dāng)時(shí)）成立著為某一確定的常數(shù)，則級(jí)數(shù)收斂；若從某一項(xiàng)起成立著1，則級(jí)數(shù)發(fā)散。又若0，

14、0，且則有（i）當(dāng)，與同收斂或者發(fā)散；（ii）當(dāng)時(shí)，由知也同樣收斂；（iii）當(dāng)時(shí)，由知也同樣發(fā)散。特別的，如果選用作為比較對(duì)象，則我們有如下兩個(gè)推論（稱為柯西判別法）。另設(shè)定義于，a為其瑕點(diǎn)，且在任何上可積，則有：（i）當(dāng)，且時(shí)，收斂；（ii）當(dāng)，且p1時(shí)，發(fā)散。同時(shí)設(shè)是定義于上的非負(fù)函數(shù)，a為其瑕點(diǎn)，且在任何上可積，如果則有：（i）當(dāng)時(shí)，收斂；（ii）當(dāng)時(shí)，發(fā)散。（6） 可積的充要條件：函數(shù)在上可積的沖要條件是在上的上積分與下積分相等，即（7）達(dá)布定理：上、下積分也是上和與下和在時(shí)的極限，即（8） 對(duì)于函數(shù)的收斂性與收斂的值，都和實(shí)數(shù)的選取無(wú)關(guān)。（9） 由于無(wú)窮積分是由和兩類無(wú)窮積分來(lái)定義

15、的，因此，在任何有限區(qū)間上，首先必須是可積的。（10） 無(wú)窮積分收斂的沖要條件是：任給0，存在，只要，便有反常積分收斂性的幾種判別方法反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e有多種方法，隨著時(shí)代的進(jìn)步，數(shù)學(xué)的研究與發(fā)展，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始對(duì)反常積分的斂散性進(jìn)行討論，在原有的判別方法上，數(shù)學(xué)工作者們探討出了更多的，更簡(jiǎn)潔，更方便的判別方法。著讓我們能更直觀的去了解反常積分的斂散性，其中大多數(shù)問(wèn)題都是連續(xù)可導(dǎo)的，因此在這里我們選擇反常積分?jǐn)可⑿缘母蹬袆e法，反常積分的數(shù)列式判別法來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹。 1、反常積分?jǐn)可⑿缘母蹬袆e法 根值審斂法是判別級(jí)數(shù)斂散性的一種主要方法，是由法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西首先發(fā)現(xiàn)并證明的，其具體定義

16、如下： 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若從某一項(xiàng)起（即存在，當(dāng)時(shí)）成立著為某一確定的常數(shù)，則級(jí)數(shù)收斂；若從某一項(xiàng)起成立著1，則級(jí)數(shù)發(fā)散。又若0，0，且則有（i）當(dāng)，與同收斂或者發(fā)散；（ii）當(dāng)時(shí)，由知也同樣收斂；（iii）當(dāng)時(shí)，由知也同樣發(fā)散。特別的，如果選用作為比較對(duì)象，則我們有如下兩個(gè)推論（稱為柯西判別法）。另設(shè)定義于，a為其瑕點(diǎn)，且在任何上可積，則有：（i）當(dāng)，且時(shí)，收斂；（ii）當(dāng)，且p1時(shí)，發(fā)散。同時(shí)設(shè)是定義于上的非負(fù)函數(shù)，a為其瑕點(diǎn)，且在任何上可積，如果則有：（i）當(dāng)時(shí)，收斂；（ii）當(dāng)時(shí)，發(fā)散。2、 反常積分?jǐn)可⑿缘臄?shù)列式判別法反常積分的數(shù)列式判別法將數(shù)列的斂散性與反常積分的斂散性結(jié)合起來(lái),利用

