微積分發(fā)展史

1、聊城大學(xué)東昌學(xué)院本科畢業(yè)論文聊城大學(xué) 本科生畢業(yè)論文 題 目：微積分的發(fā)展史 專業(yè)代碼： 070101 作者姓名： 學(xué) 號： 單 位： 指導(dǎo)教師： 年 月 日聊城大學(xué)東昌學(xué)院本科畢業(yè)論文目 錄前言11.古代東西方微積分思想的萌芽12.微積分的產(chǎn)生22.1微積分的誕生22.2柯西與魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)33.微積分的意義54.東西方微積分發(fā)展差異分析5結(jié)論6參考文獻(xiàn)8致謝91聊城大學(xué)東昌學(xué)院本科畢業(yè)論文摘 要 微積分作為數(shù)學(xué)的一個重要分支,是許多學(xué)科的重要工具.那么它是如何產(chǎn)生的,對于微積分的發(fā)展史我們從中能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律和啟示呢？通過研究微積分的歷史可以有助于我們的科研與生產(chǎn),對于理解微積分也有很大

2、的幫助.關(guān)鍵詞:微積分；發(fā)展史；啟示；意義1聊城大學(xué)東昌學(xué)院本科畢業(yè)論文AbstractCalculus as an important branch of mathematics, is an important tool in manydisciplines. So how it is produced, the development history of calculus from which we can find out what rules and Enlightenment Through the study of calculus of history can contrib

3、ute to the scientific research and production of our calculus, for the understanding is also a great help. Key words:Calculus; development history; inspiration; law 1微積分的發(fā)展史前言微積分學(xué)是微分學(xué)與積分學(xué)的總稱,微積分作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個分支,它的觸角幾乎遍布當(dāng)今科學(xué)的各個角落,更是當(dāng)今科學(xué)的重要基石.微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一.微積分的發(fā)展同時推動了天文學(xué)和物理學(xué)前進(jìn)的步伐,摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學(xué).

4、不僅如此,微積分在數(shù)學(xué)這一學(xué)科中同時又貫穿了多個分支體系,如極限、微分學(xué)、積分學(xué)、以及導(dǎo)數(shù)等.1.古代東西方微積分思想的萌芽微積分作為一門學(xué)科是在十七世紀(jì)產(chǎn)生的,標(biāo)志是牛頓萊布尼茲公式.然而正如牛頓所說：“如果說我比別人看的更遠(yuǎn)些,那是因?yàn)槲艺驹诹司奕说募缟稀?作為一門學(xué)科,它的產(chǎn)生絕不是偶然,那是無數(shù)先人的努力與支持.公元前三世紀(jì),古希臘的阿基米德在研究解決“拋物弓形的面積,球和球冠面積,螺旋下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積”的問題中,就隱含著近代積分學(xué)的思想.再比如古希臘數(shù)學(xué)家安提豐的“窮竭法”,前四世紀(jì)由歐多克斯作了補(bǔ)充和完善,它們用來求平面的面積和立體的體積.而在東方,在中國,前四世紀(jì)的春秋戰(zhàn)

5、國時代者惠施稱：“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”,引出收斂的數(shù)列在這里安提豐的“窮竭法”和惠施的“一尺之棰”都是極限思想的濫觴.至公元三世紀(jì),三國魏人劉徽作九章算術(shù)注,提出“割圓術(shù)”割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣.他的數(shù)學(xué)表述是以圓的內(nèi)接正邊形的面積近似單位圓的面積,算的邊形,得,又進(jìn)一步通過629174邊形,得到一個相當(dāng)于3.14159的分?jǐn)?shù),即愈大,愈小;.剩余面積可以被竭盡.在中國古代此方法用來求圓周率,在劉徽極限思想的影響下,后來者祖沖之進(jìn)一步求得更精確的圓周率. 南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶于1274年撰寫了劃時代巨著數(shù)書九章十八卷,創(chuàng)舉世聞名的“大衍求一術(shù)”

