概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.1-2.2

1、第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù).),(,)(, 隨隨機(jī)機(jī)變變量量稱稱之之為為上上的的單單值值函函數(shù)數(shù)得得到到一一個(gè)個(gè)定定義義在在這這樣樣就就與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)中中每每一一個(gè)個(gè)元元素素如如果果對(duì)對(duì)空空間間為為是是隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)，它它的的樣樣本本設(shè)設(shè)eXXeXeE 定義定義1:)(xXPxF 稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X的分布的分布函數(shù)。函數(shù)。定義定義2:設(shè)設(shè)X是一隨機(jī)變量，是一隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，函數(shù)為任意實(shí)數(shù)，函數(shù)上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回 ，有有實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是右右連連續(xù)續(xù)的的。即即對(duì)對(duì)任任意意且且是是一一個(gè)個(gè)單單調(diào)調(diào)不不減減函函數(shù)數(shù)；xxFx

2、FxFxFxFxx)3(; 1lim, 0lim, 10)2()1( xFxF 0:分分布布函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回例例1： 口袋里裝有口袋里裝有3個(gè)白球個(gè)白球2個(gè)紅球，從中任取三個(gè)球，個(gè)紅球，從中任取三個(gè)球，求取出的三個(gè)球中的白球數(shù)的分布函數(shù)求取出的三個(gè)球中的白球數(shù)的分布函數(shù)解：解： 設(shè)設(shè)X表示取出的表示取出的3個(gè)球中的白球數(shù)。個(gè)球中的白球數(shù)。X的可能的可能取值為取值為1，2，3。而且由古典概率可算得。而且由古典概率可算得3 . 0/1351322 CCCXP6 . 0/2352312 CCCXP1 . 0/33533 CCXP 0 xXPxF 3 . 01 XP

3、xXPxF是是不不可可能能事事件件，因因而而時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1xXx ，因因而而時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)121 XxXx上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回 9 . 021 XPXPxXPxF因因而而且且時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),21,21 ,32 XXXXxXx為一必然事件，因而為一必然事件，因而時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)3xXx 1 xF于是，于是，X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為： 31329 . 0213 . 010 xxxxxF上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回 例例2: 考慮如下試驗(yàn)：在區(qū)間考慮如下試驗(yàn)：在區(qū)間0，1上任取一點(diǎn)，記錄它上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)的坐標(biāo)X。那么那么X是一隨機(jī)變量，根據(jù)試驗(yàn)條件可以認(rèn)為是一隨機(jī)變量，根據(jù)試驗(yàn)條件可以認(rèn)

4、為X取到取到0，1上任一點(diǎn)的可能性相同。求上任一點(diǎn)的可能性相同。求X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí) 0 xF時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)10 x xxXPxXPxF 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1 x 110 XPxXPxF解解 ： 由幾何概率的計(jì)算不難求出由幾何概率的計(jì)算不難求出X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 1 110 0 0 xxxxxF所以：所以：上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回.21概概率率還還能能算算出出其其它它各各事事件件的的的的概概率率，計(jì)計(jì)算算事事件件利利用用分分布布函函數(shù)數(shù)，不不僅僅能能xXx 0 0 0 1 :1221 xFxXPxFxFxXxPxFxFxXPxFxXP例例如如上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回

5、 第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量及其分布分布律常用表格分布律常用表格形式表示如下：形式表示如下：X x1x2xkpkp1p2pk 如果隨機(jī)變量所有的可能取值為有限個(gè)或可列無(wú)如果隨機(jī)變量所有的可能取值為有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，則稱這種隨機(jī)變量為限多個(gè)，則稱這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量。,.2 , 1 kpxXPkk 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為的可能取值為xk (k=1,2,),事事件件 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為pk ,即即稱為稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率或分布律的概率或分布律。kxX 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為區(qū)間區(qū)間

