必修一函數(shù)經典例題

1、例4.已知logm4 logn4,比較m ,n的大小。解：logm4 logn4,11log 4 m log 4 n1log 4 m1log 4 n1).f(x) 1og2( x2 1 x)所以,110g2 -ii 7 10g 2 t2= (x10g2 x2 1 f (x)為奇函數(shù)。11)2f(x),例7.求函數(shù)y 21og 1 (x233x2）的單調區(qū)間。3 c 13斛：令 u x 3x 2 (x -) 一在一，242又 x2 3x 2 0 ,x 2或 x故u x2 3x 2在(2,)上遞增，在(）上遞增，在（，3上遞減，21,1）上遞減，又y 21og u為減函數(shù),3，log 4 n lo

2、g 4 m , . m n 1.1 1當 0 m 1, 0 n 1 時，得一1一 0,log 4 mlog4 nlog 4 n log 4 m ,0 n m 1 .當 0 m 1, n 1 時，得 10g 4 m 0 , 0 log4 n ,1- 0 m 1, n 1 ,0 m 1 n .綜上所述，m, n的大小關系為m n 1或0 n m 1或0 m 1 n .例5.求下列函數(shù)的值域：22(dy 10g2(x 3)； (2) y 10g2(3 x ) ； (3) y loga(x 4x 7) ( a 0且 a解：(1)令 t x 3,則 y log2t, t 0 , y r ,即函數(shù)值域為r

3、 .(2)令 t 3 x2,則 0 t 3,y 10g2 3,即函數(shù)值域為(,log 23.(3)令 t x2 4x 7 (x 2)2 3 3,當 a 1 時，y loga3,即值域為log a 3,),當 0 a 1 時，y log a 3 ,即值域為(,log a 3.例6.判斷函數(shù)f （x） 10g2（jx1 x）的奇偶性。),解：: jx2 1 x恒成立，故f（x）的定義域為（）上遞增，在（，1）上遞減。所以，函數(shù) y 210gl(x2 3x 2)在(2,1 j3）上是增函數(shù)，a的取值范圍。3例8.若函數(shù)ylog2(x2 ax a)在區(qū)間(解：令 u g(x) x2 ax a,函數(shù) y

4、log 2 u為減函數(shù)，1 u g(x) x2 ax a在區(qū)間(,1 j3)上遞減，且滿足u 0,a 13_ . 2,解得 2 243 a 2,g(13) 0所以，a的取值范圍為2 273, 2.2xx例1已知函數(shù)f(x) x bx c滿足f(1 x) f(1 x),且f(0) 3 ,則f (b )與f (c )的大小關系是.分析：先求b, c的值再比較大小，要注意 bx, cx的取值是否在同一單調區(qū)間內.解： f(1 x) f (1 x), :函數(shù)f(x)的對稱軸是x 1 .故 b 2 ,又 f (0) 3 , c 3 .:函數(shù)f (x)在 8上遞減，在1, oo上遞增.若 x 0 ,則 3

5、x2x1 ,f (3x) f (2x)；若 x 0 ,則 3x 2x 1 ,f (3x) f (2x).綜上可得 f(3x) f(2x),即 f(cx) f(bx).評注：比較大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函數(shù)的單調性或中間量等.對于含有參數(shù) 的大小比較問題，有時需要對參數(shù)進行討論.2.求解有關指數(shù)不等式例2已知(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x ,則x的取值范圍是 .分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調性求解，注意底數(shù)的取值范圍.解： a2 2a 5 (a 1)2 44 1, 2x:函數(shù)y (a 2a 5)在(8)上是增函數(shù)，1 13x 1 x ,解得x .：x的取值范圍是 一，8

6、 . 44評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式，并判斷底數(shù)與1的大小，對于含有參數(shù)的要注意對參數(shù)進行討論.3 .求定義域及值域問題例3求函數(shù)y ji 6x 2的定義域和值域.解：由題意可得1 6x 20 ,即6x 2 0 1 ,x 2w0,故x02. :函數(shù)f(x)的定義域是8,2令t 6x2 ,則 y jtt ,又 xw2,：x 2 0.0 6x2w1,即 0 t01. 00 且 y，1.(2)y =4x+2x+1+1 的定義域為 r.2x0, z.y = 4x+2x+1 +1 = (2x) 2+2 - 2x+1 = (2x+1)21.,-.y = 4x+

