2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第7節(jié)利用空間向量求空間角教學(xué)案含解析新人教A版

1、 - 1 - 第第 7 7 節(jié)節(jié) 利用空間向量求空間角利用空間向量求空間角 考試要求 1.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題；2.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用. 知 識(shí) 梳 理 1.異面直線所成的角 設(shè)a a，b b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則 a a與b b的夾角 l1與l2所成的角 范圍 (0，) 0，2 求法 cos a ab b|a a|b b| cos |cos |a ab b|a a|b b| 2.求直線與平面所成的角 設(shè)直線l的方向向量為a a，平面的法向量為n n，直線l與平面所成的角為，則 sin |cosa a，n n|

2、a an n|a a|n n|. 3.求二面角的大小 (1)如圖，ab，cd是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小ab，cd. (2)如圖，n n1，n n2 分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos |cosn n1，n n2|，二面角的平面角大小是向量n n1與n n2的夾角(或其補(bǔ)角). 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.線面角的正弦值等于直線的方向向量a a與平面的法向量n n所成角的余弦值的絕對(duì)值，即sin |cosa a，n n|，不要誤記為 cos |cosa a，n n|. 2.二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面，

3、的法向量n n1，n n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，來確定二面角與向量n n1，n n2的夾角是相等，還是互補(bǔ). 診 斷 自 測 - 2 - 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.( ) (2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.( ) (3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角.( ) (4)兩異面直線夾角的范圍是0，2，直線與平面所成角的范圍是0，2，二面角的范圍是0，.( ) 解析 (1)兩直線的方向向量所成的角是兩條直線所成的角或其補(bǔ)角；(2)直線的方向向量a a，平面的法向量

4、n n，直線與平面所成的角為，則 sin a a，n n；(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角或其補(bǔ)角. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(老教材選修 21p104 練習(xí) 2 改編)已知兩平面的法向量分別為m m(0，1，0)，n n(0，1，1)，則兩平面所成的二面角為( ) a.45 b.135 c.45或 135 d.90 解析 cosm m，n nm mn n|m m|n n|11222，即m m，n n45. 兩平面所成二面角為 45或 18045135. 答案 c 3.(老教材選修 21p112a 組 t4 改編)已知向量m m，n n分別是直線l和平面的方

5、向向量和法向量，若 cos m m，n n32，則l與所成的角為( ) a.30 b.60 c.120 d.150 解析 由于 cos m m，n n32，所以m m，n n30，所以直線l與所成的角為 60. 答案 b 4.(2020漳州模擬)在直三棱柱abca1b1c1中，bca90，m，n分別是a1b1，a1c1的中點(diǎn)，bccacc1，則bm與an所成角的余弦值為( ) a.110 b.25 c.3010 d.22 解析 以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn)，ca，cb，cc1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)bccacc12，則可得a(2，0，0)，b(0，2，0)，m(1，

6、1，2)，n(1，0，2)， - 3 - bm(1，1，2)，an(1，0，2). cosbm，anbman|bm|an| 1（1）（1）02212（1）222（1）20222 3653010. 答案 c 5.(2019南陽調(diào)研)在正方體abcda1b1c1d1中，bb1與平面acd1所成角的正弦值為( ) a.32 b.33 c.35 d.25 解析 設(shè)正方體的棱長為 1，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da，dc，dd1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則b(1，1，0)，b1(1，1，1)，a(1，0，0)，c(0，1，0)，d1(0，0，1)， 所以bb1(0，0，1)，a

7、c(1，1，0)，ad1(1，0，1). 令平面acd1的法向量為n n(x，y，z)，則n nacxy0，n nad1xz0，令x1，可得n n(1，1，1)， 設(shè)直線bb1與平面acd1所成的角為， 所以 sin |cos n n，bb1|13133. 答案 b 6.(2020大連預(yù)測)過正方形abcd的頂點(diǎn)a作線段pa平面abcd，若abpa，則平面abp與平面cdp所成的二面角為_. 解析 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)abpa1，則a(0，0，0)，d(0，1，0)，p(0，0， - 4 - 1)，由題意，ad平面pab，設(shè)e為pd的中點(diǎn)，連接ae，則aepd， 又cd平面pad， c

