向量代數(shù)及空間解析幾何復(fù)習(xí)

1、1向量代數(shù)與空間解析幾何復(fù)習(xí) 2012年 3月2空間直角坐標(biāo)系向量向量的乘法運算平面直線曲面曲線3空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系的生成 (三條相互垂直且具有相同長度單位的數(shù)軸，按右手法則排列）2. 坐標(biāo)系中元素（八個卦限） O z x y zOx yOz xOy O x y z 43. 空間兩點間距離),(),(22221111zyxPzyxP21221221221zzyyxxPPz x O y N M ) , , ( z y x P P y R z x 5 定義2.一些與向量相關(guān)的概念3.向量的幾何表示4.向量的坐標(biāo)表示式5.向量的運算N M 6向量a的模 零向量兩向量的相等（方向相同，

2、模相等）兩向量的夾角單位向量a（模為零的向量，記為 ）0( , ) (0)a b模為1的向量aaa與向量相關(guān)的概念與向量相關(guān)的概念7設(shè)M(x,y,z)為空間直角坐標(biāo)系中任一點，i,j,k分別為三個坐標(biāo)軸上的單位向量，則aOMxiyjzk 簡記為, ,ax y z且222axyzz A B C M M i k O x y j 8與向量 同向的單位向量為a222222222,oxyzaxyzxyzxyz令222222222cos,cos,cosxyzxyzxyzxyz則cos,cos,cosoacoscoscosijk 稱為向量 的方向余弦acos,cos,cos, ,xyz 是向量與軸， 軸，軸

3、正向的夾角稱為 的方向角a9222coscoscos1設(shè) 是空間直角坐標(biāo)系中的兩點，則11112222( ,),(,)M x y zMxy z12212121,M Mxx yy zz21222212121cos)()xxxxyyzz（） （21222212121cos)()zzxxyyzz（） （21222212121cos)()yyxxyyzz（） （ 并且有101. 數(shù)乘（實數(shù)與向量的乘積叫做數(shù)乘向量）2. 向量的加減法：平行四邊形法則；三角 形法則121212,abxxyy zz(1) 加法：加法：(2) 減法：減法：cba dba abcba dba 11加法交換律：abbacbacb

4、a)()(babaaa)()(加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：數(shù)乘結(jié)合律：121.數(shù)量積（點積，內(nèi)積）定義：坐標(biāo)表達(dá)式：111222 ,ax y zbxyz設(shè)12121 2a bx xy yz zcos( , )a ba ba b222222cos( , )xxyyzzxyzxyza ba ba ba baaabbb cos|baba 132aa：abbacabacba：babababa0數(shù)量積對消去律不成立數(shù)量積對消去律不成立。0acabacb0cababaca如 ，推不出 。因為當(dāng) 時 ，只能說明 且 。數(shù)量積的運算規(guī)律：兩向量垂直：向量模：142. 向量的向量積（叉積，外積）：ab：垂直 所在平

5、面， 構(gòu)成右手系。baba, ： 與 的向量積記做 為一向量。以 與 為邊的平行四邊形面積。ba a b a b sin|bac 幾何意義：15坐標(biāo)表達(dá)式：設(shè)111222 ,ax y zbxyz111111111222222222ijkyzzxxyabxyzijkyzzxxyxyz對任意兩個非零向量 和 ，若 則abba/000aa0iijjkkkjiikj0a b。注意：161.：abba2.：cbcacba3.：bababa向量積的運算律：173.混合積：cba,為三向量，稱cba為向量cba,的混合積，記為 。 , , ,xyzxyzxyzaa a abb b bcc c czyxzyx

6、zyxcccbbbaaacbacba18混合積的幾何意義：abcbahcoscbacba當(dāng) 時，20Vhba當(dāng) 時，2Vcba因此， 。cba,cba（ 為 與 的夾角）bac19混合積的運算律：2）具有輪換對稱性，即bacacbcba1）兩向量互換，混合積變號，即abcacbcbabac 20111222222 ,ax y zbxyzcxyz12121 2(1)00aba bx xy yz z111222(2) /0 xyzababxyz(3)0abab與 共線存在不全為零的數(shù) ， ，使21（4）向量間的夾角12121 2222222111222cos( , )x xy yz za bxyz

