大數(shù)定律與中心極限定理

1、大數(shù)定律與中心極限定理切比雪夫不等式切比雪夫定理伯努里定理中心極限定理下一張幻燈片引言 大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果實(shí)際上是與各個個別隨機(jī)現(xiàn)象的特征無關(guān),并且?guī)缀醪辉偈请S機(jī)的了.所有這些事實(shí)都應(yīng)該由概率論作出理論上的結(jié)論. 概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律大數(shù)定律.大數(shù)定律是一種表現(xiàn)必然性與偶然性之間的辯證聯(lián)系的規(guī)律.由于大數(shù)定律的作用,大量的隨機(jī)因素的總和作用必然導(dǎo)致某種不依賴于個別隨機(jī)事件的結(jié)果. 下一張幻燈片切比雪夫不等式為了證明一系列關(guān)于大數(shù)定律的定理,我們首先證明切比雪夫不等式. 設(shè)隨機(jī)變量有數(shù)學(xué)期望 e及方差 d,則對于任何正數(shù),下列不等式成立: ,

2、d)|e(|p2 或或 ,d)|e(|p21 如圖，若曲線表示的密度曲線， 則切比雪夫不等式表示 ,ds21 -2-1120.10.20.30.4e+ese-下一張幻燈片切比雪夫不等式的作用 當(dāng)我們僅僅知道隨機(jī)變量當(dāng)我們僅僅知道隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差時，由的數(shù)學(xué)期望與方差時，由它們可以近似估計(jì)出它們可以近似估計(jì)出的取值在以的取值在以e為中心的某范圍為中心的某范圍內(nèi)的概率內(nèi)的概率.例例 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 學(xué) 期 望e =5， 方 差d =2， 試 估 計(jì) 落 在 區(qū) 間 1， 9的 概 率 至 少 有 多 大 ？ 解解 利 用 切 比 雪 夫 不 等 式 可 估 計(jì) 出 ：87421

3、45912)|(|p)(p. 下一張幻燈片切比雪夫定理設(shè) 獨(dú) 立 隨 機(jī) 變 量，n21 分 別 有 數(shù) 學(xué) 期 望，neee21 及方差，nddd21 ， 并且方差是一致有界的，即存在某一個常數(shù) k,使得,ikdi21， 則對于任何正數(shù)，恒有11111)|enn(|plimniiniin. 下一張幻燈片切比雪夫定理的意義由于 獨(dú)立隨機(jī)變量，n21的 算 術(shù) 平 均 值niinn11的 數(shù) 學(xué) 期 望niinene11及 方 差niindnd121， 當(dāng) 各 個 方 差 一 致 有 界 時 ，nknkndn21.由此可見， 當(dāng) n 充分大時， 隨機(jī)變量n的分布的分散程度是很小的.即n的值比較集

4、中在其數(shù)學(xué)期望附近，這就是大數(shù)定律大數(shù)定律. 下一張幻燈片伯努里定理在獨(dú)立試驗(yàn)序列中，在獨(dú)立試驗(yàn)序列中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無限增加時，事件當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無限增加時，事件a a的頻率按概率收斂于事件的頻率按概率收斂于事件a a的概率的概率. 設(shè)事件 a 的概率p(a)=p,m 表示事件 a 在 n 次獨(dú)立試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),則事件a的頻率 nm)a(fn, 于是伯努利定理可以用公式表示如下: 對于任何正數(shù),恒有 1)|pnm(|plimn 下一張幻燈片中心極限定理 在隨機(jī)變量的一切可能的分布律中,正態(tài)分布占有特殊重要的地位.實(shí)踐中經(jīng)常遇到的大量的隨機(jī)變量都是服從正態(tài)分布的.就提出這樣的問題:為什么正態(tài)分布如此

5、廣泛地存在,從而在概率論中占有如此重要的地位?應(yīng)該如何解釋大量隨機(jī)現(xiàn)象中的這一客觀規(guī)律呢？ 概率論中有關(guān)論證隨機(jī)變量之和的極限分布為正態(tài)分布的定理稱為中心極限定理中心極限定理.下一張幻燈片列維列維定理定理 設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量,n21服從相同的分布， 并且有數(shù)學(xué)期望與方差 ), n ,i (d,eii21 02， 則當(dāng)n時，它們的和的極限分布是正態(tài)分布，即 ztniindte)znn(plim21221 其中z為任意實(shí)數(shù). 下一張幻燈片列維列維定理應(yīng)用例定理應(yīng)用例子子 計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時,把每個加數(shù)取為最接近于它的整數(shù)來計(jì)算.設(shè)所有的取整誤差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,并且都在區(qū)間-0.5,0.5上服從

6、均勻分布,求 300 個數(shù)相加時誤差總和的絕對值小于 10 的概率. 解解 設(shè)隨機(jī)變量i 表示第 i 個加數(shù)的取整誤差,則i 在區(qū)間-0.5,0.5上服從均勻分布,并且有 ,3001,2,i 121 0,d,eii .于是,按公式(5.17)得所求的概率 95440222123001030013001.)()()/(p)(piiii 下一張幻燈片德莫弗德莫弗-拉普拉斯拉普拉斯定理定理 設(shè)在獨(dú)立試驗(yàn)序列中， 事件a在各次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0p1),隨機(jī)變量n表示事件a在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則有 ztnndte)znpqnp(plim2221 其中z為任意實(shí)數(shù)，q=1-p. 下一張幻燈片德莫

7、弗德莫弗-拉普拉斯拉普拉斯定理應(yīng)用例定理應(yīng)用例子子 某工廠有200臺同類型的機(jī)器,每臺機(jī)器工作時需要的電功率為q千瓦.由于工藝等原因,每臺機(jī)器的實(shí)際工作時間只占全部工作時間的75%,各臺機(jī)器是否工作是相互獨(dú)立的.求:（1） 任一時刻有144至160臺機(jī)器正在工作的概率;（2） 需要供應(yīng)多少電功率可以保證所有機(jī)器正常工作的概率不小于0.99?下一張幻燈片解：設(shè)事件 a 表示機(jī)器工作， 則可把 200 臺機(jī)器是否工作視作200 重 貝 努 利 試 驗(yàn) . 已 知 n=200,p=0.75,q=0.25,np=150, 1246.npq ，故 （1）設(shè)表示任一時刻處于工作狀態(tài)的機(jī)器數(shù)，則 785309800633112461501441246150160160144.).().().().()(p 下一張幻燈片（2）設(shè)任一時刻正在工作的機(jī)器數(shù)不超過m，則題目要求 9900.)m(p 利用（5.19）式得 990124615001246150.).().m( 因052412461500).().(， 故99012