8、dae，又pdcdd，從而ae平面pcd.所以ad(0，1，0)，ae0，12，12分別是平面pab，平面pcd的法向量，且ad，ae45. 故平面pab與平面pcd所成的二面角為 45. 答案 45 考點(diǎn)一 用空間向量求異面直線所成的角 【例 1】 (1)(一題多解)(2017全國卷)已知直三棱柱abca1b1c1中，abc120，ab2，bccc11，則異面直線ab1與bc1所成角的余弦值為( ) a.32 b.155 c.105 d.33 (2)(2020豫南豫北精英對(duì)抗賽)在四面體abcd中，cacbcdbd2，abad2，則異面直線ab與cd所成角的余弦值為( ) a.23 b.24

9、 c.144 d.24 解析 (1)法一 以b為原點(diǎn)，建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系. 圖(1) 圖(2) 則b(0，0，0)，b1(0，0，1)，c1(1，0，1). 又在abc中，abc120，ab2，則a(1，3，0). 所以ab1(1，3，1)，bc1(1，0，1)， - 5 - 則 cosab1，bc1ab1bc1|ab1|bc1| （1，3，1）（1，0，1）5 2252105， 因此，異面直線ab1與bc1所成角的余弦值為105. 法二 將直三棱柱abca1b1c1補(bǔ)形成直四棱柱abcda1b1c1d1(如圖(2)，連接ad1，b1d1，則ad1bc1. 則b1ad1為異面直

10、線ab1與bc1所成的角(或其補(bǔ)角)，易求得ab1 5，bc1ad1 2，b1d13. 由余弦定理得 cosb1ad1105. (2)取bd的中點(diǎn)o，連接ao，oc，由cacbcdbd2，abad 2，得aobd，cobd，且oc3，ao1.在aoc中，ac2ao2oc2，故aooc，又知bdoco，因此ao平面bcd，以ob，oc，oa所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則a(0，0，1)，b(1，0，0)，c(0， 3，0)，d(1，0，0)，ab(1，0，1)，cd(1，3，0)，設(shè)異面直線ab與cd所成角為，則 cos |abcd|ab|cd|121324，即異

11、面直線ab與cd所成角的余弦值為24. 答案 (1)c (2)b 規(guī)律方法 1.利用向量法求異面直線所成角的一般步驟是：(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求出兩直線的方向向量v v1，v v2；(3)代入公式|cosv v1，v v2|v v1v v2|v v1|v v2|求解. 2.兩異面直線所成角的范圍是0，2，兩向量的夾角的范圍是0，當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角. 【訓(xùn)練 1】 (2019江西八校聯(lián)考)在四面體abcd中，bdad，cdad，bdbc，bdad1， - 6 - bc2，

12、則異面直線ab與cd所成角的余弦值為( ) a.105 b.31010 c.155 d.1010 解析 以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面bcd內(nèi)過d與bd垂直的直線為x軸，以db，da所在的直線分別為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a(0，0，1)，b(0，1，0)，c(2，1，0)，d(0，0，0)，所以ab(0，1，1)，dc(2，1，0)，則 cosab，dcabdc|ab|dc|1251010，故異面直線ab與cd所成角的余弦值為1010. 答案 d 考點(diǎn)二 用空間向量求線面角 【例 2】 (2018全國卷)如圖，在三棱錐pabc中，abbc2 2，papbpcac4，o為ac的中點(diǎn).

13、 (1)證明：po平面abc； (2)若點(diǎn)m在棱bc上，且二面角mpac為 30，求pc與平面pam所成角的正弦值. (1)證明 因?yàn)閍pcpac4，o為ac的中點(diǎn)， 所以opac，且op23. 連接ob，因?yàn)閍bbc22ac， 所以ab2bc2ac2， 所以abc為等腰直角三角形， 且obac，ob12ac2. 由op2ob2pb2知poob. 由opob，opac且obaco，知po平面abc. - 7 - (2)解 如圖，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，ob的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz. 由已知得o(0，0，0)，b(2，0，0)，a(0，2，0)，c(0，2，0)，p(0，0，23)