7、xyz（5） 共面, ,a b c 存在不全為零的數(shù) ， ， ，使0abc, ,0a b cabc共面, ,0a b cabc異面221）一個向量到坐標(biāo)軸的投影z x O y N M ) , , ( z y x P P y R z x , , aOPx y z aXx在 軸上的投影是aYy在 軸上的投影是aZz在 軸上的投影是232)向量到向量的投影Pr jcos( , )babaaa b到 的投影=Pr jba bab( )( )243）平面外一點到平面的投影點0 , , AxByCzDnA B C0000(,)P xy z0a.000 x- xy- yz- zP=ABC過 點做平面的垂線：

8、b.c.d將直線表示為參數(shù)式將參數(shù)式代入平面方程.求出交點（即為投影點）254）直線外一點到直線上的投影點111:xxyyzzlmnp , , lm n p0000(,)P xyza.將直線表示為參數(shù)方程b.求出直線上的點與po所組成的向量的方向向量c.利用垂直，求出參數(shù)，再求出交點265)平面外一直線在平面上的投影111:xxyyzzlmnp0 , , AxByCzDnA B Ca.將直線表示為一般式b.利用平面束，求出經(jīng)過直線并垂直于已知平面的平面c.將投影直線表示為一般式276)空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線 ：0),(0),(zyxGzyxF消去z，得到0),(yxH00),(zy

9、xH，方程為在平面上的投影28yoz平面上的00),(xzyRxoz平面上的：00),(yzxT29平面 直線 曲面 曲線方程1.一般式方程0AxByCzD2.點法式方程000()()()0A xxB yyC zz若方程中哪個坐標(biāo)不出現(xiàn)，則該平面就平行于哪個坐標(biāo)軸。0000(,) , , MxyznA B C為平面上一點，為平面的法向量303.三點式方程0111212121313131x- xy- yz- zx - xy - yz - zx - xy - yz - z4.截距式方程1xyzabc其中a，b，c分別為平面在三個坐標(biāo)軸上的截距。31設(shè)兩個平面的方程為11110A xB yC zD2

10、2220A xB yC zD則1112221)ABCABC平面平行1212122)0A AB BC C平面垂直2222221112223),121212A A +B B +C CABCABC平面相交 則夾角 由下式確定:cos =321.一般式方程1111222200AxB yC zDA xB yC zD2.點向式方程（對稱式方程）000 xxyyzzlmn333.參數(shù)方程000 xxltyymtzznt0000(,)Mxyzl,m,n其中為直線上的已知點,為直線的方向向量4.兩點式方程000212121xxyyzzxxyyzz11112222( ,),(,)Mx y zMxyz其中為直線上的

11、兩個已知點34兩直線方程分別為1111111:xxyyzzLlmn2222222:xxyyzzLlmn11122221)/1lmnLLlmn直線121 212122)0LLl lm mn n直線121 212122222221112223),:cosLLl lm mn nlmnlmn直線 與 的夾角由下式確定35l設(shè)直線L和平面 的方程分別為111:xxyyzzLlmn222:()()()0A xxB yyC zz2222221),sincos()2LAlBmCnABClmn與 的夾角為則362) /03)LAlBmCnABCLlmn371) 點到點的距離),(),(22221111zyxPz

12、yxP21221221221zzyyxxPP2)點到平面的距離平面外一點000(,)P xy z到平面0AxByCzD的距離000222AxByCzDdABC383)兩平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離4)直線平行與平面的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離5)直線外一點到直線的距離M0是直線外一點,M是直線上任意一點,是直線的方向向量,點M0到直線的距離為0M Msds12222DDdABC396)兩平行直線的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離7)兩條異面直線的距離已知直線L1,L2的方向向量為l1,l2。M1,M2分別是兩條直線上的點，若兩直線異面，即12120llM M則距離為40平面束過直線的平面束方程00

13、:22221111DzCyBxADzCyBxAL若有一平面包含直線L，則該平面可設(shè)為通過求，可求得平面方程。022221111DzCyBxADzCyBxA41F(x,y,z)=02222000 xxyyzzR三元二次方程；二次項同系數(shù)；無交叉項。在空間中， 表示一( , )0,z( , )00f x yf x yz準(zhǔn)線為母線平行于 軸的柱面方程為同理， 表示母線平行于 軸的柱面方程。( , )0 x zy42( , )0,0f x yzxy曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為0,22zyxf0,22zyxfO 1 O M ) , , 0 ( 1 1 1 z y M x y z 空間曲線繞軸旋轉(zhuǎn)43橢球面方程2222221xyzabczyx(1)范圍：czbyax,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax44單葉雙曲面方程2222221xyzabczxy45雙葉雙曲面方程2222221xyzabc 上的截痕為平面1yy雙曲線上的截痕為平面1xx雙曲線上的截痕為)(平面11czz