第一課時變化率與導(dǎo)數(shù)的概念

1、1. 1&1. 2變化率問題與導(dǎo)數(shù)的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景2.會求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率3.會利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)【學(xué)法指導(dǎo)】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，要認(rèn)真理解平均變化率、瞬時變化率的概念，可以從物理和幾何兩種角度理解導(dǎo)數(shù)的意義，深刻體會無限逼近的思想.問題 1氣球膨脹率我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來越慢從數(shù)學(xué)角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？問題探究問題探究( (一一) ) 平均變化率的概念平均變化率的概念氣球的半徑 r(單位： dm)與體積 V(單位： L)之間的函數(shù)關(guān)系是 r(V)33V4，思

2、考當(dāng)空氣容量從 V1增加到 V2時，氣球的平均膨脹率是：rV2rV1V2V1.問題探究問題探究( (一一) ) 平均變化率的概念平均變化率的概念問題 2高臺跳水在高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系 h(t)4.9t26.5t10.如何用運(yùn)動員在某些時間段內(nèi)的平均速度v粗略地描述其運(yùn)動狀態(tài)？思考課本第 3 頁 探究問題問題探究問題探究( (一一) ) 平均變化率的概念平均變化率的概念問題 3什么是平均變化率，平均變化率有何作用？如果問題中的函數(shù)關(guān)系用 yf(x)表示，那么問題中的變化率可用式子fx2fx1x2x1表示， 我們把這個式子稱為

3、函數(shù) yf(x)從 x1到 x2的平均變化率，平均變化率可以描述一個函數(shù)在某個范圍內(nèi)變化的快慢問題 4平均變化率也可以用式子yx表示，其中y、x 的意義是什么？x 表示 x2x1是相對于 x1的一個“增量”；y 表示 f(x2)f(x1)y 表示 f(x2)f(x1)x、y 的值可正可負(fù)，y 也可以為零，但x 不能為零題型與方法題型與方法 求平均變化率求平均變化率【例 1】已知函數(shù) f(x)2x23x5.求當(dāng) x14，且x1 時，函數(shù)增量y 和平均變化率yx；求當(dāng) x14，且x0.1 時，函數(shù)增量y 和平均變化率yx；若設(shè) x2x1x.分析題中的平均變化率的幾何意義思路點(diǎn)撥 求平均變化率的主要

4、步驟：先計(jì)算函數(shù)值的改變量yf(x2)f(x1)再計(jì)算自變量的改變量xx2x1.得平均變化率yxfx2fx1x2x1.【例 1】已知函數(shù) f(x)2x23x5.求當(dāng) x14，且x1 時，函數(shù)增量y 和平均變化率yx；求當(dāng) x14，且x0.1 時，函數(shù)增量y 和平均變化率yx；若設(shè) x2x1x.分析題中的平均變化率的幾何意義解f(x)2x23x5，yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x213x15)2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x.當(dāng) x14，x1 時，y2(443)121，yx21121.當(dāng) x14，x0.1 時，y20.12(443)0.10.021.91.

5、92，yx1.920.119.2.【例 1】已知函數(shù) f(x)2x23x5.求當(dāng) x14，且x1 時，函數(shù)增量y 和平均變化率yx；求當(dāng) x14，且x0.1 時，函數(shù)增量y 和平均變化率yx；若設(shè) x2x1x.分析題中的平均變化率的幾何意義在題中yxfx2fx1x2x1f5f454， 它表示拋物線上 P0(4,39)與點(diǎn)P1(5,60)連線的斜率在題中，yxfx2fx1x2x1f4.1f44.14，它表示拋物線上點(diǎn) P0(4,39)與點(diǎn) P2(4.1,40.92)連線的斜率變式訓(xùn)練已知函數(shù) f(x)x2x，計(jì)算 f(x)在區(qū)間x0，x0 x上的平均變化率，并求當(dāng) x02，x0.1 時平均變化率

