2021屆高考數(shù)學二輪考前復習第二篇破解中檔大題保提分必須錘煉的7個熱點專題專題3立體幾何中的證明與計算學案文含解析

1、專題3立體幾何中的證明與計算1.平行關系之間的轉化轉化方向視題目的具體條件而定,不可過于“模式化”.2.垂直關系之間的轉化證明平面平面,先尋找平面的垂線,若不存在,則可通過作輔助線來解決.3.求空間幾何體的體積(1)規(guī)則幾何體:直接利用柱體、錐體或臺體公式進行求解.其中,等積轉換法多用來求三棱錐的體積.(2)不規(guī)則幾何體:通過分割或補形轉化為規(guī)則幾何體,再利用公式求解.(3)注意“公式法”“換底法”“割補法”的應用,等體積法可以用來求點到面的距離、多面體內切球的半徑等.4.求幾何體的表面積注意幾何體表面的構成,特別是組合體中重合以及由于切割新形成的表面等,切忌遺漏或重復.5.求點到平面的距離(

2、1)垂線段法:作:作點到平面的垂線段;找:找出垂線段所在的三角形;求:通過解直角三角形求出垂線段的長度.(2)等積法:當過點的垂線段不容易找時,利用同一個三棱錐變換頂點及底面的位置,其體積相等的方法求解.可以將該點轉化為其他點到相應平面的距離;當直線與平面平行時,該直線上任一點到平面的距離相等.1.步驟分:(1)由平行線的傳遞性證明線線平行;通過線線垂直證得線面垂直,由線面垂直證得面面垂直.(2)由線面垂直求得高的長度,再求出底面的面積,由棱錐體積公式求出體積.2.關鍵分:解題過程的關鍵點,有則給分,無則沒分.如第二問中,要求高的長度,必須先證線面垂直,如果沒有證明,則不給分.3.計算分:計算

3、準確是根本保證.4.區(qū)分公式:區(qū)分棱錐體積公式與棱柱體積公式.【典例】(12分)(2020全國卷)如圖,已知三棱柱abc-a1b1c1的底面是正三角形,側面bb1c1c是矩形,m,n分別為bc,b1c1的中點,p為am上一點.過b1c1和p的平面交ab于e,交ac于f.(1)證明:aa1mn,且平面a1amn平面eb1c1f;(2)設o為a1b1c1的中心,若ao=ab=6,ao平面eb1c1f,且mpn=,求四棱錐b-eb1c1f的體積.(1)平面a1amn平面eb1c1fef平面a1amnbc平面a1amn.(2)求錐體體積公式和m到pn的距離.【標準答案】(1)因為m,n分別為bc,b1

4、c1的中點,所以mnbb1,又aa1bb1,所以mnaa12分在等邊abc中,m為bc的中點,則bcam,又因為側面bb1c1c為矩形,所以bcbb1,因為mnbb1,mnbc,由mnam=m,mn,am平面a1amn,所以bc平面a1amn,4分又因為b1c1bc,且b1c1平面abc,bc平面abc,所以b1c1平面abc,又因為b1c1平面eb1c1f,且平面eb1c1f平面abc=ef,所以b1c1ef,所以efbc,又因為bc平面a1amn,所以ef平面a1amn,因為ef平面eb1c1f,所以平面eb1c1f平面a1amn.6分(2)過m作pn的垂線,交點為h,如圖,因為ao平面e

5、b1c1f,ao平面a1amn,平面a1amn平面eb1c1f=np,所以aonp,又因為noap,所以ao=np=6,因為o為a1b1c1的中心,所以on=a1c1sin=6sin =,故on=ap=,則am=3ap=3,因為平面eb1c1f平面a1amn,平面eb1c1f平面a1amn=np,mh平面a1amn,所以mh平面eb1c1f,8分又因為在等邊abc中,efbc,所以=,即ef=2,由(1)知,四邊形eb1c1f為梯形,所以=np=6=24,10分所以=h,h為m到pn的距離mh=2sin =3,所以v=243=24.12分測試目標(1)直接運用定理證明(推斷)命題;(2)通過線