17、數(shù)列的性質(zhì),更為簡(jiǎn)便直觀地判別反常積分的發(fā)散，它是一種更為方便的計(jì)算方法。具體定義如下： 函數(shù)在上有定義，則無(wú)窮積分收斂于A當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意數(shù)列，有證明：由于，所以有又對(duì)上述有反證法：假設(shè)不收斂于A，則使取 有有且從而得到數(shù)列， 但 與已知的矛盾，所以.證明完畢。下面我們就反常積分?jǐn)可⑿缘母蹬袆e法和反常積斂散性的數(shù)列式判別法給出具體的分析和計(jì)算。本文的內(nèi)容安排 全文共分為三個(gè)部分。第一部分為緒論部分，主要介紹了反常積分?jǐn)可⑿缘母艣r，求解反常積分?jǐn)可⑿詥?wèn)題所設(shè)計(jì)的基本概念，以及本文的內(nèi)容安排。第二部分基于反常積分?jǐn)可⑿缘母蹬袆e法來(lái)判斷反常積分的斂散性，在理論上證明了算法的收斂性，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)

18、明了算法的可行性。第三部分以反常積分?jǐn)可⑿缘臄?shù)列式判別法為基礎(chǔ)進(jìn)行研究，將數(shù)列的斂散性與反常積分的斂散性結(jié)合起來(lái),利用數(shù)列的性質(zhì),更為簡(jiǎn)便直觀地判別反常積分的發(fā)散。 第二章 反常積分?jǐn)可⑿缘母蹬袆e法 摘要：由于積分在理論上和級(jí)數(shù)是統(tǒng)一的，,因此有關(guān)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根式判別法可被推廣以判別無(wú)窮限積分和瑕積分的斂散性.設(shè)是 ，+ )上的非負(fù)函數(shù)，=.則當(dāng)1時(shí)，反常積分收斂。而當(dāng)1時(shí)，反常積分發(fā)散；設(shè)是上的非負(fù)函數(shù)，為瑕點(diǎn)，=.則當(dāng)1時(shí)，反常積分收斂。而當(dāng)1時(shí)，反常積分發(fā)散。反常積分?jǐn)可⑿缘呐卸ㄊ欠治鰧W(xué)的重要內(nèi)容,它與無(wú)窮級(jí)數(shù)聯(lián)系非常緊密，本文將正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的根式(Cauchy)判別法推廣到反常積分?jǐn)?/p>

19、散性的判別上。定理1 設(shè)為上的非負(fù)函數(shù)，若.則當(dāng)1時(shí)，反常積分收斂；當(dāng)1時(shí)，反常積分發(fā)散.證明 （1）?。?1）存在A0，任給A時(shí)，=（01）.A而收斂，從而收斂。 （2） 由1，取0，存在A0，任給A，有， 1， A.而發(fā)散，故發(fā)散。 例1. 判斷0的斂散性（0）解 記=0則由定理（1）可知當(dāng)2時(shí)，反常積分收斂，02是，反常積分發(fā)散； 定理2. 設(shè)在上有定義，任給，在上可積，且則當(dāng)1時(shí)，反常積分收斂，反之當(dāng)1時(shí)，反常積分發(fā)散；證明.（1） 由1，取，則存在0，任給滿足0,有= （01）所以令，則當(dāng)1時(shí)，0 ，而=從而收斂，由上面的式子可得收斂，由上式知收斂。（2） 由1，取則存在0，任給滿足

20、0，有所以令，則由于知發(fā)散，即發(fā)散，則由上式知發(fā)散；小結(jié)：本部分介紹了反常積分?jǐn)可⑿缘母蹬袆e法，通過(guò)斂散性的根值判別，來(lái)解決反常積分的收斂與發(fā)散，并且分析了此算法的優(yōu)勢(shì)和缺點(diǎn)，在理論上證實(shí)了此算法的可行性，同時(shí)通過(guò)一些舉例進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)數(shù)值結(jié)果證明了此判別法的可行性。 第3章 反常積分?jǐn)可⑿缘臄?shù)列式判別本文將數(shù)列的斂散性與反常積分的斂散性結(jié)合起來(lái),利用數(shù)列的性質(zhì),更為簡(jiǎn)便直觀地判別反常積分的發(fā)散.對(duì)于兩類反常積分:無(wú)窮積分與瑕積分,用定義判別其收斂與發(fā)散時(shí),通常會(huì)有如下疑問(wèn):1. 若與都發(fā)散時(shí)，無(wú)窮積分是否一定發(fā)散？并證明為什么？2. 如果發(fā)散于，發(fā)散于，那么是收斂還是發(fā)散？如下例：判斷無(wú)窮