14、，ap(0，2，23).取平面pac的一個(gè)法向量ob(2，0，0). 設(shè)m(a，2a，0)(0a2)，則am(a，4a，0). 設(shè)平面pam的法向量為n n(x，y，z). 由apn n0，amn n0 得 2y23z0，ax（4a）y0，可取n n( 3(a4)，3a，a)， 所以 cosob，n n23（a4）23（a4）23a2a2. 由已知可得|cosob，n n|32， 所以23|a4|23（a4）23a2a232， 解得a4(舍去)，a43， 所以n n(833，433，43). 又pc(0，2，23)，所以 cospc，n n34. 所以pc與平面pam所成角的正弦值為34. 規(guī)

15、律方法 利用向量法求線面角的方法： (1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)； (2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角. 【訓(xùn)練 2】 (2020安徽江南十校聯(lián)考)斜三棱柱abca1b1c1中， 底面是邊長為 2 的正三角形， - 8 - a1b 7，a1aba1ac60. (1)證明：平面a1bc平面abc； (2)求直線bc1與平面abb1a1所成角的正弦值. (1)證明 ab2，a1b 7，a1ab60， 由余弦定理得a1b2aa21ab22aa1abcos a

16、1ab， 即aa212aa130aa13 或1(舍)，故aa13. 取bc的中點(diǎn)o，連接oa，oa1，abc是邊長為 2 的正三角形， aobc，且ao3，bo1. 由abac，a1aba1ac，aa1aa1得a1aba1ac，得a1ba1c 7， 故a1obc，且a1o 6. ao2a1o2369aa21，aoa1o. 又bcaoo，故a1o平面abc， a1o 平面a1bc，平面a1bc平面abc. (2)解 以o為原點(diǎn)，ob所在的直線為x軸，取b1c1的中點(diǎn)k，連接ok，以ok所在的直線為y軸，過o作ogaa1，以og所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則b(1，0，0)，b1(1，3

17、，0)，c1(1，3，0)，a1(0，2， 2)， bc1(2，3，0)，bb1(0，3，0)，ba1(1，2，2)， 設(shè)m m(x，y，1)為平面abb1a1的法向量， 則m mbb13y0，m mba1x2y 20 x2，y0m m( 2，0，1). 設(shè)直線bc1與平面abb1a1所成角為， 則 sin |bc1m m|bc1|m m|2213 327839. 故直線bc1與平面abb1a1所成角的正弦值為27839. - 9 - 考點(diǎn)三 用空間向量求二面角 【例 3】 (2019全國卷)如圖， 直四棱柱abcda1b1c1d1的底面是菱形，aa14，ab2， bad60，e，m，n分別是

18、bc，bb1，a1d的中點(diǎn). (1)證明：mn平面c1de； (2)求二面角ama1n的正弦值. (1)證明 如圖，連接b1c，me. 因?yàn)閙，e分別為bb1，bc的中點(diǎn)， 所以meb1c，且me12b1c. 又因?yàn)閚為a1d的中點(diǎn)，所以nd12a1d. 由題設(shè)知a1b1綉dc， 可得b1c綉a1d，故me綉nd， 因此四邊形mnde為平行四邊形， 所以mned. 又mn平面c1de，de 平面c1de， 所以mn平面c1de. (2)解 由已知可得deda，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da，de，dd1的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系dxyz， - 10 - 則a(2，0，

19、0)，a1(2，0，4)，m(1， 3，2)，n(1，0，2)，a1a(0，0，4)，a1m(1， 3，2)，a1n(1，0，2)，mn(0，3，0). 設(shè)m m(x，y，z)為平面a1ma的法向量，則m ma1m0，m ma1a0， 所以x3y2z0，4z0，可取m m( 3，1，0). 設(shè)n n(p，q，r)為平面a1mn的法向量， 則n nmn0，n na1n0，所以3q0，p2r0， 可取n n(2，0，1). 于是 cosm m，n nm mn n|m m|n n|2325155， 則 sinm m，n n105， 所以二面角ama1n的正弦值為105. 規(guī)律方法 利用空間向量計(jì)算二

