2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例學(xué)案理含解析

1、第三節(jié)第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例 最新考綱 考情分析 核心素養(yǎng) 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系. 3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算. 4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系. 5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題. 6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題. 平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算，與長(zhǎng)度、夾角、平行、垂直有關(guān)的問題，平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用仍是 2021年高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題與填空題，分值為 5 分. 數(shù)學(xué)運(yùn)算 知識(shí)

2、梳理 1平面向量的數(shù)量積 定義 設(shè)兩個(gè)非零向量 a，b 的夾角為 ，則數(shù)量 1 |a|b|cos 叫做 a 與 b 的數(shù)量積，記作 a b 投影 2 |a|cos_ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影， 3 |b|cos_ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 幾何意義 數(shù)量積 a b 等于 a 的長(zhǎng)度|a|與 b 在 a 的方向上的投影 4 |b|cos_ 的乘積 2.向量的夾角 定義 圖示 范圍 共線與垂直 已知兩個(gè)非零向量 a 和b，作oaa，obb，則5 aob 就是 a 與 b 的夾角 設(shè) 是 a 與 b 的夾角， 則 的取值范圍是 6 0180 若 0，則 a 與 b 7 同向；若

3、180，則 a 與 b 8 反向；若 90，則 a 與 b 9垂直 常用結(jié)論 兩個(gè)向量 a，b 的夾角為銳角ab0 且 a，b 不共線； 兩個(gè)向量 a，b 的夾角為鈍角ab0，則 a 和 b 的夾角為銳角；若 a b0，n0，則由abac2abad，得(n，0) (m2，m)2(n，0) (m，m)， 所以 n(m2)2nm，化簡(jiǎn)得 m2. 故adac(m，m) (m2，m)2m22m12. 答案：12 名師點(diǎn)津 求非零向量 a，b 的數(shù)量積的 3 種方法 直接法 若兩向量共起點(diǎn)，則兩向量的夾角直接可得，根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；若兩向量的起點(diǎn)不同，則需要通過平移使它們的起點(diǎn)重合，再計(jì)算 幾何法

4、 根據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長(zhǎng)度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出向量 a，b，然后根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算求解 坐標(biāo)法 若圖形適合建立平面直角坐標(biāo)系，可建立坐標(biāo)系，求出 a，b 的坐標(biāo)，通過坐標(biāo)運(yùn)算求解 考點(diǎn) 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用多維探究 常見的命題角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夾角；(3)平面向量的垂直 命題角度一 平面向量的模 【例 1】 (1)(2019 屆昆明調(diào)研)已知向量 a(1，2)，b(1，3)，則|2ab|( ) a 2 b2 c 10 d10 (2)(2019 屆長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知平面內(nèi)三個(gè)不共線向量 a，b，c 兩兩夾角相等，且|a|b|1，|c|3，

5、則|abc|_ 解析 (1)a(1，2)，2a(2，4)b(1，3)，2ab(3，1)，|2ab| 10，故選 c (2)由平面內(nèi)三個(gè)不共線向量 a，b，c 兩兩夾角相等，可得夾角均為23，所以|abc|2a2b2c22a b2b c2a c119211cos 23213cos 23213cos 234，所以|abc|2. 答案 (1)c (2)2 命題角度二 平面向量的夾角 【例 2】 (1)(2019 年全國卷)已知非零向量 a，b 滿足|a|2|b|，且(ab)b，則 a 與 b的夾角為( ) a6 b3 c23 d56 (2)(2019 年全國卷)已知 a，b 為單位向量，且 a b0

6、，若 c2a 5b，則 cosa，c_ 解析 (1)設(shè) a 與 b 的夾角為 ，(ab)b， (ab) b0，a bb2，|a|b|cos |b|2. 又|a|2|b|，cos 12.0，3.故選 b (2)由題意可設(shè) a(1，0)，b(0，1)，則 c(2， 5)，所以 cosa，c214523. 答案 (1)b (2)23 命題角度三 平面向量的垂直 【例 3】 (1)若平面四邊形 abcd 滿足abcd0，(abad) ac0，則該四邊形一定是( ) a直角梯形 b矩形 c菱形 d正方形 (2)(2020 屆四川五校聯(lián)考)已知 a(2，1)，b(，1)，若 ab，則 _ 解析 (1)由a

