1三角形單元有限元

1、結(jié)構(gòu)有限元法結(jié)構(gòu)有限元法第第1章章 三角形常應(yīng)變單元的有限元法三角形常應(yīng)變單元的有限元法第第2章章 有限元程序設(shè)計與分析軟件有限元程序設(shè)計與分析軟件第第3章章 平面問題高階單元的有限元法平面問題高階單元的有限元法第第4章章 空間實體的有限元法空間實體的有限元法第第5章章 桿系結(jié)構(gòu)的有限元法桿系結(jié)構(gòu)的有限元法第第6章章 板殼問題的有限元法板殼問題的有限元法第第7章章 結(jié)構(gòu)動力問題的有限元法？結(jié)構(gòu)動力問題的有限元法？第第8章章 彈塑性問題的有限元法彈塑性問題的有限元法結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 有有 限限 元元 分分 析析 第第1 1章章 三角形單元的有限元法三角形單元的有限元法1.1 有限元法的基本思想有限元法

2、的基本思想 有限元法在有限元法在20世紀(jì)世紀(jì)50年代起源于飛機結(jié)構(gòu)的矩陣年代起源于飛機結(jié)構(gòu)的矩陣分析，其分析，其基本思想基本思想是用有限個離散單元的集合體代是用有限個離散單元的集合體代替原連續(xù)體，采用能量原理研究單元及其離散集合替原連續(xù)體，采用能量原理研究單元及其離散集合體的平衡，以計算機為工具進行結(jié)構(gòu)數(shù)值分析。它體的平衡，以計算機為工具進行結(jié)構(gòu)數(shù)值分析。它避免了經(jīng)典彈性力學(xué)獲得連續(xù)解的困難（建立和求避免了經(jīng)典彈性力學(xué)獲得連續(xù)解的困難（建立和求解偏微分方程），使大型、復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計算容易地解偏微分方程），使大型、復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計算容易地在計算機上完成，應(yīng)用十分廣泛。在計算機上完成，應(yīng)用十分廣泛。an

3、sys, sap2k 把整體結(jié)構(gòu)離散為有限個單元，研究單元的平把整體結(jié)構(gòu)離散為有限個單元，研究單元的平衡和變形協(xié)調(diào)；再把這有限個離散單元集合還原成衡和變形協(xié)調(diào)；再把這有限個離散單元集合還原成結(jié)構(gòu)，研究離散結(jié)構(gòu)的平衡和變形協(xié)調(diào)。結(jié)構(gòu)，研究離散結(jié)構(gòu)的平衡和變形協(xié)調(diào)。 劃分的單元大小和數(shù)目根據(jù)計算精度和計算機能劃分的單元大小和數(shù)目根據(jù)計算精度和計算機能力來確定。力來確定。12345678910p5764 56345678 彈性懸臂板彈性懸臂板剖分與集合剖分與集合單元、節(jié)點需編號單元、節(jié)點需編號有限元法主要優(yōu)點：有限元法主要優(yōu)點：（1） 概念淺顯，容易掌握。（離散、插值、能概念淺顯，容易掌握。（離散、

4、插值、能量原理、數(shù)學(xué)分析）量原理、數(shù)學(xué)分析）（2）適用性強，應(yīng)用范圍廣，幾乎適用于所有）適用性強，應(yīng)用范圍廣，幾乎適用于所有連續(xù)體和場問題的分析。（結(jié)構(gòu)、熱、流體、連續(xù)體和場問題的分析。（結(jié)構(gòu)、熱、流體、電磁場和聲學(xué)等問題）電磁場和聲學(xué)等問題）（3）計算規(guī)格化（采用矩陣表示），便于計算）計算規(guī)格化（采用矩陣表示），便于計算機編程。機編程。1.1.1 有限元法的分析步驟有限元法的分析步驟 （1）結(jié)構(gòu)）結(jié)構(gòu)離散化：離散化：用點、線或面把結(jié)構(gòu)剖分為有用點、線或面把結(jié)構(gòu)剖分為有限個離散單元體，并在單元指定點設(shè)置限個離散單元體，并在單元指定點設(shè)置節(jié)點節(jié)點。研究。研究單元的平衡和變形協(xié)調(diào)，形成單元平衡方程