6、增乘開方法解任意次數(shù)字（高次）方程近似解,比西方早500多年.北宋大科學(xué)家沈括的夢溪筆談獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和的研究. 在此可見在古代的東西方微積分的極限思想已普遍產(chǎn)生,并已經(jīng)能夠解決實(shí)際問題,并且在我國的一些文學(xué)或哲學(xué)文獻(xiàn)中也有極限的思想.思想家荀子“盡小者大,積微者著”,“不積跬步,無以至千里；不積小流,無以成江?！?沈括在夢溪筆談中也提到了“造微之術(shù)”當(dāng)時沈括已經(jīng)知道分割的單元愈小,所求得的體積,面積俞精確.盡管中國在古代已有微積分思想的萌芽,但微積分最終還是誕生在了西方.2.微積分的產(chǎn)生在十七世紀(jì),隨著人們思想的不斷解放,科學(xué)研究的不斷深入

7、,不少科學(xué)問題都以解決,但同樣還有新的問題出現(xiàn),這些問題主要涉及物理學(xué)、天文學(xué)、軍事等,總結(jié)起來就是求曲線圍成的面積、體積.以及曲線上任意一點(diǎn)的斜率.解決這些迫切需要解決的問題,需要經(jīng)過長時間的研究、討論、醞釀,有關(guān)知識漸漸積累起來,一些最活躍的人理應(yīng)稱為微積分的先驅(qū).2.1微積分的誕生在微積分被發(fā)現(xiàn)之前,求面積只能求規(guī)則圖形的面積,一些在解析幾何中出現(xiàn)的不規(guī)則的圖形的面積,由于沒有公式而無從下手.在十七世紀(jì)求不規(guī)則面積、體積、曲線長,始于開普勒.他懷疑酒商的酒桶體積,認(rèn)為旋轉(zhuǎn)體的體積是非常薄的圓盤體積之和,卡瓦列里求積提出不可分量法,認(rèn)為面積是無數(shù)個等距平行線段構(gòu)成的.線是由點(diǎn)構(gòu)成的,就像鏈

8、由珠子穿成一樣；面是由直線構(gòu)成,就像布是由線織成一樣；立體是由平面構(gòu)成,就像書是由頁組成一樣.卡瓦列里的理論來自“窮竭法”,而費(fèi)馬的方法更接近現(xiàn)代的積分,他用小矩形面積近似小曲邊形的面積,最后用相當(dāng)于和式極限的方法,得到正確的結(jié)果,求得一個冪函數(shù)曲線下的曲變形的面積.此后還有華里斯、羅貝瓦兒、這些人都已來到微積分的大門口.微積分的研究源于運(yùn)動學(xué),即對切線極值、運(yùn)動速度的研究.對于切線,有笛卡爾的早期研究,開普勒用列表法確定了最大體積,他注意到體積接近最大值時,由尺寸的變化引起體積的變化越來越小,這正是的原始形式,當(dāng)時人們已認(rèn)識到的重要性.最后的沖刺來自牛頓與萊布尼茲.牛頓總結(jié)了先輩思想和方法,

9、1664-1666年提出流數(shù)理論,建立了一套導(dǎo)數(shù)方法,他稱之為“流數(shù)術(shù)”,牛頓稱連續(xù)變化的量為流動的量或流量（fluent）,用英文字母等表示,的無限小的增量為的瞬,即無限小時間間隔為瞬,用小寫字母表示.流量的速度,即流量在無限小的時間間隔內(nèi)的變化率,稱為流數(shù)（fluxion of flutnt),用帶點(diǎn)的字母表示.牛頓的“流數(shù)術(shù)”就是以流量和瞬為基本概念的微積分,牛頓用有限差分的最初比和最終比來描述“流數(shù)術(shù)”,如函數(shù),流量從流到,函數(shù)值的增量,瞬與增量之比（最初比）,當(dāng)消失時,最后比即,相當(dāng)于.牛頓不僅僅引入導(dǎo)數(shù),還明確了導(dǎo)數(shù)是增量比極限的思想,在1669年寫的運(yùn)用無限多項(xiàng)方程的分析學(xué)不僅給