20、面角大小的常用方法： (1)找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小. (2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小. 【訓(xùn)練 3】 (2019青島二模)如圖， 已知多面體pabcde的底面abcd是邊長為 2 的菱形，pa底面abcd，edpa，且pa2ed2. (1)求證：平面pac平面pce； (2)若直線pc與平面abcd所成的角為 45，求二面角pced的余弦值. (1)證明 如圖(1)，連接bd，交

21、ac于點(diǎn)o，設(shè)pc的中點(diǎn)為f，連接of，ef. 因?yàn)榈酌鎍bcd是菱形，所以o是ac的中點(diǎn)， 又f是pc的中點(diǎn)，所以ofpa，且of12pa. - 11 - 因?yàn)閐epa，且de12pa，所以ofde，且ofde. 所以四邊形ofed為平行四邊形，所以odef， 即bdef. 因?yàn)閜a平面abcd，bd 平面abcd，所以pabd. 因?yàn)樗倪呅蝍bcd是菱形，所以bdac. 又因?yàn)閜aaca，所以bd平面pac. 所以ef平面pac. 又因?yàn)閑f 平面pce，所以平面pac平面pce. (2)解 因?yàn)閜a底面abcd，直線pc與平面abcd所成的角為 45， 所以pca45，所以acpa2.

22、所以acabbc，故abc為等邊三角形. 設(shè)bc的中點(diǎn)為m，連接am，則ambc，所以amad. 以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，am，ad，ap所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系axyz，如圖(2)， 則p(0，0，2)，c(3，1，0)，e(0，2，1)，d(0，2，0)， 所以pc(3，1，2)，ce(3，1，1)，de(0，0，1). 設(shè)平面pce的法向量為n n(x1，y1，z1)， 則n npc0，n nce0，即3x1y12z10， 3x1y1z10. 令y11，則x1 3，z12.所以n n( 3，1，2). 設(shè)平面cde的法向量為m m(x2，y2，z2)， 則m mde0，

23、m mce0，即z20，3x2y2z20. 令x21，則y2 3，z20.所以m m(1， 3，0). 設(shè)二面角pced的大小為，因?yàn)闉殁g角， 所以 cos |cosn n，m m|n nm m|n n|m m|2322264. - 12 - 所以二面角pced的余弦值為64. 考點(diǎn)四 與空間角有關(guān)的探索性問題 【例 4】 (2020郴州一模)如圖，在三棱錐pabc中，底面是邊長為 4 的正三角形，pa2，pa底面abc，點(diǎn)e，f分別為ac，pc的中點(diǎn). (1)求證：平面bef平面pac； (2)在線段pb上是否存在點(diǎn)g，使得直線ag與平面pbc所成角的正弦值為155？若存在，確定點(diǎn)g的位置；

24、若不存在，請(qǐng)說明理由. (1)證明 abbc，e為ac的中點(diǎn)，beac. 又pa平面abc，be 平面abc，pabe. paaca，be平面pac. be 平面bef，平面bef平面pac. (2)解 存在.由(1)及已知得pabe，paac， 點(diǎn)e，f分別為ac，pc的中點(diǎn)， efpa，efbe，efac. 又beac，eb，ec，ef兩兩垂直. 分別以eb，ec，ef的方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖， 則a(0，2，0)，p(0，2，2)，b(23，0，0)，c(0，2，0). 設(shè)bgbp(23，2，2)，0，1， 所以agabbg(23(1)，2(1)，2)， bc(

25、23，2，0)，pc(0，4，2)， 設(shè)平面pbc的法向量為n n(x，y，z)， - 13 - 則n nbc0，n npc023x2y0，4y2z0， 令x1，則y3，z23，n n(1， 3，23). 由已知得155|agn n|ag|n n|， 即155434 16（1）24212或1110(舍去). 故12. 所以存在滿足條件的點(diǎn)g，點(diǎn)g為pb的中點(diǎn). 規(guī)律方法 1.對(duì)于存在判斷型問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組， 把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解， 是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等. 2.對(duì)于位置探究型問題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論