7、bcd0 得平面四邊形 abcd 是平行四邊形，由(abad) ac0 得dbac0，故平行四邊形的對(duì)角線垂直，所以該四邊形一定是菱形，故選 c (2)因?yàn)?ab，所以 a b0，即 2(1)10，解得 12. 答案 (1)c (2)12 名師點(diǎn)津 平面向量數(shù)量積求解問題的策略 (1)求兩向量的夾角：cos ab|a|b|，要注意 0， (2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是 abab0|ab|ab|. (3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問題的處理方法有： a2a a|a|2或|a|aa. |a b|（a b）2 a22a bb2. 若 a(x，y)，則|a|x2y2. |跟蹤訓(xùn)

8、練| 1(2019 年全國卷)已知向量 a(2，3)，b(3，2)，則|ab|( ) a 2 b2 c5 2 d50 解析：選 a 依題意得 ab(1，1)，|ab|（1）212 2，故選 a 2(2019 年北京卷)已知向量 a(4，3)，b(6，m)，且 ab，則 m_ 解析：因?yàn)?ab，所以 a b0，即463m0，解得 m8. 答案：8 3(2019 年全國卷)已知向量 a(2，2)，b(8，6)，則 cosa，b_ 解析：cosa，ba b|a|b|2（8）262 210210. 答案：210 考點(diǎn) 平面向量數(shù)量積的最值、范圍問題 平面向量的數(shù)量積常與最值、范圍問題相結(jié)合創(chuàng)新考點(diǎn)該類

9、題目能力要求較高，難度大，有一定的綜合性 【例】 (1)(2019 屆武漢調(diào)研)設(shè) a，b，c 是半徑為 1 的圓 o 上的三點(diǎn)，且oaob，則(ocoa) (ocob)的最大值是( ) a1 2 b1 2 c 21 d1 (2)如圖， 在平面四邊形 abcd 中， |babc|babc|， bc2ad， be2ae， |be|bc|2， 若 f 為線段 de 上的動(dòng)點(diǎn)， 則bf cf的最小值為( ) a1 b2 c4 d3 解析 (1)如圖，作出od，使得oaobod.oaob，oaob0，(ocoa) (ocob)oc2oaocobocoaob1(oaob) oc1odoc.由圖可知，當(dāng)點(diǎn)

10、 c 在 od 的反向延長(zhǎng)線與圓 o 的交點(diǎn)處時(shí)，odoc取得最小值，最小值為 2，此時(shí)(ocoa) (ocob)取得最大值，最大值為 1 2，故選 a (2)由|babc|babc|，得 abbc由bc2ad，得 bcad，則adab又be2ae，|be|bc|2，所以 ab3，bcbe2，adae1.以 b 為坐標(biāo)原點(diǎn)，bc，ba 所在直線分別為 x 軸，y 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則 a(0，3)，c(2，0)，b(0，0)，d(1，3)，e(0，2)，所以 de 所在的直線方程為 yx2.設(shè) f(x，y)(0 x1)， 則bf(x， y)，cf(x2，y)，所以bfcfx(x

11、2)y2x22x(x2)22x22x4.因?yàn)?0 x1，所以當(dāng)x0 時(shí)，bfcf取得最小值 4.故選 c 答案 (1)a (2)c 名師點(diǎn)津 平面向量中有關(guān)最值、范圍問題的 2 種解題思路 (1)形化：利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷 (2)數(shù)化：利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決 |跟蹤訓(xùn)練| 在等腰直角abc 中，abc90，abbc2，m，n 為 ac 邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(m，n不與 a，c 重合)，且滿足|mn| 2，則bmbn的取值范圍為_ 解析：不妨設(shè)點(diǎn) m 靠近點(diǎn) a，點(diǎn) n 靠近點(diǎn) c，以等腰直角三角形 abc 的直角邊所在