21、積分的斂散性.由于=是未定型，那么它是收斂還是發(fā)散的？錯(cuò)誤解法：由于在連續(xù)，而且對(duì)于每一個(gè)，有，所以在上式奇函數(shù)，對(duì)任意0，從而得收斂于0,.這種方法的錯(cuò)誤在于只考慮了無(wú)窮積分，的柯西主值，卻沒(méi)有考慮發(fā)散定義中的上，下限的任意性。對(duì)于無(wú)窮積分,如果用數(shù)列來(lái)判別其發(fā)散,則會(huì)更為簡(jiǎn)單、直觀.我們有如下的定理成立:定理1 函數(shù)在上有定義，則無(wú)窮積分收斂于A當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意數(shù)列，有證明：由于，所以有又對(duì)上述有反證法：假設(shè)不收斂于A，則使取 有有且從而得到數(shù)列， 但 與已知的矛盾，所以.證明完畢。推論 1 若在上有定義，則 .當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意數(shù)列，有推論2 若在有意義，而且存在數(shù)列，（或者不存在），則無(wú)窮積

22、分發(fā)散。推論 3 若在上有定義，而且存在數(shù)列，則發(fā)散。推論4 在上有定義，且存在數(shù)列有則是發(fā)散的.利用上面的結(jié)論判別例題的斂散性如下:取則而所以無(wú)窮積分發(fā)散。可以看出,利用數(shù)列方法很明了地說(shuō)明了上面無(wú)窮積分的發(fā)散。對(duì)于瑕積分也有類似的結(jié)論。定理 2 設(shè)函數(shù)在上有定義，b是的瑕點(diǎn)，則瑕積分收斂于A，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意數(shù)列，存在N， 有推論 1 設(shè)函數(shù)在上有定義，b是的瑕點(diǎn)，如果存在數(shù)列，有，或者不存在，則瑕積分發(fā)散。推論 2 設(shè)函數(shù)在上有定義，b是的瑕點(diǎn)，如果存在數(shù)列，且有則瑕積分是發(fā)散的。小結(jié)：本部分主要介紹了反常積分?jǐn)可⑿缘臄?shù)列式判別法，通過(guò)一些例子的錯(cuò)誤解法，來(lái)更直觀的的了解什么是數(shù)列式判別，

23、將數(shù)列的斂散性與反常積分的斂散性結(jié)合起來(lái),利用數(shù)列的性質(zhì),更為簡(jiǎn)便直觀地判別反常積分的發(fā)散.結(jié)論與展望反常積分?jǐn)可⑿允钱?dāng)今數(shù)學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題。反常積分?jǐn)可⑿詥?wèn)題的求解也成為眾多學(xué)者探索的焦點(diǎn)。關(guān)于求解反常積分?jǐn)可⑿詥?wèn)題的算法確實(shí)很多，由于反常積分?jǐn)可⑿缘膯?wèn)題與人們的生活息息相關(guān)，深入研究反常積分問(wèn)題的算法能夠?yàn)樵S多實(shí)際問(wèn)題的解決提供極大的幫助。 本文第一部分主要針對(duì)反常積分?jǐn)可⑿詥?wèn)題的求解做了大量的研究，在前人的基礎(chǔ)上提出兩種新的判別法，在理論方面分析了算法的可行性，并用數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)提出算法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。通過(guò)與其它算法的比較說(shuō)明了算法具有一定的優(yōu)勢(shì)，但同時(shí)也說(shuō)明其存在一定的缺點(diǎn)。 第二部分

