第5章 回歸模型函數(shù)形式

1、第二部分第二部分 線性回歸線性回歸模型模型Chp 5：回歸模型的函數(shù)形式：回歸模型的函數(shù)形式主要內(nèi)容主要內(nèi)容n雙對數(shù)模型或不變彈性模型雙對數(shù)模型或不變彈性模型n半對數(shù)模型半對數(shù)模型對數(shù)線性模型對數(shù)線性模型度量增長率度量增長率線性對數(shù)模型線性對數(shù)模型解釋變量為對數(shù)形式解釋變量為對數(shù)形式n倒數(shù)模型倒數(shù)模型n多項式模型多項式模型n零截距模型（過原點的回歸模型）零截距模型（過原點的回歸模型）n小結(jié)小結(jié)問題的提出問題的提出n在很多時候，自變量的變化與應(yīng)變量并不在很多時候，自變量的變化與應(yīng)變量并不是簡單的線性關(guān)系，如考慮某一段時間內(nèi)，是簡單的線性關(guān)系，如考慮某一段時間內(nèi)，某個經(jīng)濟變量增長率，如某個經(jīng)濟變量

2、增長率，如GDP增長率、貨增長率、貨幣供應(yīng)、失業(yè)率等，這就需要引入回歸模幣供應(yīng)、失業(yè)率等，這就需要引入回歸模型的其他一些函數(shù)形式。型的其他一些函數(shù)形式。n在實際經(jīng)濟活動中，經(jīng)濟變量的關(guān)系是復(fù)雜的，在實際經(jīng)濟活動中，經(jīng)濟變量的關(guān)系是復(fù)雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。n如著名的如著名的Cobb- Dauglas生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)為表現(xiàn)為冪函數(shù)冪函數(shù)曲線曲線形式、宏觀經(jīng)濟學(xué)中的形式、宏觀經(jīng)濟學(xué)中的菲利普斯曲線菲利普斯曲線（Pillips cuves）表現(xiàn)為）表現(xiàn)為雙曲線雙曲線形式等。形式等。n但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡單的但是，大部分非線性關(guān)系

3、又可以通過一些簡單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可以運用線性回歸模型的理論方法。以運用線性回歸模型的理論方法。一、雙對數(shù)模型一、雙對數(shù)模型Double log model 如何度量彈性如何度量彈性n考慮數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的例子：考慮數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的例子：nY：數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)；：數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)；X：家庭年收入：家庭年收入n上式可轉(zhuǎn)化為：上式可轉(zhuǎn)化為：lnYi=lnA+B2lnXin模型特點模型特點：關(guān)于變量非線性。：關(guān)于變量非線性。BiiYAX2 lnYi=lnA+B2lnXi如果令如果令B1=lnA，則模型可以寫成，則模型可以寫成 lnYi=B1+B2lnXi為了進行

4、估計，可以將模型寫成為了進行估計，可以將模型寫成 lnYi=B1+B2lnXi +ui 這是一個線性模型，因為參數(shù)是線性的，這是一個線性模型，因為參數(shù)是線性的，另外這個模型是對數(shù)形式變量線性的，因另外這個模型是對數(shù)形式變量線性的，因此稱這個模型是此稱這個模型是雙對數(shù)模型雙對數(shù)模型。*12=ln,lnX ,iiiiiiiYY XYBB Xu令令則則模模型型可可以以寫寫成成n雙對數(shù)模型的特性：雙對數(shù)模型的特性：模型參數(shù)是線性的，關(guān)于變量和；模型參數(shù)是線性的，關(guān)于變量和；斜率斜率B2度量了度量了Y對對X的的彈性彈性，即，即X的單位變動引的單位變動引起起Y變動的百分比。變動的百分比。Y100XX=sl

5、opeX100YYY YYEX XX的的變變動動百百分分?jǐn)?shù)數(shù)的的變變動動百百分分?jǐn)?shù)數(shù)因此，如果因此，如果Y代表了商品的需求量，代表了商品的需求量，X代表了單代表了單位價格，位價格，E就是需求的價格彈性。就是需求的價格彈性。圖圖 5-1雙對數(shù)模型的假設(shè)檢驗雙對數(shù)模型的假設(shè)檢驗 雙對數(shù)模型的假設(shè)檢驗與線性模型的檢驗雙對數(shù)模型的假設(shè)檢驗與線性模型的檢驗方法沒有什么不同。方法沒有什么不同。n5.2線性模型與雙對數(shù)回歸模型的比較線性模型與雙對數(shù)回歸模型的比較 （1）根據(jù)彈性定義公式，我們可以得出這樣的結(jié)論：對于線性模型，彈性系數(shù)是一個變量；對于對數(shù)模型，其彈性系數(shù)為一常量。 （2）對于線性模型，Y對X的