7、2x+1+1 的值域為 y i y1.4已知-1wx&2,求函數(shù)f(x)=3+2 - 3x+1-9的最大值和最小值1解：設 t=3 ,因為-1 x2,所以 一 t 9,且 f(x)=g(t)=-(t-3)+12，故當 t=3 即 x=1 時，f(x)取取大3值12,當t=9即x=2時f(x)取最小值-24 。5、設,求函數(shù)的最大值和最小值分析：注意到,則原來的函數(shù)成為,利用閉區(qū)間上二次函數(shù)的值域的求法，可求得函數(shù)的最值.解：設知,故函數(shù)最小值為距對稱軸遠，故函數(shù)的最大值為6(9 分)已知函數(shù)y a2x 2ax 1(a1) 在區(qū)間 1,1上的最大值是14，求a 的值 .解：y a2x 2ax 1

8、(a 1),換元為 y t2當a 1 , t a ,即x=i時取最大值，略解彳導a=3 (a= 5舍去)-1.2t 1(- t a),對稱軸為t 1. a7.已知函數(shù)1 ）求的最小值； （ 2 ）若的取值范圍1)時,有最小值為2)時,時,m的值;2-8(10分)(1)已知f (x) m是奇函數(shù)，求常數(shù)31x .(2)畫出函數(shù)y | 311的圖象,并利用圖象回答:x . 一k為何值時，萬程|3 1 i =卜無解？有一解？有兩解?解：(1)常數(shù)m=1(2)當k0時，直線y=k與函數(shù)y | 3x1 |的圖象無交點，即方程無解；當k=0或k 1時，直線y=k與函數(shù)y|3x 1 |的圖象有唯一的交點，所

9、以方程有一解當0k1時，直線y=k與函數(shù)y |3x 1 |的圖象有兩個不同交點，所以方程有兩解。9若函數(shù)是奇函數(shù)，求的值.解:為奇函數(shù),則4得(3x-9)2(3x-1) 010.已知9x-10.3x+90,求函數(shù)y=(1)x-1-4 (工)x+2的最大值和最小值 解：由已知得(3x) 2-10 . 3x+9 01 3x0 且 a，1). x a 1(1)求f(x)的定義域和值域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)討論f(x)的單調性.解：(1)易得f(x)的定義域為 x | x g r.設丫= a一1,解彳導ax = -2ax0當且僅當ax 1y 11 0時，方程有解.解1 0彳t-1y1.y

10、 1y 1 f(x)的值域為 y | -1 y1時，: ax+1為增函數(shù)，且ax+10.一為減函數(shù)，從而 f(x)11-aax 1 . .a為增函數(shù).2 0當xa 10a1時，類似地可得f(x)xaxa為減函數(shù).15、已知函數(shù)(1)f (x) =a-2x 1求證：對任何a r(ae r),(2)若f (x)為奇函數(shù)時,f (x)為增函數(shù).求a的值。1 1 )證明：設xk x2f (x2) f (x1)=2(2x2(12x1)(12x2)故對任何agr, f (x)為增函數(shù).(2) q x r ,又f (x)為奇函數(shù)f(0) 0 得到 a 1 0。即 a 12x16、定義在r上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期為2,且x (0,1)時，f(x) 4x 1(1)求f(x)在1, 1上的解析式；(2)判斷f (x)在(0, 1)上的單調性;(3)當 為何值時，方程f (x)=在x 1,1上有實數(shù)解.解(1) x r上的奇函數(shù)f(0) 0又二2為最小正周期f f(2 1) f( 1)f(1) 01, 0),貝u x (0, 1)f(2 xx)x412x4x 1f (x)f(x)2x4x 1(2 f(x)2x）設0球21）的