5、。單元的平衡和變形協(xié)調(diào)，形成單元平衡方程。l/2l/2p123 1、f1 2、f2 3、f3 4、f4l/212l/223 1、f1 2、f2 3、f3 4、f4單元的單元的節(jié)點上節(jié)點上有位移有位移 和力和力f（2）單元集合：把所有離散的有限個單元集合起來）單元集合：把所有離散的有限個單元集合起來代替原結(jié)構(gòu)，形成離散結(jié)構(gòu)節(jié)點平衡方程。代替原結(jié)構(gòu)，形成離散結(jié)構(gòu)節(jié)點平衡方程。（3）由平衡方程求解得節(jié)點位移和計算單元應(yīng)力。）由平衡方程求解得節(jié)點位移和計算單元應(yīng)力。 1、f1 2、f2 3、f3 4、f4l/212l/223 1、f1 2、f2 3、f3 4、f4l/2l/2p1231.1.2 有限元

6、法分析思路流程有限元法分析思路流程解綜合方程解綜合方程k= p求結(jié)構(gòu)節(jié)點位移求結(jié)構(gòu)節(jié)點位移計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力和應(yīng)力計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力和應(yīng)力系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析(把單元剛度矩陣集合成結(jié)構(gòu)剛度矩陣把單元剛度矩陣集合成結(jié)構(gòu)剛度矩陣k形成等價節(jié)點荷載形成等價節(jié)點荷載p )離散（剖分）結(jié)構(gòu)離散（剖分）結(jié)構(gòu)為若干單元為若干單元單元分析單元分析(建立單元剛度矩陣建立單元剛度矩陣ke形成單元等價節(jié)點力形成單元等價節(jié)點力)（1-1）tsysxsysxsqqqqq2、單元內(nèi)任意點的、單元內(nèi)任意點的體積力體積力列陣列陣 qv （1-2）tvyvxvyvxvqqqqq1、單元表面或邊界上任意點的、單元表面或邊界上任意點的表面力表面力

7、列陣列陣 qs ijmxyijmxyqvqs1.2 基本力學(xué)量矩陣表示基本力學(xué)量矩陣表示圖圖1-1ijmxyuv3、單元內(nèi)任意點的位移列陣、單元內(nèi)任意點的位移列陣 f tuf（1-3） 4、單元內(nèi)任意點的應(yīng)變列陣、單元內(nèi)任意點的應(yīng)變列陣 txyyx（1-4）ijmxy5、單元內(nèi)任意點的應(yīng)力列陣、單元內(nèi)任意點的應(yīng)力列陣 txyyx（1-5）6、幾何方程幾何方程txyuyxu（1-6）xvyuyvxuxyyx,將上式代入式將上式代入式(1-4），），ijmxytxyyx（1-4）7、物理方程矩陣式、物理方程矩陣式xyyxxyyxe21001112稱對（1-7）式中式中 e、 彈性模量、泊松比。彈性

8、模量、泊松比。上式可簡寫為上式可簡寫為d（1-8）其中其中 對于彈性力學(xué)的平面應(yīng)力問題，對于彈性力學(xué)的平面應(yīng)力問題，物理方程物理方程的矩陣形的矩陣形式可表示為：式可表示為：)(12yxxe21001112稱對ed(1-9）矩陣矩陣d稱為彈性矩陣。稱為彈性矩陣。對于平面應(yīng)變問題，將式對于平面應(yīng)變問題，將式(1-9）中的中的e換為換為 ， 換為換為 。21e1d(1-8） 各種類型結(jié)構(gòu)的彈性物理方程都可用式各種類型結(jié)構(gòu)的彈性物理方程都可用式(1-8）描）描述。但結(jié)構(gòu)類型不同，力學(xué)性態(tài)述。但結(jié)構(gòu)類型不同，力學(xué)性態(tài) (應(yīng)力分量、應(yīng)變分應(yīng)力分量、應(yīng)變分量量)有區(qū)別，有區(qū)別， 彈性矩陣彈性矩陣d的體積和元

