控制系統(tǒng)數(shù)學建模

1、自動控制原理姚佩陽清華大學出版社、北京大學出版社3.1.1概述控制系統(tǒng)數(shù)學模型是描述系統(tǒng)內部各物理量（或變量）之間關系的數(shù)學表達式。靜態(tài)條件（變量的各階導數(shù)為0）描述各變量之間的關系的數(shù)學方程是靜態(tài)模型；動態(tài)過程用微分方程描述，建立動態(tài)模型。本章研究動態(tài)模型常見的數(shù)學模型建立法：分析法、實踐法分析法:利用控制系統(tǒng)或其組成元件所依據(jù)的物理或化學規(guī)律來建立模型并加以實驗驗證。實踐法：通過對實際控制系統(tǒng)或元件作用一定形式的輸入信號，求取孔子系統(tǒng)或元件的輸出相應的方法。3.1.2線性控制系統(tǒng)數(shù)學建模的建立一般步驟（1）根據(jù)系統(tǒng)或元件的工作原理確定系統(tǒng)輸入/輸出變量（2）從輸入端開始按信號傳遞順序，依照

2、各變量遵循的物理或化學定律，按技術要求忽略次要因素，并考慮相鄰元件的彼此影響，列出微分方程式或方程組。（3）消去中間變量，求得描述輸入量和輸出量關系的微分方程式。（4）標準化。性質：疊加性、均勻性（齊次性）輸入量r1+r2對應輸出量c1+c2輸入量ar1對應輸出量ac13.2.1傳遞函數(shù)概念線性定長系統(tǒng)傳遞函數(shù)定義：在零初始條件下，輸出量與輸入量的拉氏變換之比。對應微分方程：零初始條件：整理：C(s)為c(t)的拉氏變換；R(s)為r(t)的拉氏變換零初始條件：輸入作用是t=0以后才作用于系統(tǒng)；輸入信號作用于系統(tǒng)前系統(tǒng)相對靜止，0-時導數(shù)為03.2.2傳遞函數(shù)的幾點說明1傳遞函數(shù)是描述系統(tǒng)輸入

3、變量與輸出變量之間的數(shù)學表達式，利用拉氏變換推導得出。2傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式函數(shù)，分子多項式階數(shù)m低于或等于分母多項式階數(shù)n，且所有系數(shù)均為實數(shù)。nm由于系統(tǒng)中總會有慣性元件以及受系統(tǒng)能源限制。3傳遞函數(shù)只取決系統(tǒng)結構、元件參數(shù)，與外作用形式無關。4傳遞函數(shù)實在零初始條件下定義的，故傳遞函數(shù)在原則上不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的全部運動規(guī)律。5傳遞函數(shù)的幾種表現(xiàn)形式（如下）。3.2.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)框圖比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)3.3.1結構圖的組成四種基本單元：信號線、引出點、比較點、方框3.3.2結構圖的建立1列出控制

4、系統(tǒng)中各元件的微分方程式或方程組2對所列方程進行拉式變換,得到反映輸入變量和輸出變量的傳遞函數(shù),并將其寫入方框3按系統(tǒng)中各變量傳遞順序依次將各元件的傳遞函數(shù)方框用帶箭頭線段連接起來,將系統(tǒng)輸入變量置于左端,輸出變量置于右端3.3.3結構圖的等效變換1函數(shù)方框等效 串聯(lián)等效 G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s) C(s)= G1(s)G2(s)Gn(s)R(s) 并聯(lián)等效 G(s)=G1(s)G2(s) Gn(s) C(s)= C1(s)C2(s) Cn(s) 反饋等效其傳遞函數(shù)為 3.3.3結構圖的等效變換2信號綜合點和分離點的移動和互換（1）一般情況下綜合點和分離點在移動前后應保持所變換

5、的信號在變換前后的等效性，一般情況下綜合電荷分離點之間的位置不宜交換，比較符號-不能超過綜合點、分離點。（2）信號綜合點的移動：原信號不變，在信號綜合點移動后保證信號相加的代數(shù)和不變。3.3.3結構圖的等效變換2信號綜合點和分離點的移動和互換（3）信號分離點的移動：保證原各點信號不變，在信號分離點移動后保證該分支信號不變。（4）信號綜合點的互換：根據(jù)加法交換律，兩個或兩個以上信號綜合點位置可換。（5）信號分離點的互換：兩個或兩個以上相鄰的信號分離點位置互換。3.4.1信號流圖及其組成節(jié)點（。）輸入節(jié)點（X1）、輸出節(jié)點（X1， X6） 、混合節(jié)點（ X2到 X5 ）支路先前通路、回路、不接觸回路3.4.2信號流圖的繪制1，根據(jù)系統(tǒng)微分方程式或微分方程式組繪制信號流圖。2，利用系統(tǒng)結構圖繪