6、面垂直,四棱錐體積求解測試目標邏輯推理:利用公式直接證明;直觀想象:想象出各種要素的空間性質;數(shù)學運算:通過四棱錐體積公式求解問題1.(線面平行)如圖,三棱柱abc-a1b1c1中,d是ab的中點.(1)證明:bc1平面a1cd;(2)若abc是邊長為2的正三角形,且bc=bb1,cbb1=60,平面abc平面bb1c1c,求三棱錐a-dca1的體積.2.(線面垂直)如圖,四棱錐p-abcd中,四邊形abcd是邊長為4的菱形,pa=pc,bdpa,e是bc上一點,且be=1,設acbd=o.(1)證明:po平面abcd;(2)若bad=60,pape,求三棱錐p-aoe的體積.3.(線面平行)

7、如圖,四邊形abcd為矩形,bcf為等腰三角形,且bae=dae=90,eafc.(1)證明:bf平面ade.(2)設=,問是否存在正實數(shù),使得三棱錐a-bdf的高恰好等于bc?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.4.(線面垂直)如圖,四棱錐s-abcd中,四邊形abcd為矩形,ab=2,bc=sc=sd=2,bcsd.(1)求證:sc平面sad;(2)求四棱錐s-abcd外接球的體積.5.(面面垂直)如圖,在四棱錐s-abcd中,側面scd為鈍角三角形且垂直于底面abcd,cd=sd,點m是sa的中點,adbc,abc=90,ab=ad=bc=a.(1)求證:平面mbd平面scd;(2)

8、若sdc=120,求三棱錐c-mbd的體積.6.(面面垂直)如圖,四邊形abcd為菱形,g為ac與bd的交點,be平面abcd,(1)證明:平面aec平面bed;(2)若abc=120,aeec,三棱錐e-acd的體積為,求該三棱錐的側面積.7.(面面垂直)如圖,四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面是直角梯形,bcad,abad,ad=2bc=2,四邊形abb1a1和add1a1均為正方形.(1)證明:平面abb1a1平面abcd.(2)求四面體ab1cd1的體積.8.(線面垂直)如圖,多面體abcdef中,ab=de=2,ad=1,平面cde平面abcd,四邊形abcd為矩形,bcef,點

9、g在線段ce上,且eg=2gc=ab.(1)求證:de平面abcd;(2)若ef=2bc,求多面體abcdef被平面bdg分成的大、小兩部分的體積比.9.(探究性問題)如圖,在三棱柱abc-a1b1c1中,bcc1為正三角形,acbc,ac=bc=2,ac1=2,點p為線段bb1的中點,點q為線段b1c1的中點.(1)在線段aa1上是否存在點m,使得c1m平面a1pq?若存在,指出點m的位置;若不存在,請說明理由.(2)求三棱錐a-a1c1p的體積.專題3立體幾何中的證明與計算/高考演兵場檢驗考試力/1.【解析】(1)在三棱柱abc-a1b1c1中,連接ac1交ca1于e,連接de,因為d是a

10、b的中點,e是ac1的中點,所以debc1.因為bc1平面a1cd,de平面a1cd,所以bc1平面a1cd.(2)取bc的中點h,連接b1h,cb1,因為bc=bb1,cbb1=60,所以cbb1是等邊三角形,所以b1hbc,又因為平面abc平面bb1c1c,平面abc平面bb1c1c=bc,b1h平面bb1c1c,所以b1h平面abc,所以b1h是三棱柱的高,b1h=,因為abc是邊長為2的正三角形,所以sabc=,=sadc=.2.【解析】(1)因為四邊形abcd是菱形,所以bdac,o是ac的中點.因為bdpa,paac=a,所以bd平面pac.因為po平面pac,所以bdpo.因為p

11、a=pc,o是ac的中點,所以poac.因為ac平面abcd,bd平面abcd,acbd=o,所以po平面abcd.(2)由四邊形abcd是菱形,bad=60,得abd和bcd都是等邊三角形,所以bd=ab=4.因為o是bd的中點,所以bo=2.在rtabo中,ao=2.在rtpao中,pa2=ao2+po2=12+po2.取bc的中點f,連接df,則dfbc.所以在rtbdf中,df=2.因為be=1,所以e是bf的中點.又因為o是bd的中點,所以oe=df=.在rtpoe中,pe2=oe2+po2=3+po2.在abe中,由余弦定理得ae2=ab2+be2-2abbecos 120=21.