9、素是不同的。的體積和元素是不同的。1.3 位移函數(shù)和形函數(shù)位移函數(shù)和形函數(shù) 1、位移函數(shù)概念、位移函數(shù)概念 由于有限元法采用能量原理進行單元分析，因而由于有限元法采用能量原理進行單元分析，因而必須事先設(shè)定位移函數(shù)。必須事先設(shè)定位移函數(shù)。 “位移函數(shù)位移函數(shù)”也稱也稱 “位移位移模式模式”，是，是單元內(nèi)部位移變化的數(shù)學(xué)表達式，設(shè)為坐單元內(nèi)部位移變化的數(shù)學(xué)表達式，設(shè)為坐標(biāo)的函數(shù)標(biāo)的函數(shù)。一般而論，位移函數(shù)選取會影響甚至嚴(yán)重影響一般而論，位移函數(shù)選取會影響甚至嚴(yán)重影響計算結(jié)果的精度。在彈性力學(xué)中，恰當(dāng)選取位移函數(shù)計算結(jié)果的精度。在彈性力學(xué)中，恰當(dāng)選取位移函數(shù)不是一件容易的事情；但不是一件容易的事情；

10、但在有限元中，當(dāng)單元劃分得在有限元中，當(dāng)單元劃分得足夠小時，把位移函數(shù)設(shè)定為簡單的多項式就可以獲足夠小時，把位移函數(shù)設(shè)定為簡單的多項式就可以獲得相當(dāng)好的精確度。得相當(dāng)好的精確度。這正是有限單元法具有的重要優(yōu)這正是有限單元法具有的重要優(yōu)勢之一。勢之一。 不同類型結(jié)構(gòu)會有不同的位移函數(shù)。這里，仍不同類型結(jié)構(gòu)會有不同的位移函數(shù)。這里，仍以平面問題三角形單元（圖以平面問題三角形單元（圖1-2）為例，說明設(shè)定位）為例，說明設(shè)定位移函數(shù)的有關(guān)問題。移函數(shù)的有關(guān)問題。 圖圖1-2是一個三節(jié)點三角形是一個三節(jié)點三角形單元，其節(jié)點單元，其節(jié)點i、j、m按按逆時針逆時針方向排列。每個節(jié)點位移在單方向排列。每個節(jié)點

11、位移在單元平面內(nèi)有兩個分量：元平面內(nèi)有兩個分量：),(mjiutiii（1-10） 一個三角形單元有一個三角形單元有3個節(jié)點（以個節(jié)點（以 i、j、m為為 序），序），共有共有6個節(jié)點位移分量。其個節(jié)點位移分量。其單元位移或單元節(jié)點位移單元位移或單元節(jié)點位移列陣列陣為：為：圖圖1-2ijmuiujumvivjvmxy2、位移函數(shù)設(shè)定、位移函數(shù)設(shè)定 本問題選位移函數(shù)（單元中任意一點的位移與節(jié)點本問題選位移函數(shù)（單元中任意一點的位移與節(jié)點位移的關(guān)系）為簡單多項式：位移的關(guān)系）為簡單多項式：yaxaayaxaau654321(1-12）式中：式中：a1、a2、a6待定常數(shù)，由單元位移的待定常數(shù)，由單

12、元位移的6個分量確定。個分量確定。a1、a4代表剛體位移，代表剛體位移， a2、 a3、 a5、 a6代表單元中的常應(yīng)變，而且，位移函數(shù)是連續(xù)函代表單元中的常應(yīng)變，而且，位移函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。數(shù)。 tmmjjiimjiuuu(1-11）ijmuiujumvivjvmxyuv625352,aaaaayvaxuxyyxu選取位移函數(shù)應(yīng)考慮的問題選取位移函數(shù)應(yīng)考慮的問題 （1）位移函數(shù)的個數(shù)位移函數(shù)的個數(shù)等于等于單元中任意一點的位移分量個數(shù)。本單元中單元中任意一點的位移分量個數(shù)。本單元中有有u和和v，與此相應(yīng)，有，與此相應(yīng)，有2個位移函數(shù)；個位移函數(shù)； （3）位移函數(shù)中待定常數(shù)個數(shù)位移函數(shù)中待定常數(shù)個

13、數(shù) 待定常數(shù)個數(shù)應(yīng)等于待定常數(shù)個數(shù)應(yīng)等于單元節(jié)點自由度總數(shù)單元節(jié)點自由度總數(shù)，以，以便用單元節(jié)點位移確定位移函數(shù)中的待定常數(shù)。本便用單元節(jié)點位移確定位移函數(shù)中的待定常數(shù)。本單元有單元有6個節(jié)點自由度，兩個位移函數(shù)中共包含個節(jié)點自由度，兩個位移函數(shù)中共包含6個個待定常數(shù)。待定常數(shù)。（2）位移函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)位移函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù) 本單元的坐標(biāo)系為：本單元的坐標(biāo)系為：x、y； （4）位移函數(shù)中必須包含單元的剛體位移。位移函數(shù)中必須包含單元的剛體位移。 （5）位移函數(shù)中必須包含單元的常應(yīng)變。位移函數(shù)中必須包含單元的常應(yīng)變。 （6）位移函數(shù)在單元內(nèi)要連續(xù)。相鄰單元間要盡位移函數(shù)在單元內(nèi)要連續(xù)。相鄰單元間