24、提出反常積分?jǐn)可⑿缘母蹬袆e新算法，其具有好的收斂性，具備兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，而且表現(xiàn)出良好的計(jì)算性能。但是有關(guān)算法中參數(shù)如何選取才能使算法達(dá)到最優(yōu)還需進(jìn)一步考慮。 第三部分提出的一種新的反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法。文章不僅從理論方面證明了算法是全局收斂的，還通過(guò)計(jì)算和舉例的實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明了算法的有效和可行性。并且，文章通過(guò)幾種算法的比較實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法是有效的。但在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，的斂散性判別是否具有其內(nèi)在規(guī)律還有待進(jìn)一步研究。致 謝 值此論文完成之際，首先向尊敬的戴華老師表示衷心的感謝和誠(chéng)摯的敬意。 時(shí)光如梭，轉(zhuǎn)眼間四年的學(xué)習(xí)生活即將結(jié)束。戴老師給予我耐心的指導(dǎo)和無(wú)私的幫助。她淵博的學(xué)識(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度及

25、忘我的工作作風(fēng)給我留下了深刻的印象，是我永遠(yuǎn)學(xué)習(xí)的楷模。戴老師的悉心教導(dǎo)將我領(lǐng)入科學(xué)的殿堂，使我漸漸明白了怎樣思考問(wèn)題，如何從事科學(xué)研究；同時(shí)，老師的嚴(yán)格要求和關(guān)心鼓勵(lì)使我在學(xué)業(yè)上有了新的進(jìn)步。總而言之，由衷感激和崇高敬意是無(wú)法用言語(yǔ)表達(dá)的，學(xué)生唯有銘記于心。 感謝我的家人，感謝他們對(duì)我的撫育、關(guān)懷、鼓勵(lì)與支持。正是他們的愛(ài)讓我感到溫暖與幸福，他們的愛(ài)是我?jiàn)^斗的動(dòng)力。我會(huì)用更好的成績(jī)回報(bào)他們。 感謝學(xué)校對(duì)我的栽培，感謝輔導(dǎo)員及授課老師對(duì)我的諄諄教導(dǎo)。最后，向所有關(guān)心我、愛(ài)護(hù)我和給予我?guī)椭娜嗽僖淮沃乱哉\(chéng)摯的謝意! 作者： 2015年 05月1日參考文獻(xiàn) 1唐雄.計(jì)算含參量反常積分的一些特殊方法

26、J.山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2008，7 (02): 25-302李志廣.含參量X的無(wú)界反常積分J。山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2012 ， 18 (05): 233-2373牛懷崗.含參量反常積分性質(zhì)探析J.商洛學(xué)院學(xué)報(bào).2013，41（06）: 122-1274王金花，趙志平.含參量反常積分一致收斂性J.滄州師范學(xué)院學(xué)報(bào).2013，11 (02):21-285張永鋒.含參量反常積分的局部一致收斂與連續(xù)性J.咸陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)2006, 3（06）: 22-266劉紅愛(ài)，尚林.歐拉公式在計(jì)算反常積分中的應(yīng)用J.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2010，14 (13) : 1-77王欣，屈娜，吳莎莎

27、.對(duì)反常積分性質(zhì)的再討論J.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究. 2012（17）:65-678李娟.反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性關(guān)系探析J.安康學(xué)院學(xué)報(bào).2013（06）:44-469肖氏武.關(guān)于反常積分習(xí)題課的教學(xué)J.高等數(shù)學(xué)研究.2014，16（04）: 178-18110何美.反常積分?jǐn)可⑿缘臄?shù)列式判別法J.大同職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào). 2013，9（01）: 47-5411 Constancy Hogan. Scheduling concurrent production over a finite planning horizon:Polynesian solvable casesJ.Computer&Oper

28、ations Restart,2000,27(14) 89-97.12 A Ruskin, M.Fakir,M.A. Latina est at .Receding horizon iterative dynamic programming with discrete time mode tsJ.Computer & Chemical Engineering,2001.25(1) 78-110.13Maxi-me Paved .Perish Pompadours, Lena Madmen est at .Optimization of superannuation layers based o

29、n candle sootJ.Pure and Applied Chemistry,2014,86(2) 112-145.附 錄附 錄A 一篇引用的外文文獻(xiàn)及其譯文外文文獻(xiàn)On improper integrals and differential equationsin ordered Banach spacesAbstract In this paper we study the existence of improper integrals of vector-valued mappings. The so obtained results combined with fixed poi