6、的值問題探究問題探究( (二二) ) 函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)問題 1物體的平均速度能否精確反映它的運(yùn)動狀態(tài)？問題 2如何描述物體在某一時刻的運(yùn)動狀態(tài)？可以使用瞬時速度精確描述物體在某一時刻的運(yùn)動狀態(tài)如求 t2 時的瞬時速度，可考察在 t2 附近的一個間隔t，當(dāng)t 趨近于 0 時，看平均速度v的變化趨勢，用式子limt0h2th2t表示，這就是物體在 t2 時的瞬時速度函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù) yf(x)在 xx0處的瞬時變化率是limx0fx0 xfx0 xlimx0yx，我們稱它為函數(shù)yf(x)在 xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)limx0fx0 x

7、fx0 x.問題探究問題探究( (二二) ) 函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)問題探究問題探究( (二二) ) 函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)問題 3導(dǎo)數(shù)和瞬時變化率是什么關(guān)系？導(dǎo)數(shù)有什么作用？函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在這點(diǎn)處的瞬時變化率，導(dǎo)數(shù)可以反映函數(shù)在一點(diǎn)處變化的快慢程度定義平均變化率函數(shù) yf(x)從 x1到 x2的平均變化率為簡記作：yx瞬時變化率函數(shù) yf(x)在 xx0處的瞬時變化率是函數(shù) f(x)從 x0到 x0 x 的平均變化率在x0 時的極限，即limx0yx題型與方法題型與方法 求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)思路點(diǎn)撥求一個函數(shù) yf(x)在 xx0處

8、的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：求函數(shù)值的變化量yf(x0 x)f(x0)；求平均變化率yxfx0 xfx0 x；取極限，得導(dǎo)數(shù) f(x0)limx0yx.解由導(dǎo)數(shù)的定義知， 函數(shù)在 x2 處的導(dǎo)數(shù) f(2)limx0f2xf2x，而 f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x，于是 f(2)limx0 x2xxlimx0(x1)1.變式訓(xùn)練求函數(shù) f(x)3x22x 在 x1 處的導(dǎo)數(shù)問題探究問題探究( (三三) ) 函數(shù)平均變化率和導(dǎo)數(shù)的函數(shù)平均變化率和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用應(yīng)用問題函數(shù)平均變化率有什么幾何意義？有什么物理意義？函數(shù)平均變化率的幾何意義表示函數(shù) yf(x)圖象上割線P1P2的斜率(

9、其中 P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)，即fx2fx1x2x1fx1xfx1x；物理意義是把位移 s 看成時間 t 的函數(shù) ss(t)在時間段t1，t2上的平均速度，即vst2st1t2t1，導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時變化率【例 3】一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律 s2t22t(位移單位：m，時間單位：s)做直線運(yùn)動求：該質(zhì)點(diǎn)在前 3 s 內(nèi)的平均速度；質(zhì)點(diǎn)在 2 s 到 3 s 內(nèi)的平均速度；質(zhì)點(diǎn)在 3 s 時的瞬時速度問題探究問題探究( (三三) ) 函數(shù)平均變化率和導(dǎo)數(shù)的函數(shù)平均變化率和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用應(yīng)用解 vs3s03023223038 (m/s)該質(zhì)點(diǎn)在前 3 s 內(nèi)的平均速度為 8 m/s.vs3s232232232222212 (m/s)質(zhì)點(diǎn)在 2 s 到 3s 內(nèi)的平均速度為12 m/s.vlimt0s3ts3tlimt02414tt222923tlimt0(2t14)14 (m/s)，質(zhì)點(diǎn)在 3 s 時的瞬時速度為 14 m/s.達(dá)標(biāo)檢測達(dá)標(biāo)檢測1.在導(dǎo)數(shù)的定義中，自變量的增量x 滿足()A.x0C.x0D.x02.函數(shù) f(x)在 x0處可導(dǎo)，則limh0fx0hfx0h()A.與 x0、h 都有關(guān)B.僅與 x0有關(guān)，而與 h 無關(guān)C.僅與 h 有關(guān)，而與