14、要盡 量協(xié)調(diào)。量協(xié)調(diào)。 條件（條件（4）、（）、（5）構(gòu)成單元的）構(gòu)成單元的完備性完備性準(zhǔn)則。準(zhǔn)則。 條件（條件（6）是單元的位移）是單元的位移協(xié)調(diào)性協(xié)調(diào)性條件。條件。 理論和實踐都已證明，完備性準(zhǔn)則是有限元解收理論和實踐都已證明，完備性準(zhǔn)則是有限元解收斂于真實解的必要條件。單元的位移協(xié)調(diào)條件構(gòu)成有斂于真實解的必要條件。單元的位移協(xié)調(diào)條件構(gòu)成有限元解收斂于真實解的充分條件。限元解收斂于真實解的充分條件。 容易證明，三角形三節(jié)點常應(yīng)變單元滿足以上必容易證明，三角形三節(jié)點常應(yīng)變單元滿足以上必要與充分條件。要與充分條件。 （7）位移函數(shù)的形式位移函數(shù)的形式 一般選為完全多項式。為實現(xiàn)（一般選為完全多

15、項式。為實現(xiàn)（4）（6）的要）的要求，根據(jù)求，根據(jù)pascal三角形由低階到高階按順序、對稱地三角形由低階到高階按順序、對稱地選取；多項式的項數(shù)等于（或稍大于）單元節(jié)點自由選?。欢囗検降捻棓?shù)等于（或稍大于）單元節(jié)點自由度數(shù)。度數(shù)。4322343223221yxyyxyxxyxyyxxyxyxyxyaxaayaxaau654321例：平面應(yīng)力矩形板被劃分為若干三角形單元。例：平面應(yīng)力矩形板被劃分為若干三角形單元。 位移函數(shù)中包含了單元的常應(yīng)變。位移函數(shù)中包含了單元的常應(yīng)變。 xvyuyvxuxyyx,(a2, a6, a3+a5 ) 位移函數(shù)中包含了單元的剛體位移。位移函數(shù)中包含了單元的剛體位移

16、。 (a1, a4 )254136對任一單元，如對任一單元，如單元，取位移函數(shù)：單元，取位移函數(shù)：、單元的位移函數(shù)都是單元的位移函數(shù)都是yaxaayaxaau654321可以看出：可以看出： 位移函數(shù)在單元內(nèi)是連續(xù)的；位移函數(shù)在單元內(nèi)是連續(xù)的； 以以、的邊界的邊界26為例為例2562635623xyuu6u2uu6u2兩條直線上有兩個點重合，此兩條直線必全重合。兩條直線上有兩個點重合，此兩條直線必全重合。位移函數(shù)在單元之間的邊界上也連續(xù)嗎？是。位移函數(shù)在單元之間的邊界上也連續(xù)嗎？是。3、形函數(shù)、形函數(shù) 形函數(shù)是用單元節(jié)點位移分量來描述位移函數(shù)的形函數(shù)是用單元節(jié)點位移分量來描述位移函數(shù)的插值函數(shù)

17、插值函數(shù)。iiiiiiyaxaayaxaau654321jjjjjjyaxaayaxaau654321mmmmmmyaxaayaxaau654321(1-13） （1）形函數(shù)確定）形函數(shù)確定 現(xiàn)在，通過單元節(jié)點位移確定位移函數(shù)中的待定現(xiàn)在，通過單元節(jié)點位移確定位移函數(shù)中的待定常數(shù)常數(shù)a1、a2、a6 。設(shè)節(jié)點。設(shè)節(jié)點i、j、m的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為（xi、yi）、（）、（ xj、yj ）、（）、（ xm、ym ），節(jié)點位移分別），節(jié)點位移分別為（為（ui、vi）、）、 （uj、vj） 、 （um、vm）。將它們）。將它們代入式（代入式（1-12），有），有)121 (654321yaxaay