30、nt results in partially ordered functions spaces are then applied to derive existence and comparison results for least and greatest solutions of initial- and boundary-value problems in ordered Banach spaces. The considered problems can be singular,functional,nonlocal, implicit and discontinuous. Con

31、crete examples are also solved.1. Introduction In this paper we shall first study the existence of improper integrals of a mapping from an open real interval , to an ordered Banach space E. We show, for instance, that if the order cone of E is regular, an improper integral of exists if is strongly m

32、easurable and a.e. Point wise bounded from above and from below by strongly measurable and locally Bochner integrable mappings from into E possessing the improper integrals in question. The so obtained results and fixed point results for mappings in partially ordered function spaces are then applied

33、 to derive existence and comparison results for least and greatest solutions of first- and second-order initial value problems and second-order boundary value problems in an ordered Banach space E whose order cone is regular. The existence of local extremal solutions for corresponding problems is st

34、udied in 6 when E is a lattice-ordered Banach space. A novel feature in our study is that the right-hand sides of differential equations comprise locally integrable vector-valued functions possessing improper integrals.Similar problems containing improper integrals of real-valued functions are studi

35、ed in 10. The following special types are included in the considered problems: differential equations and initial/boundary conditions may be implicit; differential equations may be singular; both the differential equations and the initial or boundary conditions may depend functionally on the unknown

36、 function and/or on its derivatives; both the differential equations and the initial or boundary conditions may contain discontinuous nonlinearities; problems on infinite intervals; problems of random type. When E is the sequence space we obtain results for infinite systems of initial and boundary v

37、alue problems, as shown in examples. Moreover, concrete finite systems are solved to illustrate the effects of improper integrals to solutions of such problems.2. PreliminariesOur first task in this section is to prove existence results for improper integrals of amapping where is an ordered Banach s

38、pace whose order cone is regular. If h is strongly (Lebesgue) measurable and locallyBochner integrable, denote . For the sake of completeness we shall define the improper integrals we are dealing with.Definition 2.1.Given and we say that an improper integralexists if exists in E. Similarly, we say t

39、hat an improper integral. exists if exists in E.The existence results proved in the next lemma for the above defined improper integrals are essential tools in our study of differential equations in ordered Banach spaces.Lemma 2.1. Let h be strongly measurable,and assumethat for a.e.Then the followin

40、g results hold.(a) is locally Bochner integrable, i.e.(b) If exists for some thenexists for all .(c) Ifexists for some thenexists for all Proof. (a) Since the order cone of E is regular and hence also normal, the norm of E isSemi monotone, i.e. there exists such a positive constant M that in E impli

41、es The assumption: for a.e.can be rewritten as for a.e.In view of this result and the semi monotonicity of the norm of E we obtain for a.e .Whencefor a.e.This result, strong measurability of and the assumption that imply that (b) Assume that exists for some .Since ,it followsfrom 8, Corollary 1.4.6

42、that whenever .ConclusionsIn this article, which can be confirmed that the algorithm is feasible. 譯文：反常積分和微分方程在命令巴拿赫空間中文摘在本文中,我們研究的存在不當(dāng)積分量值的映射。所以獲得的結(jié)果結(jié)合定點(diǎn)結(jié)果在半序函數(shù)空間然后獲得存在和比較結(jié)果申請(qǐng)最初的最小和最大的解決方案在命令巴拿赫空間和邊值問(wèn)題。問(wèn)題可以考慮單一,功能,外地,隱式和不連續(xù)。具體的例子也解決了。1. 介紹在本文中,我們將首先研究映射的反常積分的存在,從開(kāi)放的真正的間隔有序巴拿赫空間E .我們節(jié)目,例如,如果訂單錐E是常規(guī),