10、出求一個變量對另一個變量的瞬時變化率的普遍方法,還證明了“面積可以由變化率的逆過程得到”即“如果區(qū)間上曲線是則它下面的曲邊形面積為或,這一結(jié)論稱為牛頓-萊布尼茲定理,此外牛頓還引入分部積分法、變量代換法、方程求根切線法,曲線弧長計(jì)算方法.牛頓足跡幾乎遍布每一個數(shù)學(xué)分支.萊布尼茲在同期也做出同樣的貢獻(xiàn),因此微積分的根本定理是由牛頓與萊布尼茲共同命名.他們的貢獻(xiàn)在于將微分、積分的知識聯(lián)系起來,發(fā)現(xiàn)了更具有本質(zhì)、更有普遍意義的內(nèi)涵,給出了純潔的概念,特別是建立了變化的概念,創(chuàng)立了有普遍意義的微積分方法等.初創(chuàng)的微積分尚有不少問題,其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的建立有待后世數(shù)學(xué)家給其注入嚴(yán)密性.2.2柯西與魏爾斯特拉斯

11、的貢獻(xiàn) 微積分學(xué)創(chuàng)立以后,由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性,使微積分學(xué)成為了研究自然科學(xué)的有力工具.但微積分學(xué)中的許多概念都沒有精確嚴(yán)密的定義,特別是對微積分的基礎(chǔ)無窮小概念的解釋不明確,在運(yùn)算中時而為零,時而非零,出現(xiàn)了邏輯上的困境.多方面的批評和攻擊沒有使數(shù)學(xué)家們放棄微積分,相反卻激起了數(shù)學(xué)家們?yōu)榻⑽⒎e分的嚴(yán)格而努力.從而也掀起了微積分乃至整個分析的嚴(yán)格化運(yùn)動.微積分的嚴(yán)格化工作經(jīng)過近一個世紀(jì)的嘗試,到19世紀(jì)初已開始顯現(xiàn)成效.對分析的嚴(yán)密性真正有影響的先驅(qū)則是偉大的法國數(shù)學(xué)家柯西.柯西在數(shù)學(xué)上的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了極限概念,并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系.這是微積分發(fā)展史上

12、的精華,也是柯西對人類科學(xué)發(fā)展所做的巨大貢獻(xiàn).與此同時,柯西還在此基礎(chǔ)上創(chuàng)建了復(fù)變函數(shù)的微積分理論.柯西對定積分作了最系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作,他把定積分定義為和的“極限”.在定積分運(yùn)算之前,強(qiáng)調(diào)必須確立積分的存在性.他利用中值定理首先嚴(yán)格證明了微積分基本定理.柯西關(guān)于分析基礎(chǔ)的最具代表性的著作是他的分析教程(1821)、無窮小計(jì)算教程(1823)以及微分計(jì)算教程(1829),它們以分析的嚴(yán)格化為目標(biāo),對微積分的一系列基本概念給出了明確的定義,在此基礎(chǔ)上,柯西嚴(yán)格地表述并證明了微積分基本定理、中值定理等一系列重要定理,定義了級數(shù)的收斂性,研究了級數(shù)收斂的條件等,他的許多定義和論述已經(jīng)非常接近于微積分的