18、axaau從式從式(1-13）左邊）左邊3個方程中解出待定系數(shù)個方程中解出待定系數(shù)a1、a2、a3為為 mmmjjjiiiyxuyxuyxuaa211mmjjiiyuyuyuaa111212mmjjiiuxuxuxaa111213(1-14） 式中，式中， a為三角形單元的面積，有為三角形單元的面積，有 mmjjiiyxyxyxa11121(1-15） 特別指出：特別指出：為使求得面積的值為正值，本單元節(jié)點號為使求得面積的值為正值，本單元節(jié)點號的次序必須是的次序必須是逆時針逆時針轉(zhuǎn)向，如圖所示。至于將哪個節(jié)轉(zhuǎn)向，如圖所示。至于將哪個節(jié)點作為起始節(jié)點點作為起始節(jié)點i，則沒有關(guān)系。，則沒有關(guān)系。

19、將式將式(1-14）代入式）代入式(1-12）的第一式，整理后得）的第一式，整理后得)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaau同理同理)()()(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaaijmxy（2）（1）（7）)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaau)()()(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaa(1-16）式中式中 ),(mjijmmjiyxyxamjiyybmjixxc(1-17） ijm式式(1-17）中（）中（i、j、m）意指：按）意指：按i、j、m依次輪換下依

20、次輪換下標(biāo)，可得到標(biāo)，可得到aj、bj、cjam、bm、cm。后面出現(xiàn)類似情。后面出現(xiàn)類似情況時，照此推理。式?jīng)r時，照此推理。式(1-17）表明：）表明： aj、bj、cjam、bm、cm是單元三個節(jié)點坐標(biāo)的函數(shù)。是單元三個節(jié)點坐標(biāo)的函數(shù)。)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaau)()()(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaa(1-16）令令 )(21ycxbaaniiii),(mji(1-18） 位移模式位移模式(1-16）可以簡寫為）可以簡寫為(1-19） mmjjiimmjjiinnnunununu 式式(1-19）中的）中

21、的ni、nj、nm是坐標(biāo)的函數(shù)，反應(yīng)了是坐標(biāo)的函數(shù)，反應(yīng)了單元的位移形態(tài)，稱為單元位移函數(shù)的形函數(shù)。數(shù)學(xué)單元的位移形態(tài)，稱為單元位移函數(shù)的形函數(shù)。數(shù)學(xué)上它反應(yīng)了節(jié)點位移對單元內(nèi)任一點位移的插值，又上它反應(yīng)了節(jié)點位移對單元內(nèi)任一點位移的插值，又稱插值函數(shù)。稱插值函數(shù)。 )()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaau)()()(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaa(1-16）用形函數(shù)把式用形函數(shù)把式(1-16）寫成矩陣，有）寫成矩陣，有mmjjiimjimjivuvuvunnnnnnvu000000縮寫為縮寫為nf(1-20） 形函數(shù)是有限

22、單元法中的一個重要函數(shù)，它具形函數(shù)是有限單元法中的一個重要函數(shù)，它具有以下性質(zhì)：有以下性質(zhì)：n為形函數(shù)矩陣，寫成分塊形式：為形函數(shù)矩陣，寫成分塊形式：mjinnnn (1-21）其中子矩陣其中子矩陣),(00mjiinnnniiii(1-22）i是是22的單位矩陣。的單位矩陣。 （2）形函數(shù)性質(zhì)）形函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 形函數(shù)形函數(shù)ni在節(jié)點在節(jié)點i上的值等于上的值等于1，在其它節(jié)點，在其它節(jié)點 上的值等于上的值等于0。對于本單元，有。對于本單元，有 0),(0),(1),(mmijjiiiiyxnyxnyxn（i、j、m）性質(zhì)性質(zhì)2 在單元中任一點，所有形函數(shù)之和等于在單元中任一點，所有形函數(shù)

23、之和等于1。對。對 于本單元，有于本單元，有1),(),(),(yxnyxnyxnmjimmjjiimmjjiinnnunununuxyn（i，j，m）ni =1ijm圖圖1-3？公式證明、和利用iiiiiiicbaycxbaan)(21xyn（i，j，m）ni =1ijmnj =1ijmnm =1ijmni =1ijmnj =1nm =1圖圖1-4也可利用行列式代數(shù)余子式與某行或列元素也可利用行列式代數(shù)余子式與某行或列元素乘積的性質(zhì)（等于行列式值或乘積的性質(zhì)（等于行列式值或0）證明。）證明。性質(zhì)性質(zhì)3 在三角形單元的邊界在三角形單元的邊界ij上任一點（上任一點（x，y），有），有 0),()