26、列出等式，解出參數(shù). 【訓(xùn)練 4】 如圖， 在四棱錐pabcd中， 四邊形abcd為平行四邊形，abac，pa平面abcd，且paab3，ac2，點(diǎn)e是pd的中點(diǎn). (1)求證：pb平面aec； (2)在線段pb上(不含端點(diǎn))是否存在一點(diǎn)m， 使得二面角mace的平面角的余弦值為1010？若存在，確定點(diǎn)m的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由. (1)證明 連接bd交ac于點(diǎn)f，連接ef. 因?yàn)閍bcd為平行四邊形， 所以f是bd的中點(diǎn). 又e是pd的中點(diǎn)， 所以efpb. 又ef 平面aec，pb平面aec， - 14 - 所以pb平面aec. (2)解 由題意知，ac，ab，ap兩兩互相垂直，如圖，

27、以點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線ac，ab，ap分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系axyz， 則c(2，0，0)，d(2，3，0)，p(0，0，3)，b(0，3，0)，e1，32，32. 設(shè)m(x0，y0，z0)，pmpb(01)， 則(x0，y0，z03)(0，3，3)，得m(0，3，33). 設(shè)平面aec的法向量為n n1(x1，y1，z1). 由n n1ae0，n n1ac0 及ae1，32，32，ac(2，0，0)， 得x132y132z10，2x10.取y11，得n n1(0，1，1). 設(shè)平面mac的法向量為n n2(x2，y2，z2). 由n n2am0，n n2ac0 及am

28、(0，3，33)，ac(2，0，0)， 得3y2（33）z20，2x20.取z21，得n n20，11，1 . 設(shè)二面角mace的平面角的大小為， 則|cos |n n1n n2|n n1|n n2|212112121010， 化簡得 92920，解得13或23. 因?yàn)槎娼莔ace的平面角的余弦值為1010， 所以二面角mace的平面角為銳角，所以13， 所以pm13pb. 故pm13pb時(shí)，二面角mace的平面角的余弦值為1010. - 15 - a 級(jí) 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1.已知空間三點(diǎn)a(1， 1， 1)，b(1， 0， 4)，c(2， 2， 3)， 則ab與ca的夾角的大小為(

29、) a.30 b.60 c.120 d.150 解析 ab(2，1，3)，ca(1，3，2)， cosab，ca（2）（1）（1）33（2）1414 71412，ab，ca120. 答案 c 2.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于 120， 則直線l與平面所成的角等于( ) a.120 b.60 c.30 d.60或 30 解析 設(shè)直線l與平面所成的角為，直線l與平面的法向量的夾角為. 則 sin |cos |cos 120|12. 又 090，30. 答案 c 3.(一題多解)(2019青島二模)在直三棱柱abca1b1c1中，aa12a1b12b1c1，且abbc，點(diǎn)m是a1c1的

30、中點(diǎn)，則異面直線mb與aa1所成角的余弦值為( ) a.13 b.223 c.324 d.12 解析 法一 由題意知aa1bb1，則異面直線mb與aa1所成角為mbb1，如圖(1).又bb1m為直角三角形，所以 cos mbb1bb1mb.在直三棱柱abca1b1c1中，設(shè)aa12a1b12b1c12.由abbc，得b1m12a1c122.故mb22222322. 所以 cos mbb1bb1mb223.故選 b. - 16 - 法二 由題意知ab，bc，bb1兩兩垂直，所以以b為坐標(biāo)原點(diǎn)，ba，bc，bb1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系bxyz，如圖(2).設(shè)aa12a1b

31、12b1c12，則b(0，0，0)，a(1，0，0)，a1(1，0，2)，m12，12，2 ，所以mb12，12，2 ，aa1(0，0，2).設(shè)異面直線mb與aa1所成角為，則 cos |mbaa1|mb|aa1|4922223，所以異面直線mb與aa1所成角的余弦值為223.故選 b. 答案 b 4.如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，paad4，ab2.以ac的中點(diǎn)o為球心，ac為直徑的球面交pd于點(diǎn)m.則cd與平面acm所成角的正弦值為( ) a.32 b.33 c.53 d.63 解析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則a(0，0，0)，p(0，0，4)，