12、因為pape,所以pa2+pe2=ae2.所以12+po2+3+po2=21.所以po=.因為saoe=sabc-sabe-scoe=44sin 120-41sin 120-3=,所以vp-aoe=saoepo=.3.【解析】(1)因為adbc,ad平面ade,bc平面ade,所以bc平面ade,因為eafc,ae平面ade,fc平面ade,所以fc平面ade,又bcfc=c,所以平面ade平面bcf,故bf平面ade.(2)存在.因為bae=90,所以aeab,又eafc,cdab,所以cfcd,因為bccf,bccd=c,所以cf平面abcd,設ab=a,bc=b,則b=a,在矩形abcd

13、和bcf中,有bd=df=a,bf=b,所以在bdf中,bf邊上的高h=a,又sabd=ab=a2,所以,由等體積法得a2b=bab=ab2,即=,所以=2,所以存在正實數(shù)=2,使得三棱錐a-bdf的高恰好等于bc.4.【解析】(1)因為bcsd,bccd,sdcd=d,sd,cd平面sdc,所以bc平面sdc,又adbc,所以ad平面sdc,因為sc平面sdc,所以scad,又在sdc中,sc=sd=2,dc=ab=2,故sc2+sd2=dc2,所以scsd,因為sdad=d,sd,ad平面sad,所以sc平面sad.(2)設g為矩形abcd的對角線的交點,則ag=bg=cg=dg=,作so

14、cd于o,因為bc平面sdc,bc平面abcd,所以平面abcd平面sdc,又平面abcd平面sdc=cd,so平面sdc,故so平面abcd,因為og平面abcd,所以ogso,連接og,sg,則sg=,所以g為四棱錐s-abcd外接球的球心,且球的半徑為,故所求的球的體積為v=4.5.【解析】(1)取bc中點e,連接de,則ab=ad=a,bc=2a.由題意可得:四邊形abed為正方形,且be=de=ce=a,bd=cd=a.所以bd2+cd2=bc2,則bdcd,又平面scd平面abcd,平面scd平面abcd=cd,所以bd平面scd,bd平面mbd,所以平面mbd平面scd.(2)過

15、點s作shcd,交cd的延長線于點h,連接ah.則sdh為sd與底面abcd所成的角,即sdh=60.由(1)可得:sd=cd=a,所以在rtshd中,sd=a,hd=a,sh=a.所以點m到平面abcd的距離d=a.所以三棱錐c-mbd的體積v=bdcdd=aaa=a3.6.【解析】(1)因為四邊形abcd為菱形,所以acbd,因為be平面abcd,所以acbe,又bdbe=b,故ac平面bed.又ac平面aec,所以平面aec平面bed.(2)設ab=x,在菱形abcd中,由abc=120,可得ag=gc=x,gb=gd=.因為aeec,所以在rtaec中,可得eg=x.由be平面abcd

16、,知ebg為直角三角形,可得be=x.由已知得,三棱錐e-acd的體積ve-acd=acgdbe=x3=,故x=2,在rtabe中,ae=,在rtebd中,de=,在rtaec中,ec=.從而可得ae=ec=ed=.所以eac的面積為3,ead的面積與ecd的面積均為.故三棱錐e-acd的側面積為3+2.7.【解析】(1)因為四邊形abb1a1和add1a1均為正方形,所以aa1ad,aa1ab.又adab=a,ad平面abcd,ab平面abcd.所以aa1平面abcd.因為aa1平面abb1a1,所以平面abb1a1平面abcd.(2)=2=6,=122=,=222=,=122=,=222=

17、,所以=-=2.8.【解析】(1)因為四邊形abcd為矩形,所以cd=ab.因為ab=de=2,所以cd=de=2.因為點g在線段ce上,且eg=2gc=ab,所以ec=ab=cd=2,所以de2+cd2=ec2,即decd,又平面cde平面abcd,平面cde平面abcd=cd,de平面cde,所以de平面abcd.(2)設三棱錐g-bcd的體積為1,連接eb,ae.因為eg=2gc,所以cg=ec,所以ve-bcd=3vg-bcd=3.易知ve-bcd=ve-abd=3.又ef=2bc,bcef,所以2sabd=sefa,故2ve-abd=vb-aef,又vb-ade=ve-abd=3,所以vb-aef=6,故vb-afe+ve-abd+ve-bdg=6+3+(3-1)=11.故多面體abcdef被平面bdg分成的大、小兩部分的體積比為111.9.【解析】(1)存在線段aa1的中點m滿足題意,證明如下:因為點p為線段bb1的中點,q為b1c1的中點,所以bc1pq,又c1b平面a1pq,pq平面a1pq,所以c1b平面a1pq.取aa1中點m,連接bm,c1m,則bmpa1,同理bm平面a1pq.又c1bbm=b,所以平