24、,(1),(yxnxxxxyxnxxxxyxnmijijijiixxixjxyni(xi，yi)j (xj，yj)m (xm，ym)ni(x、y)1jijixxxxyxn1),(ijijijiijijixxxxxxxxxxxxxxyxn1),(證證圖圖1-50)(21)(21),()() 3(imimmmmmmiimmycxbaaycxbaayxnyxxcbyij方程：1),(),(),()2(yxnyxnyxnmji（1）性質(zhì)性質(zhì)4 形函數(shù)在單元上的面積分和在邊界上的線積分形函數(shù)在單元上的面積分和在邊界上的線積分公式為公式為 ijdlnadxdynijiai213(1-23）式中式中 為為

25、邊的長度。邊的長度。 ijij1.4 單元應(yīng)變和應(yīng)力單元應(yīng)變和應(yīng)力 根據(jù)幾何方程根據(jù)幾何方程(1-6）和位移函數(shù)）和位移函數(shù)(1-16）可以求）可以求得單元應(yīng)變。得單元應(yīng)變。 1、單元應(yīng)變、單元應(yīng)變xvyuyvxuxyyx(1-6）對位移函數(shù)（式對位移函數(shù)（式(1-16）mmjjiimmmmjjjjiiiixyyxuuubccbbccbbccba00000021(1-24）)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaau)()()(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaa(1-16）求導(dǎo)后代入式求導(dǎo)后代入式(1-6），得到應(yīng)變和節(jié)點位移的關(guān)系

26、式。），得到應(yīng)變和節(jié)點位移的關(guān)系式。上式簡寫一般式：上式簡寫一般式： b(1-25）式中，式中， b單元應(yīng)變矩陣。單元應(yīng)變矩陣。 對本問題，維數(shù)為對本問題，維數(shù)為36。它的分塊形式為：。它的分塊形式為：mjibbbb 子矩陣子矩陣 ),(0021mjibccbabiiiii(1-26） 由于由于 與與x、y無關(guān)，都是常量，因此無關(guān)，都是常量，因此b矩陣也是常量。單元中任一點的應(yīng)變分量是矩陣也是常量。單元中任一點的應(yīng)變分量是b矩陣矩陣與單元位移的乘積，因而也都是常量。因此，這種單元與單元位移的乘積，因而也都是常量。因此，這種單元被稱為常應(yīng)變單元。被稱為常應(yīng)變單元。mmjjiicbcbcba, 2

27、、單元應(yīng)力、單元應(yīng)力 將式將式(1-25）代入物理方程式）代入物理方程式(1-8），得），得 單元應(yīng)力單元應(yīng)力dbd(1-27）也可寫為也可寫為 s(1-28）其中：其中：s稱為稱為單元應(yīng)力矩陣單元應(yīng)力矩陣，并有，并有(1-29）633363bds 這里，這里，d是是33矩陣，矩陣，b是是36矩陣，因此矩陣，因此s也是也是36矩陣。它可寫為分塊形式矩陣。它可寫為分塊形式 bmjissss (1-30）將彈性矩陣（式將彈性矩陣（式(1-9） 和應(yīng)變矩陣（式和應(yīng)變矩陣（式(1-26）代）代入，得子矩陣入，得子矩陣si由式由式(1-29）iibds),(2121)1 (22mjibcccbbaesi

28、iiiiii(1-31）式式(1-31）是平面應(yīng)力的結(jié)果。對于平面應(yīng)變問題，）是平面應(yīng)力的結(jié)果。對于平面應(yīng)變問題，只要將上式中的只要將上式中的e換成換成 ， 換成換成 即得。即得。21e1),()1 (221)1 (22111)21)(1 (2)1 (mjibccbcbaesiiiiiii(1-32） 由于同一單元中的由于同一單元中的d、b矩陣都是常數(shù)矩陣，矩陣都是常數(shù)矩陣，所以所以s矩陣也是常數(shù)矩陣。也就是說，三角形三節(jié)矩陣也是常數(shù)矩陣。也就是說，三角形三節(jié)點單元內(nèi)的應(yīng)力分量也是常量。點單元內(nèi)的應(yīng)力分量也是常量。 當(dāng)然，相鄰單元的當(dāng)然，相鄰單元的bi、ci(i，j，m)一般不完全相同，一般不

