2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第八節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布學(xué)案理含解析

1、第八節(jié)第八節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布正態(tài)分布最新考綱考情分析核心素養(yǎng)1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.2.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡單實(shí)際問題.3.了解正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，并進(jìn)行簡單應(yīng)用.主要考查隨機(jī)變量的極值與方差的求法，多在解答題中涉及，正態(tài)分布多為選擇題、填空題，分值為 5 分.1.數(shù)學(xué)建模2.數(shù)學(xué)運(yùn)算知識梳理1均值(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量 x 的分布列為xx1x2xixnpp1p2pipn則稱 e(x)1x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量 x 的均值或數(shù)學(xué)期望 它反映了離散

2、型隨機(jī)變量取值的2平均水平(2)若 yaxb，其中 a，b 為常數(shù)，則 y 也是隨機(jī)變量，且 e(axb)3ae(x)b(3)若 x 服從兩點(diǎn)分布，則 e(x)4p；若 xb(n，p)，則 e(x)5np2方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量 x 的分布列為xx1x2xixnpp1p2pipn則(xie(x)2描述了 xi(i1，2，n)相對于均值 e(x)的偏離程度而 d(x)6錯(cuò)誤錯(cuò)誤!為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量 x 與其均值 e(x)的7平均偏離程度稱 d(x)為隨機(jī)變量 x 的方差，并稱其8算術(shù)平方根 d（x）為隨機(jī)變量 x 的標(biāo)準(zhǔn)差(2)d(axb)9a2d(x)(3)若 x 服

3、從兩點(diǎn)分布，則 d(x)10p(1p)(4)若 xb(n，p)，則 d(x)11np(1p)3正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線的特點(diǎn)曲線位于 x 軸12上方，與 x 軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線13x對稱；曲線在14x處達(dá)到峰值151 2；曲線與 x 軸之間的面積為161；當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿 x 軸平移；當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“17瘦高” ，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“18矮胖”，表示總體的分布越19分散(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)p(x)200.682_7；p(2x2)210.954_5；p(32c1)p(xe(y2)，該醫(yī)院選擇延保方案二較

4、合算名師點(diǎn)津利用均值、方差進(jìn)行決策的 2 個(gè)方略(1)當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見不同，可對問題作出判斷(2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策|跟蹤訓(xùn)練|2(2020 屆貴陽摸底)某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個(gè)抽獎方案供員工選擇方案甲：員工最多有兩次抽獎機(jī)會，每次抽獎的中獎率均為45.第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結(jié)束；若中獎，則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，則員工獲得 500 元獎金，不進(jìn)行第二次抽獎；若正面朝上，則員工進(jìn)行第二次抽獎，在第二次

5、抽獎中，若中獎，則獲得獎金 1 000 元，若未中獎，則所獲得的獎金為 0 元方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為25，每次中獎均可獲得獎金 400 元(1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金 x(單位：元)的分布列；(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎，哪個(gè)方案更劃算？解：(1)由題意知，x 的所有可能取值為 0，500，1 000，則 p(x0p(x500)451225，p(x1 000)451245825，某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金 x 的分布列為x05001 000p72525825(2)由(1)可知， 選擇方案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金x的期望

6、e(x)0725500251 000825520；若選擇方案乙進(jìn)行抽獎，則中獎次數(shù)b3，25 ，e()32565，抽獎所獲獎金 y 的期望 e(y)e(400)400e()480.因?yàn)?520480，故選擇方案甲更劃算考點(diǎn)正態(tài)分布的創(chuàng)新應(yīng)用問題【例】(2019 屆大連模擬)某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管(大量)，質(zhì)檢員從中抽出若干根對其直徑(單位：mm)進(jìn)行測量，得出這批鋼管的直徑 x 服從正態(tài)分布 n(65，4.84)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢時(shí)，測得一根鋼管的直徑為 73 mm，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備，(1)請你根據(jù)所學(xué)知識，判斷該質(zhì)檢員的決定是否有道理，并說明判斷的依據(jù)；(2)如果從該批鋼管中隨

7、機(jī)抽取 100 根，設(shè)其直徑滿足在 60.665 mm 內(nèi)的根數(shù)為隨機(jī)變量.求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；求使 p(k)取最大值時(shí)的整數(shù) k 的值附： 若隨機(jī)變量 z 服從正態(tài)分布 zn(， 2)， 則 p(z)0.682 7； p(2z2)0.954 5；p(371.6)1p（58.4x71.6）210.997 320.001 4.測得一根鋼管的直徑為 73 mm 為小概率事件，故該質(zhì)檢員的決定有道理(2)65，2.2，260.6，由題意 p(2x)p（2x2）20.954 520.477 3，b(100，0.477 3)e()1000.477 247.73(根)；p(k)ck1000.477 3k

8、0.522 7100k，設(shè) p(xk)最大，則p（xk）p（xk1） ，p（xk）p（xk1） ，即0.522 7100k0.477 3k1，0.477 3k0.522 7101k，解得 47.207 3k48.207 3.kn*，使 p(xk)取最大值時(shí)的整數(shù) k48.名師點(diǎn)津求解此類問題的關(guān)鍵是理清條件中變量之間的關(guān)系，弄準(zhǔn)數(shù)據(jù)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解決這類問題的注意點(diǎn)|跟蹤訓(xùn)練|(2019 屆武漢市武昌區(qū)高三調(diào)考)某公司開發(fā)了一種產(chǎn)品，有一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)為“長度”(記為 l，單位：cm)，先從中隨機(jī)抽取 100 件，測量發(fā)現(xiàn)全部介于 85 cm 和 155 cm 之間，得到如下頻數(shù)分布表：分組85，9

9、5)95，105)105，115)115，125)125，135)135，145)145，155頻數(shù)2922332482已知該批產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布 n(，2)，其中近似為樣本平均數(shù) x，2近似為樣本方差 s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(1)求 p(132.2l144.4)；(2)公司規(guī)定：當(dāng) l115 時(shí)，產(chǎn)品為正品；當(dāng) l115 時(shí)，產(chǎn)品為次品公司每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品，若是正品，則盈利 90 元；若是次品，則虧損 30 元記為生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的利潤，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望參考數(shù)據(jù)： 15012.2.若 xn(，2)，則 p(x)0.682 7，p(2x2)0

10、.954 5，p(3x3)0.997 3.解： (1)由題意知， 抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) x900.021000.091100.221200.331300.241400.081500.02120，抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的方差 s29000.024000.091000.2200.331000.244000.089000.02150.所以 ln(120，150)，又 15012.2，所 以 p(l ) p(120l132.2) 12 0.682 7 0.341 4 ， p(l 2) p(120l144.4)120.954 50.477 3.所以 p(132.2l144.4)p(120l144.4