32、b(2，0，0)，c(2，4，0)，d(0，4，0)，m(0，2，2). 所以ac(2，4，0)，am(0，2，2)，cd(2，0，0). 設(shè)平面acm的法向量n n(x，y，z)， - 17 - 由n nac，n nam， 可得2x4y0，2y2z0，令z1，得n n(2，1，1). 設(shè)所求角為， 則 sin |cdn n|cd|n n|63. 答案 d 5.在正方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)e為bb1的中點(diǎn)，則平面a1ed與平面abcd所成角的余弦值為( ) a.12 b.23 c.33 d.22 解析 以a為原點(diǎn)，ab，ad，aa1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直

33、角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為 1，則a1(0，0，1)，e1，0，12，d(0，1，0)， a1d(0，1，1)，a1e1，0，12. 設(shè)平面a1ed的法向量為n n1(1，y，z)， 則有a1dn n10，a1en n10，即yz0，112z0，y2，z2， n n1(1，2，2). 平面abcd的法向量為n n2(0，0，1)， |cosn n1，n n2|23123， 即平面a1ed與平面abcd夾角的余弦值為23. 答案 b 二、填空題 6.(2020貴陽月考)如圖所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，點(diǎn)e，f分別是棱ab，bb1的中點(diǎn)，則直線ef和b

34、c1所成的角是_. - 18 - 解析 以bc為x軸，ba為y軸，bb1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)abbcaa12， 則c1(2，0，2)，e(0，1，0)，f(0，0，1)， 則ef(0，1，1)，bc1(2，0，2)， efbc12， cosef，bc1222212， ef和bc1所成的角為 60. 答案 60 7.(2020合肥模擬)在長方體abcda1b1c1d1中，ab2，bcaa11，則直線d1c1與平面a1bc1所成角的正弦值為_. 解析 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系dxyz， 則d1(0，0，1)，c1(0，2，1)，a1(1，0，1)，b(1，2，0). d1c1(0，2，0

35、)， a1c1(1，2，0)，a1b(0，2，1)， 設(shè)平面a1bc1的法向量為n n(x，y，z)， 由n na1c1（x，y，z）（1，2，0）x2y0，n na1b（x，y，z）（0，2，1）2yz0， 得x2y，z2y，令y1，得n n(2，1，2)， - 19 - 設(shè)直線d1c1與平面a1bc1所成角為，則 sin |cosd1c1，n n|d1c1n n|d1c1|n n|22313， 即直線d1c1與平面a1bc1所成角的正弦值為13. 答案 13 8.如圖，菱形abcd中，abc60，ac與bd相交于點(diǎn)o，ae平面abcd，cfae，ab2，cf3.若直線of與平面bed所成的

36、角為 45，則ae_. 解析 如圖，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，以oa，ob所在直線分別為x軸，y軸，以過點(diǎn)o且平行于cf的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)aea，則b(0，3，0)，d(0，3，0)，f(1，0，3)，e(1，0，a)， of(1，0，3)，db(0，23，0)，eb(1，3，a). 設(shè)平面bed的法向量為n n(x，y，z)， 則n ndb0，n neb0，即23y0，x 3yaz0， 則y0，令z1，得xa， n n(a，0，1)， cosn n，ofn nof|n n|of|a3a2110. 直線of與平面bed所成角的大小為 45， |a3|a211022. - 20 - 解得

37、a2 或a12(舍去)，ae2. 答案 2 三、解答題 9.(2019鄭州測試)在如圖所示的多面體中，四邊形abcd是平行四邊形，四邊形bdef是矩形，ed平面abcd，abd6，ab2ad. (1)求證：平面bdef平面ade； (2)若edbd，求直線af與平面aec所成角的正弦值. (1)證明 在abd中，abd6，ab2ad， 由余弦定理，得bd3ad， 從而bd2ad2ab2，故bdad， 所以abd為直角三角形且adb2. 因?yàn)閐e平面abcd，bd 平面abcd，所以debd. 又added，所以bd平面ade. 因?yàn)閎d 平面bdef，所以平面bdef平面ade. (2)解 由