13、現(xiàn)代形式.柯西的工作在一定程度上澄清了在微積分基礎(chǔ)問題上長期存在的混亂,向分析的全面嚴(yán)格化邁出了關(guān)鍵的一步.另一位為微積分的嚴(yán)密性做出卓越貢獻(xiàn)的是德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯.魏爾斯特拉斯是一個有條理而又苦干的人,在中學(xué)教書的同時,他以驚人的毅力進(jìn)行數(shù)學(xué)研究.魏爾斯特拉斯定量地給出了極限概念的定義,這就是今天極限論中的“-”方法.魏爾斯特拉斯用他創(chuàng)造的這一套語言重新定義了微積分中的一系列重要概念,特別地,他引進(jìn)的一致收斂性概念消除了以往微積分中不斷出現(xiàn)的各種異議和混亂. 另外,魏爾斯特拉斯認(rèn)為實(shí)數(shù)是全部分析的本源,要使分析嚴(yán)格化,就首先要使實(shí)數(shù)系本身嚴(yán)格化.而實(shí)數(shù)又可按照嚴(yán)密的推理歸結(jié)為整數(shù)（有理數(shù)

14、）.因此,分析的所有概念便可由整數(shù)導(dǎo)出.這就是魏爾斯特拉斯所倡導(dǎo)的“分析算術(shù)化”綱領(lǐng).基于魏爾斯特拉斯在分析嚴(yán)格化方面的貢獻(xiàn),在數(shù)學(xué)史上,他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號.通過柯西以及后來魏爾斯特拉斯的艱苦工作,數(shù)學(xué)分析的基本概念得到嚴(yán)格的論述.從而結(jié)束微積分二百年來思想上的混亂局面,把微積分及其推廣從對幾何概念,運(yùn)動和直觀了解的完全依賴中解放出來,并使微積分發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)最龐大的數(shù)學(xué)學(xué)科.3.微積分的意義眾所周知,由古希臘繼承下來的數(shù)學(xué)是常量的數(shù)學(xué),是靜態(tài)的數(shù)學(xué).自從有了解析幾何和微積分,就開辟了變量數(shù)學(xué)的時代,是動態(tài)的數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)開始描述變化、描述運(yùn)動,改變了整個數(shù)學(xué)世界的面貌.數(shù)學(xué)也

15、由幾何的時代而進(jìn)人分析的時代.微積分給數(shù)學(xué)注入了旺盛的生命力,使數(shù)學(xué)獲得了極大的發(fā)展,取得了空前的繁榮.如微分方程、無窮級數(shù)、變分法等數(shù)學(xué)分支的建立,以及復(fù)變函數(shù),微分幾何的產(chǎn)生.嚴(yán)密的微積分的邏輯基礎(chǔ)理論進(jìn)一步顯示了它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的普遍意義.微積分的建立是人類理性思維的結(jié)晶.他給出一整套科學(xué)的方法,開創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元,并因此加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系,加深了數(shù)學(xué)的應(yīng)用.它極大的推動力天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支的發(fā)展,并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用.特別是在物理學(xué)方面,有了微積分人們才能把握運(yùn)動過程,萬有引力被發(fā)現(xiàn)并導(dǎo)出了開普勒行星

16、運(yùn)動三定律,衛(wèi)星、宇宙飛船、航天飛機(jī)不在是夢.與我們聯(lián)系密切的現(xiàn)代工程技術(shù),直接影響到人們的物質(zhì)生產(chǎn),而工程技術(shù)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué),都離不開微積分.如今微積分不但成了自然科學(xué)和工程技術(shù)的基礎(chǔ),而且還滲透到人們廣泛的經(jīng)濟(jì)、金融活動中,也就是說微積分在人文社會科學(xué)領(lǐng)域中也有著其廣泛的應(yīng)用.一場空前巨大的,席卷近代世界的科學(xué)運(yùn)動開始了,毫無疑問,微積分的發(fā)展是世界近代科學(xué)的開端.4.東西方微積分發(fā)展差異分析在13世紀(jì)40年代到14世紀(jì)初,各主要（數(shù)學(xué)）領(lǐng)域都達(dá)到了中國古代數(shù)學(xué)的高峰,出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、“正負(fù)開方術(shù)”、“大衍求一術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余式組解法）、