6、落入落入離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量為實(shí)軸上一區(qū)間，那么為實(shí)軸上一區(qū)間，那么設(shè)設(shè)IXI IxiipIXP的的分分布布函函數(shù)數(shù)的的計(jì)計(jì)算算公公式式量量由由此此可可得得離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變X xxiipxXPxF 。跳跳躍躍的的高高度度為為處處的的在在的的第第一一類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，而而且且是是，值值的的可可能能，的的分分布布函函數(shù)數(shù)是是階階梯梯函函數(shù)數(shù)離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量iipxxFxFxxXX21分布律的兩條分布律的兩條基本性質(zhì)基本性質(zhì)： 11)2(kkp0)1( kp, 2 , 1 k上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回的分布律為的分布律為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量例例X:3（）確定常數(shù)（）

7、確定常數(shù)a的值的值;（）求（）求的分布函數(shù)的分布函數(shù)因此因此61 aa 31211解：（）由分布律的性質(zhì)知解：（）由分布律的性質(zhì)知機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布情情況況。隨隨布布函函數(shù)數(shù)都都能能描描述述離離散散型型分分布布律律。用用分分布布律律和和分分的的的的分分布布函函數(shù)數(shù)，也也能能確確定定已已知知離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量XX p31a21上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回（2 2）由分布函數(shù)計(jì)算公式易得的分布函數(shù)為：）由分布函數(shù)計(jì)算公式易得的分布函數(shù)為： 0 01 0125 126 1 2xxF xxx上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回兩點(diǎn)分布（兩點(diǎn)分布（0-1分布）分布） 若在一次試驗(yàn)中若在一

8、次試驗(yàn)中X只可能取只可能取x1 或或x2 兩值兩值(x1x2),它的概率分布是它的概率分布是則稱則稱X服從兩點(diǎn)分布。服從兩點(diǎn)分布。 ,1),(0 121pxXPppxXP 當(dāng)規(guī)定當(dāng)規(guī)定x1=0,x2=1時(shí)兩點(diǎn)分布稱為（時(shí)兩點(diǎn)分布稱為（01）分布。）分布。簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為X(0-1)分布。分布。X 0 1pk 1-p p上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回 , 1 , 0)1(nkppCkXPknkkn 若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為二項(xiàng)分布（二項(xiàng)分布（Bernoulli分布）分布）其中其中0p0是一常數(shù)，是一常數(shù)，n是任意整數(shù)，設(shè)是任意整數(shù)，設(shè)npn=，則則對(duì)任意一固定的非負(fù)整

9、數(shù)對(duì)任意一固定的非負(fù)整數(shù)k，有有 ekppCkknnknknn!1lim上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng) 時(shí)用時(shí)用 （=np）作為作為 的近似值效果很好的近似值效果很好而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)效果更佳時(shí)效果更佳 05. 020n p， knnknknppC 110np100n ， ekk! ekk!的值有表可查。的值有表可查。例例6： 有同類(lèi)設(shè)備有同類(lèi)設(shè)備300臺(tái)，各臺(tái)工作狀態(tài)相互獨(dú)立。已臺(tái)，各臺(tái)工作狀態(tài)相互獨(dú)立。已知每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率為知每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率為0.01，若一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故，若一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障需要一人去處理，問(wèn)至少需要配備多少工人，才能保障需要一人去處理

10、，問(wèn)至少需要配備多少工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)修理的概率小于證設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)修理的概率小于0.01？ 130001. 0!3!1111NkkNkkNkknkknkekeppCNXPNXP 查表可知，滿足上式最小的查表可知，滿足上式最小的N是是8。至少需配備至少需配備8個(gè)工人才能滿足要求。個(gè)工人才能滿足要求。 解：解： 設(shè)設(shè)X表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)，依題意知表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)，依題意知Xb(300,0.01)，若配備若配備N(xiāo)位維修人員，所需解決的問(wèn)題位維修人員，所需解決的問(wèn)題是確定最小的是確定最小的N，使得：使得：PXN0為常數(shù)為常數(shù),則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，記的泊松分布，記為為X P( )上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回 若隨機(jī)事件流具有平穩(wěn)性、無(wú)后效性、普通性，則稱該事件流為泊松時(shí)間流： 平穩(wěn)性在