29、完全相同，因而具有不同的應(yīng)力，這就造成在相鄰單元的公共因而具有不同的應(yīng)力，這就造成在相鄰單元的公共邊上存在著邊上存在著應(yīng)力突變現(xiàn)象應(yīng)力突變現(xiàn)象。但是隨著網(wǎng)格的細(xì)分，。但是隨著網(wǎng)格的細(xì)分，這種突變將會迅速減小，收斂于平衡被滿足。這種突變將會迅速減小，收斂于平衡被滿足。1.5 單元平衡方程單元平衡方程 1、 單元應(yīng)變能單元應(yīng)變能 對于平面應(yīng)力問題中的三角形單元，設(shè)單元厚度對于平面應(yīng)力問題中的三角形單元，設(shè)單元厚度為為h 。ataxyxyyyxxhdxdyhdxdyu21)(21將式將式(1-25）和）和(1-8）代入上式進行矩陣運算，并注）代入上式進行矩陣運算，并注意到彈性矩陣意到彈性矩陣d的對稱

30、性，有的對稱性，有athdxdydu21 atthdxdybdb21應(yīng)變能應(yīng)變能 u為為ijmxyh ttttdd)(b(1-25)d(1-8）由于由于 和和 t是常量，提到積分號外，上式可寫成是常量，提到積分號外，上式可寫成 21atthdxdybdbu引入矩陣符號引入矩陣符號k，且有，且有athdxdybdbk(1-33a）式式(1-33a）是針對平面問題三角形單元推出的。注意）是針對平面問題三角形單元推出的。注意到其中到其中hdxdy的實質(zhì)是任意的微體積的實質(zhì)是任意的微體積dv，于是得計算，于是得計算k的的一般式一般式。 dvbdbkvt(1-33） 式式(1-33）不僅適合于平面問題三

31、角形單元，）不僅適合于平面問題三角形單元，也是計算各種類型單元也是計算各種類型單元k的一般式。的一般式。 atthdxdybdbu21dv 1.6節(jié)中將明確節(jié)中將明確k的力學(xué)意義是單元剛度矩陣。的力學(xué)意義是單元剛度矩陣。式式(1-33）便是計算單元剛度矩陣的基本矩陣式。它）便是計算單元剛度矩陣的基本矩陣式。它適合于各種類型的單元。適合于各種類型的單元。單元應(yīng)變能寫成單元應(yīng)變能寫成 21kut(1-34） 2、 單元外力勢能單元外力勢能 單元受到的外力一般包括單元受到的外力一般包括體積力體積力、表面力表面力和和集中力集中力。自重屬于體積力范疇。表面力指作用在單元表面的分自重屬于體積力范疇。表面力

32、指作用在單元表面的分布載荷，如風(fēng)力、壓力，以及相鄰單元互相作用的內(nèi)布載荷，如風(fēng)力、壓力，以及相鄰單元互相作用的內(nèi)力等。力等。 dvbdbkvt(1-33） （1） 體積力勢能體積力勢能 單位體積中的體積力單位體積中的體積力如式如式(1-35）所示。）所示。單元上體積力具有的勢能單元上體積力具有的勢能vv為為avtvhdxdyqfv(1-35）tvyvxvqqqijmxyqvxqvyijmxyuv注意到式注意到式(1-20）avttavtvhdxdyqnhdxdyqnv)(有有nf(1-20） （2） 表面力勢能表面力勢能 面積力雖然包括單元之間公共邊上互相作用的分布面積力雖然包括單元之間公共邊

33、上互相作用的分布力，但它們屬于結(jié)構(gòu)內(nèi)力，成對出現(xiàn)，集合時互相抵力，但它們屬于結(jié)構(gòu)內(nèi)力，成對出現(xiàn)，集合時互相抵消，在結(jié)構(gòu)整體分析時可以不加考慮，因此單元分析消，在結(jié)構(gòu)整體分析時可以不加考慮，因此單元分析時也就不予考慮。時也就不予考慮。 現(xiàn)在，只考慮彈性體邊界上的表面力，它只在部現(xiàn)在，只考慮彈性體邊界上的表面力，它只在部分單元上形成表面力（右下圖）。設(shè)分單元上形成表面力（右下圖）。設(shè)邊界面上單位面邊界面上單位面積受到的表面力積受到的表面力如下式：如下式：daqnhdlqfvlsttlstsl單元邊界長度單元邊界長度h單元厚度單元厚度a表面力作用面積表面力作用面積tsysxsysxsqqqqq qs