17、“垛積術(shù)”（高階等差級數(shù)求和）、“招差術(shù)”（高次差內(nèi)差法）、“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法）、“四元術(shù)”（四元高次方程組解法）、勾股數(shù)學(xué)、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位的杰出成果,中國古代數(shù)學(xué)有著微積分前兩階段的出色工作,其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵.中國已具備了17世紀(jì)發(fā)明微積分前夕的全部內(nèi)在條件,已經(jīng)接近了微積分的大門.可惜中國元朝以后,八股取士制度造成了學(xué)術(shù)上的大倒退,封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)水平日漸衰落,在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了.為什么微積分會產(chǎn)生在西方,而不是中國.東西方（東方特指中國）微積分的思想幾乎同時

18、產(chǎn)生,并且中國古代的數(shù)學(xué)成就也是相當(dāng)輝煌.在東西方極限思想一般是用來計(jì)算平面面積和立體的體積,如上文中劉徽求圓的面積,歐多克斯用“窮竭法”求面積與體積等,這與古代的分田,交稅等活動是分不開的,而在近代的西方,文藝復(fù)興、啟蒙運(yùn)動極大地解放了人們的思想,隨之而來的資產(chǎn)階級革命更使西方在底層發(fā)生了改變,生產(chǎn)力大發(fā)展,人們對知識的渴望從未如此強(qiáng)烈,一批批各領(lǐng)域的大師紛紛登上歷史的舞臺,推動者科學(xué)的發(fā)展,當(dāng)時間來到牛頓等人之時,微積分的大門被打開了.反觀中國,小農(nóng)經(jīng)濟(jì),所謂男耕女織,一直都是不變的信條,國內(nèi)沒有發(fā)展自然科學(xué)的土壤,明朝更是大興文字獄,人們的思想進(jìn)一步被禁錮.在這里說明一下,中國的科技,大

19、多是技術(shù),比如：醫(yī)學(xué)、農(nóng)學(xué)、水利工程等.這與近代西方的科學(xué)有著本質(zhì)的不同,近代西方科學(xué)是建立在近代科學(xué)方法論的基礎(chǔ)之上,是通過實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)推導(dǎo)演繹來研究的,是科學(xué)的,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?中國則更像是經(jīng)驗(yàn)的積累,這也是微積分沒有產(chǎn)生在中國的原因.當(dāng)然中國古代由幾何問題引起極限,微積分等觀念思想萌芽的出現(xiàn),所用方法本質(zhì)上是靜態(tài)的,只有牛頓、萊布尼茲在他們先驅(qū)者所做工作的基礎(chǔ)上才發(fā)展成動態(tài)分析的方法. 結(jié)論微積分的發(fā)明不是一蹴而就的,而是人類集體智慧的結(jié)晶,是無數(shù)科學(xué)家長期奮斗的結(jié)果.數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐,沒有當(dāng)時大量實(shí)際問題的涌現(xiàn),沒有科學(xué)家深入實(shí)際,將大量實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的研究,是不可能產(chǎn)生微積分理

20、論的.東西方微積分發(fā)展差異在于：早期東西方都產(chǎn)生了微積分的極限思想，他們都用來解決一些實(shí)際問題，比如：求圓的面積、分田等，不同的是西方在后來有了更科學(xué)的研究體系，現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識不能解決當(dāng)時的問題，如：牛頓求物體的位移。所以微積分作為工具出現(xiàn)了。東西方微積分發(fā)展差異在于中國近代科學(xué)沒有發(fā)展，想一想如果中國古代也有一個人被蘋果砸了一下悟出了萬有引力，他去研究運(yùn)動學(xué)，需要計(jì)算加速度、位移什么的，也許微積分就是中國人發(fā)明的了。說到底，微積分是作為工具出現(xiàn)的，用不到這樣的工具，它就沒有出現(xiàn)的必要了。微積分的發(fā)展史是近代科學(xué)發(fā)展的縮影,中國由領(lǐng)先到落后是值得深思的.科技是第一生產(chǎn)力,由微積分的發(fā)展史聯(lián)想到科技對一個國家