43、如果存在強(qiáng)烈的反常積分測(cè)量和乙醯明智的有界從上面和下面的強(qiáng)烈可衡量的和本地博赫納可積的映射到E具有反常積分的問(wèn)題。所以獲得的結(jié)果和定點(diǎn)結(jié)果映射在半序空間函數(shù)就會(huì)應(yīng)用獲得存在和比較結(jié)果的最小和最大的解決方案一線和二階初始值問(wèn)題和二階邊值問(wèn)題在一個(gè)有序的巴拿赫空間E錐是規(guī)則。相對(duì)應(yīng)的局部極值解的存在性問(wèn)題研究6當(dāng)E是格序巴拿赫空間。新穎的功能在我們的研究中,右邊的微分方程組成局部可積的向量值函數(shù)擁有不當(dāng)積分。類似的問(wèn)題包含不正確的實(shí)值函數(shù)的積分進(jìn)行了研究10。以下特殊類型包括在考慮的問(wèn)題:-微分方程和初始/邊界條件可能是隱性的;微分方程可能是單數(shù);微分方程和初始邊界條件可能功能取決于未知函數(shù)和/或

44、其衍生品;微分方程和初始或可能含有不連續(xù)邊界條件非線性;無(wú)限區(qū)間上的問(wèn)題;隨機(jī)的問(wèn)題類型。當(dāng)E是我們獲得結(jié)果的序列空間無(wú)限系統(tǒng)的初始邊值問(wèn)題,如例子所示。此外,混凝土有限系統(tǒng)解決了反常積分的影響來(lái)說(shuō)明這些問(wèn)題的解決方案。2.預(yù)賽我們?cè)谶@一節(jié)的第一項(xiàng)任務(wù)是證明存在的反常積分的結(jié)果映射在是一個(gè)有序的巴拿赫空間秩序錐是常規(guī)。如果h強(qiáng)烈勒貝格可測(cè)和本地博赫納可積的,表示為了完整性我們定義積分我們正在處理不當(dāng)。定義2.1.鑒于，并且，我們說(shuō)一個(gè)反常積分如果存在存在于e .同樣,我們說(shuō)一個(gè)反常積分如果存在存在于e.存在結(jié)果在接下來(lái)的引理證明上述定義不恰當(dāng)微分方程的積分是我們研究的重要工具在命令巴拿赫空間中

45、。引理2.1。讓強(qiáng)可測(cè),并承擔(dān)那并且a.e ，然后下面的結(jié)果。（a） 是本地博赫納可積的,i.e （b） 如果存在一些且所有的存在（c） 如果存在一些且所有的存在證明 (一)順序錐以來(lái)E是正常的,因此也正常,E是常態(tài)辦單調(diào)即存在這樣一個(gè)積極常數(shù)M在E意味著假設(shè)： 且a.e 可以重寫為且a.e.針對(duì)這個(gè)結(jié)果和半E的常態(tài),我們獲得的單調(diào)性：且a.e 那么且a.e 這一結(jié)果,強(qiáng)大的可測(cè)性和假設(shè)暗示(b)假設(shè)存在一些，從它遵循從8,推論1.4.6無(wú)論何時(shí)結(jié)論在這篇文章中,可以證實(shí),該算法是可行的。附 錄B 主要參考文獻(xiàn)的題錄及摘要1【篇 名】計(jì)算含參量反常積分的一些特殊方法【摘 要】計(jì)算含參量的反常積

46、分時(shí),常用的是兩種方法:1)利用積分號(hào)下求積分的方法計(jì)算反常積分;2)利用積分號(hào)下求導(dǎo)方法計(jì)算反常積分.本文介紹另外幾種求反常積分的方法. 更多還原2【篇 名】含參量X的無(wú)界反常積分【摘 要】現(xiàn)行教材中對(duì)于含參量x的無(wú)界反常積分,僅僅給出了定義,對(duì)此進(jìn)一步探究,給出了其一致收斂的判別法。3【篇 名】含參量反常積分性質(zhì)探析【摘 要】用一致收斂的概念直接證明含參量反常積分的分析性質(zhì),大大簡(jiǎn)化了含參量反常積分的分析性質(zhì)的證明過(guò)程和證明難度,含參量反常積分的分析性質(zhì)在特殊函數(shù)的分析性質(zhì)的討論和應(yīng)用中有重要的意義。4【篇 名】含參量反常積分一致收斂性【摘 要】通過(guò)對(duì)積分變量作變量變換將兩種含參量反常積分