38、(1)可得，在 rtabd中，bad3，bd3ad，又由edbd， 設(shè)ad1，則bded3.因?yàn)閐e平面abcd，bdad， 所以以點(diǎn)d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da，db，de所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示. 則a(1，0，0)，c(1，3，0)，e(0，0，3)，f(0，3，3)， 所以ae(1，0，3)，ac(2，3，0). 設(shè)平面aec的法向量為n n(x，y，z)， - 21 - 則n nae0，n nac0，即x3z0，2x 3y0， 令z1，得n n( 3，2，1)為平面aec的一個(gè)法向量. 因?yàn)閍f(1，3，3)， 所以 cos n n，afn naf|n n|a

39、f|4214， 所以直線af與平面aec所成角的正弦值為4214. 10.(2020武漢調(diào)研)如圖，在斜三棱柱(側(cè)棱不垂直于底面)abca1b1c1中，側(cè)面aa1c1c底面abc，底面abc是邊長為 2 的正三角形，a1aa1c，a1aa1c. (1)求證：a1c1b1c； (2)(一題多解)求二面角b1a1cc1的正弦值. (1)證明 如圖，取a1c1的中點(diǎn)d，連接b1d，cd， c1ca1aa1c， cda1c1， 底面abc是邊長為 2 的正三角形， abbc2，a1b1b1c12， b1da1c1， 又b1dcdd，b1d 平面b1cd，cd 平面b1cd， a1c1平面b1cd，a1

40、c1b1c. (2)解 法一 如圖，過點(diǎn)d作dea1c于點(diǎn)e，連接b1e. 側(cè)面aa1c1c底面abc， 側(cè)面aa1c1c平面a1b1c1，又b1da1c1， 側(cè)面aa1c1c平面a1b1c1a1c1， b1d平面a1cc1，b1da1c， a1c平面b1de，b1ea1c， - 22 - b1ed為所求二面角的平面角. a1b1b1c1a1c12，b1d 3， 又ed12cc122，tan b1edb1ded3226， sinb1ed427. 二面角b1a1cc1的正弦值為427. 法二 如圖，取ac的中點(diǎn)o，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線ob，oc，oa1分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系

41、，則o(0，0，0)，b( 3，0，0)，a1(0，0，1)，b1( 3，1，1)，c1(0，2，1)，c(0，1，0)， a1b1(3，1，0)，a1c(0，1，1). 設(shè)m m(x，y，z)為平面a1b1c的法向量， m ma1b1 3xy0，m ma1cyz0， 令y3，得m m(1， 3，3)， 又ob(3，0，0)為平面a1cc1的一個(gè)法向量， cos m m，obm mob|m m|ob|77， 由圖易知所求二面角為銳角， 二面角b1a1cc1的正弦值為427. b 級(jí) 能力提升 11.(2020長沙雅禮中學(xué)檢測)在三棱錐pabc中， 點(diǎn)p在底面的正投影恰好是等邊abc的邊ab的中

42、點(diǎn)， 且點(diǎn)p到底面abc的距離等于底面邊長.設(shè)pac與底面所成的二面角的大小為，pbc與底面所成的二面角的大小為，則 tan()的值是( ) a.343 b.253 c.8133 d.583 解析 如圖，設(shè)點(diǎn)p在邊ab上的射影為h，作hfbc，heac，連接pf，pe. - 23 - 依題意，hep，pfh. 不妨設(shè)等邊abc的邊長為 2，則ph2，ahbh1. he32，hf32，則 tan tan 23243， 故 tan()2tan 1tan22431432813 3. 答案 c 12.已知正方形abcd的邊長為 4，cg平面abcd，cg2，e，f分別是ab，ad的中點(diǎn)，則點(diǎn)b到平面gef的距離為( ) a.11 b.112 c.21111 d.41111 解析 連接bg.以c為原點(diǎn)，cd，cb，cg的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 其中c(0，0，0)，g(0，0，2)，e(2，4，0)，b(0，4，0)，f(4，2，0). bg(0，4，2)，ge(2，4，2)，ef(2，2，0). 設(shè)平面gef的法向量為n n(x，y，z)， 則n nge0，n nef0，即2x4y2z0，2x2y0. 令x1，則y1，