6、彈性可以表示為: 可見線性模型給出的是點彈性，我們可以通過計算平均彈性系數(shù)來給出線性模型的區(qū)間彈性：YXBYXdXdYE2YXBYXdXdYE25.3多元對數(shù)線性回歸模型多元對數(shù)線性回歸模型n多元對數(shù)線性回歸模型多元對數(shù)線性回歸模型lnYi=B1+B2lnX2i+B3lnX3i+uin其中，其中，B2,B3又稱為偏彈性系數(shù)，它們度量又稱為偏彈性系數(shù)，它們度量了在其他變量保持不變了在其他變量保持不變 條件下，應(yīng)變量對條件下，應(yīng)變量對某一解釋變量的偏彈性。某一解釋變量的偏彈性。n例例5-2：柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)：柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)反應(yīng)了產(chǎn)出與勞動力和資本投入之間的關(guān)系函反應(yīng)了產(chǎn)出與勞動力和資本投

7、入之間的關(guān)系函數(shù)。數(shù)。勞動投入彈性勞動投入彈性+資本投入彈性規(guī)模報酬參數(shù)資本投入彈性規(guī)模報酬參數(shù)（1）規(guī)模報酬遞增）規(guī)模報酬遞增規(guī)模報酬參數(shù)規(guī)模報酬參數(shù)1（2）規(guī)模報酬遞減）規(guī)模報酬遞減規(guī)模報酬參數(shù)規(guī)模報酬參數(shù)0,稱稱Y有向上的趨勢；斜率有向上的趨勢；斜率0；（2） B30（3） B323B2B4Figure 5-8Hypothetical cost-output data.n上述模型關(guān)于變量非線性，但卻是參數(shù)線上述模型關(guān)于變量非線性，但卻是參數(shù)線性。性。n一般來說，一般來說，X的不同次方項之間可能相關(guān)，的不同次方項之間可能相關(guān)，卻不會完全共線。卻不會完全共線。例：例：9-8 假想的總成本函數(shù)

8、假想的總成本函數(shù)YX19322624024425712345260274297350420678910例：例：5-9 吸煙與肺癌的關(guān)系吸煙與肺癌的關(guān)系5.8無截距回歸無截距回歸過原點的回歸過原點的回歸nYi=B2Xi+ui22iiiX YbX 可可以以證證明明：（5.365.36）222ivar bX （ ）221ien n無截距模型與一般的模型不同在于：無截距模型與一般的模型不同在于：（1）無截距模型使用了原始的平方和及交叉）無截距模型使用了原始的平方和及交叉乘積，而有截距使用了均值調(diào)整后的平方和及乘積，而有截距使用了均值調(diào)整后的平方和及交叉乘積；交叉乘積；（2）在樣本方差時的自由度為）在樣

9、本方差時的自由度為n-1,而非而非n-2（只有一個未知參數(shù)）；（只有一個未知參數(shù)）；（3）無截距模型一般不計算）無截距模型一般不計算r2；（4）有截距模型的殘差平方和，總為）有截距模型的殘差平方和，總為0，但無，但無截距模型不一定為截距模型不一定為0。5.9關(guān)于度量比例和單位的說明關(guān)于度量比例和單位的說明n例：關(guān)于私人總投資（例：關(guān)于私人總投資（GDI）與國內(nèi)生產(chǎn)總）與國內(nèi)生產(chǎn)總值（值（GDP）的關(guān)系，）的關(guān)系，P119n結(jié)論：結(jié)論：所有回歸的相同；所有回歸的相同；截距的單位總是與應(yīng)變量的單位一致；截距的單位總是與應(yīng)變量的單位一致；若若Y和和X的度量單位相同，則斜率系數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)的度量單位相同，

10、則斜率系數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)誤相同，但截距及共標(biāo)準(zhǔn)誤不同；誤相同，但截距及共標(biāo)準(zhǔn)誤不同；若若Y和和X的度量單位不同，則斜率系數(shù)不同，但的度量單位不同，則斜率系數(shù)不同，但截距不變。截距不變。5.10 標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸n變量的標(biāo)準(zhǔn)化就是用變量值與均值的差除以變量的標(biāo)準(zhǔn)化就是用變量值與均值的差除以變量的標(biāo)準(zhǔn)差。變量的標(biāo)準(zhǔn)差。*iiYYYYS （5.455.45）*iiXXXXS （5.465.46）n標(biāo)準(zhǔn)化變量的重要性質(zhì)是均值為標(biāo)準(zhǔn)化變量的重要性質(zhì)是均值為0，方差為，方差為1。12iiiYBB Xu雙雙變變量量回回歸歸模模型型為為：*122iiiiiYBB XuB Xu標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化變變量量回回歸歸模模型型為為：標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化變變量量的的回回歸歸模模型型中中，截截距距總總是是0.0.*BbetabetaB標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化變變量量的的回回歸歸系系數(shù)數(shù)用用表表示示，稱稱之之為為系系數(shù)數(shù)。系系數(shù)數(shù)表表示示，標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化回回歸歸元元每每增增加加一一個個標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差，被被解解釋釋標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化變變量量的的均均值值將將增增加加倍倍