47、的一致收斂性建立聯(lián)系,給出了借助含參量無(wú)窮限反常積分的一致收斂性判斷含參量無(wú)界函數(shù)反常積分一致收斂性的一種方法,從而在一定程度上將二者統(tǒng)一,加深讀者的理解與認(rèn)識(shí)。5【篇 名】含參量反常積分的局部一致收斂與連續(xù)性【摘 要】給出了含參量反常積分局部一致收斂的定義,證明了局部一致收斂與含參量反常積分連續(xù)的等價(jià)性,最后討論了含參量反常積分幾種收斂性的關(guān)系。6【篇 名】歐拉公式在計(jì)算反常積分中的應(yīng)用【摘 要】被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積或?yàn)橹笖?shù)函數(shù)、冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積的無(wú)窮限反常積分在數(shù)學(xué)分析與積分變換課程中常出現(xiàn),當(dāng)被積函數(shù)復(fù)雜時(shí)用通常的計(jì)算方法計(jì)算會(huì)很困難,甚至計(jì)算不出結(jié)果.運(yùn)用歐拉公式將

48、三角函數(shù)化為復(fù)指數(shù)函數(shù),從而將被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積化為指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)乘積,使相應(yīng)的無(wú)窮限反常積分的計(jì)算變得較為簡(jiǎn)單.本文通過(guò)實(shí)例說(shuō)明該種計(jì)算方法的簡(jiǎn)便之處,并就適應(yīng)的題型做了詳細(xì)的總結(jié),對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)有很好的參考價(jià)值. 7【篇 名】對(duì)反常積分性質(zhì)的再討論【摘 要】我們知道,在黎曼意義下的積分,函數(shù)有界是函數(shù)可積的必要條件.那么在廣義積分下,會(huì)是什么情形?本文通過(guò)具體實(shí)例,討論了兩者關(guān)系.8【篇 名】反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性關(guān)系探析【摘 要】反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的重要內(nèi)容,其收斂性在本質(zhì)上有著密切的聯(lián)系,這為我們提供了進(jìn)行平行類比學(xué)習(xí)的理論依據(jù),但

49、也應(yīng)該看到二者的差別,即無(wú)窮積分乙收斂卻未必有。為此,討論了無(wú)窮積分乙收斂則的若干充分條件。9【篇 名】關(guān)于反常積分習(xí)題課的教學(xué)【摘 要】在反常積分習(xí)題課教學(xué)中,選取適當(dāng)例題,詮釋反常積分與定積分之間的差異.通過(guò)變更或補(bǔ)充被積函數(shù)所滿足的條件,設(shè)計(jì)相應(yīng)習(xí)題,并最終借助題解說(shuō)明,在一定條件下,對(duì)收斂的反常積分,其被積函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處必為無(wú)窮小. 10【篇 名】反常積分?jǐn)可⑿缘臄?shù)列式判別法【摘 要】本文將數(shù)列的斂散性與反常積分的斂散性結(jié)合起來(lái),利用數(shù)列的性質(zhì),更為簡(jiǎn)便直觀地判別 反常積分的發(fā)散.11【篇 名】Scheduling concurrent production over a finite

50、 planning horizon:Polynesian solvable cases【摘 要】Scope and purpose Efficient utilization of modern flexible manufacturing systems is heavily dependent on proper scheduling of products throughout the available facilities. Scheduling of a workstation which produces concurrently a number of product type

51、s with controllable production rates in response to continuous, time-dependent demand is under consideration. Similar to the systems considered by many authors in recent years, a buffer with unlimited capacity is placed after the workstation for each product type. The objective is to minimize invent

52、ory storage, backlog and production costs over a finite planning horizon. Numerical approaches are commonly used to approximate the optimal solution for similar problems. The key contribution of this work is that the continuous-time scheduling.12【篇 名】Receding horizon iterative dynamic programming wi

53、th discrete time mode ts【摘 要】This contribution proposes a modified version of the Iterative Dynamic Programming (IDP) method. Two main differences to the original method are introduced. The new algorithm deals with discrete-time inputoutput models compared to continuous-time statespace models described by a set of ODE/DAE used in the original method. The main purpose of these modifications