-高中數(shù)學新人教A課件必修5第二章2.3等差數(shù)列的前n項和(二)

1、第二章 數(shù)列 THE SECOND CHAPTER2.3等差數(shù)列的前項和（二）【學習目標】1. 熟練掌握等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，并能靈活運用.2掌握等差數(shù)列前項和的最值問題.3.理解冷與S的關(guān)系，能根據(jù)S求知【學法指導】=1 任何一個數(shù)列仏與它的前n項和S“之間都有一個等量關(guān)系式，此公式為：an S1（ = 1），s一 S“1 （心 2）一個數(shù)列的前項和，則可利用此公式求得此數(shù)列的通 項公式，同時要注意此公式是一個分段的函數(shù)，所以在使 用此公式求解時，要分類討論.2. 數(shù)列中的最值問題可以根據(jù)二次函數(shù)的最值加以求解， 這也是利用函數(shù)解決數(shù)列問題的一個重要應(yīng)用.3. 等差數(shù)列的前項和與二次函數(shù)聯(lián)系

2、十分緊密，要辨析 它們之間的關(guān)系，從更高境界處理等差數(shù)列的前n項和問題.1.前兀項和s與給之間的關(guān)系對任意數(shù)列atl9 S是前項和，S刃與給的關(guān)系可以表示為 S(w = l),U，t pzt5n-i(n $ 2).2等差數(shù)列前項和公式Sfl= 2 (n(n 1), _ na + z d3若等差數(shù)列如的前兀項和公式為Sfl=An2+Bn+C9貝!|A = d_d2 , B= a2 , C=0_.4.已知數(shù)列“的通項公式是“”=248,則S“取得最小值 時，n為. 23或24解析 T 6/24 = 0，*1 匕2,，。230，故S23 = S24最小.問題情境1. 如果已知數(shù)列“的前項和S“的公式

3、，那么這個數(shù)列確 定了嗎？如果確定了，那么如何求它的通項公式？應(yīng)注 意一些什么問題？2. 如果一個數(shù)列的前項和的公式是Sn=an2-bn-c（a, b, c為常數(shù)），那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？3. 如果“”是一個等差數(shù)列，那么%1還是等差數(shù)列嗎？如 果不再是等差數(shù)列，如何求么1的前項和？這一節(jié)課我們就來解答上面的問題.探究點一 數(shù)列仙的前M項和s 與給的關(guān)系問題 我們已經(jīng)知道，如果通項公式已知，就能求岀S”；反 過來，如果已知數(shù)列仙的前項和S”，能否求出它的通項公 式心答 對所有數(shù)列都有：S = di+a24?t+如Sn-a+a2+ +如一 1（刃三2）因此，當卅$2時，有af1=SnSn

4、；當n= 時，有U S.所以給與S的關(guān)系為給=。c注意這一關(guān)系適用于所有數(shù)列，并且如果能統(tǒng)一用一個解析式禺= /S）（WN+）來表示，應(yīng)當統(tǒng)一表示.探究 如果數(shù)列仙的前比項和的公式是Sfl=an2-bn-c(a9 b9C為常數(shù))，求通項公式給，并判斷這個數(shù)列一定是等差數(shù)列 嗎？答案 當斤=1 時，ci=S=cibc；當斤22時,an=SnSn-=(an2-bn-c) a( d=2 .s”=彳此時2-5,-3, 1,1,3, 1= _5 , d= 2 .Sn= n2 6n(Smin= ,此時n= 3 134,2,0,2,4,，d= -2 .Sn =H2+5n(S/i)max=，此時W= 2或34

5、 12,-3,-4,5,，如=T , d= T .s”=1 2 1 尹一尹(S”)max= T， 此時=通過上面的例子，我們看到等差數(shù)列前IZ項和的最值在項的符號 分界點處取到，據(jù)此完善下列結(jié)論： 若如0, V0,則數(shù)列的前面若干項為正項（或0），所以將這 些項相加即得S死的最主值（2）若如V0, 0,則數(shù)列的前面若干項為蟲項（或0）,所以將這 些項相加即得的最仝值;特別地，若如0, J0,貝!|Si是S訃的最小值;若偽VO, MV0,則$是S訃的最主值.【典型例題】例1已知數(shù)列“的前項和為S”，且s=2n23n,求通項 公式afl.解、勺=1 時，Q=S = 1,當時，anSnSn-=4n

6、5.乂 V6/1 = 1 適合an=4n5,an=4n 5 (n).小結(jié) 已知前斤項和求通項如，先扣=1時，d=Si求得， 再由斤三2時，anSnS_求,最后驗證是否符合,若符 合則統(tǒng)一用一個解析式表示.跟蹤訓練1已知數(shù)列如的前n項和S“=3,解 當斤=1時，cii=Si = 3；心2時，禺=比S1 = 3一 3t = 23t .=p G=l）給_23一（心2） 例2在等差數(shù)列冷中，at-2n-149試用兩種方法求該數(shù)列前n項和Sh的最小值解 方法一 .給=2斤一14, .& = 12, d=2. a a2 6/66/7=06/86/90,為=25 2(/1 1)20,6z/2+1= 25 2

7、/1W 0,所以當刃=13時，比有最大值.Si3 = 25X13 +13X(13 1)2X(-2)=169.因此S”的最大值為169.方法二 由 S17 = S Wio+dll+如7 = 0血 do+么17=。11 + a 16=12+15=13+a 14,故013+。14=0由方法一知 =2v0,又因為。10,所以 130, 140,故當=13時，乙有最大值.Si3 = 25X13 +13X(13 1)2X( 2)=169.因此為的最大值為169.例3若等差數(shù)列仙的首項如= 13M=4,記幾=|如1+如+ +如,求幾.角軍 *6/j= 13= 4, * cin = 174斤當 W4時,_ (

8、| nn 1) iTn a-a + 1給1=。1+。2+給=1+2 d=13斤+妝； D X (_4)= 15斤_2用；當 25時,幾=1。11 + 1。21+ + 1。=(01+02 + 03 + 04) (05 + 6an)(13+1)X4?5*4(S“ _ S4) = 25*4S = 2 X2 一 (1一 2n )=56+2/ 15n. 丁 0, 6Z 6/26/3。4。5。6：= ，。7故當 =5或6時，S,?最大.課堂小結(jié)1.公式給=S一S歸并非對所有的neN*都成立，而只對比$2 的正整數(shù)才成立.由S”求通項公式時，要分=1和 32兩種情況分別計算，然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一解 析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示.2.求等差數(shù)列前項和的最值(1)二次函數(shù)法：