34、 qs 沿厚度均勻分布，沿厚度均勻分布，則單元表面力的勢能則單元表面力的勢能vs為為 （3） 集中力勢能集中力勢能 當(dāng)結(jié)構(gòu)受到集中力時，通常在劃分單元網(wǎng)格時就當(dāng)結(jié)構(gòu)受到集中力時，通常在劃分單元網(wǎng)格時就把集中力的作用點設(shè)置為節(jié)點。于是單元集中力把集中力的作用點設(shè)置為節(jié)點。于是單元集中力 pc 的勢能的勢能vc為為ctcpvp p/2c （4）總勢能總勢能csvvvvv把把(1-35）式中原括符內(nèi)的部分用列陣）式中原括符內(nèi)的部分用列陣 fd 代替，代替， 綜合以上諸式，單元外力的總勢能綜合以上諸式，單元外力的總勢能v為為 lcstavttphdlqnhdxdyqn(1-35） fd 具有和具有和

35、相同的行、列數(shù)。則相同的行、列數(shù)。則dtfv(1-36） 由單元的應(yīng)變能由單元的應(yīng)變能u(1-34）和外力勢能）和外力勢能v(1-36），），可得單元的總勢能可得單元的總勢能 21dttfkvu(1-37）將式將式(1-37）代入，）代入，0根據(jù)彈性力學(xué)最小勢能原理：結(jié)構(gòu)處于根據(jù)彈性力學(xué)最小勢能原理：結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡的的必要和充分條件是必要和充分條件是總勢能有極小值總勢能有極小值。3、單元平衡方程、單元平衡方程于是有，于是有，21kut(1-34）dtfv(1-36）式式(1-38）是從能量原理導(dǎo)出的單元平衡方程。這個方）是從能量原理導(dǎo)出的單元平衡方程。這個方程表達了單元力與單元位移之

36、間的關(guān)系。其中，程表達了單元力與單元位移之間的關(guān)系。其中， fd 和和單元節(jié)點力單元節(jié)點力 f 具有相同的意義。具有相同的意義。 dfk(1-38）即得單元平衡方程即得單元平衡方程 1.6 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 平衡方程平衡方程(1-38）中的矩陣）中的矩陣k是單元力和單元是單元力和單元位移關(guān)系間的系數(shù)矩陣，代表了單元的剛度特性，位移關(guān)系間的系數(shù)矩陣，代表了單元的剛度特性，稱為單元剛度矩陣。單元剛度矩陣的體積為稱為單元剛度矩陣。單元剛度矩陣的體積為nj nj， nj 是單元位移總數(shù)。其一般計算公式為：是單元位移總數(shù)。其一般計算公式為： 1、一般計算公式、一般計算公式它與單元應(yīng)變矩陣它與單元

37、應(yīng)變矩陣b和彈性矩陣和彈性矩陣d有關(guān)。有關(guān)。 dvbdbkvt(1-33） 對于平面應(yīng)力三角形單元，應(yīng)變矩陣對于平面應(yīng)力三角形單元，應(yīng)變矩陣b是常數(shù)是常數(shù)矩陣，同時彈性矩陣矩陣，同時彈性矩陣d也是常數(shù)矩陣，于是式也是常數(shù)矩陣，于是式(1-33）可以化簡為可以化簡為 式中式中a表示三角形單元的面積。表示三角形單元的面積。h是單元厚度。是單元厚度。 2、平面問題三角形單元剛度矩陣、平面問題三角形單元剛度矩陣（1）平面應(yīng)力三角形單元）平面應(yīng)力三角形單元 hasbhabdbktt(1-39） 將式將式(1-9）和）和(1-26）代入上式，）代入上式，即得平面應(yīng)力三角形單元剛度矩陣。寫成分塊形即得平面應(yīng)

38、力三角形單元剛度矩陣。寫成分塊形式，有式，有mmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkkk(1-40）21001112稱對ed(1-9）),(0021mjibccbabiiiii(1-26）式式(1-40)中子矩陣中子矩陣krs為為22矩陣，有矩陣，有 (1-41）（2）平面應(yīng)變?nèi)切螁卧┢矫鎽?yīng)變?nèi)切螁卧獙τ谄矫鎽?yīng)變問題，須將上式中的對于平面應(yīng)變問題，須將上式中的e換為換為 ， 換為換為 ，于是有，于是有21e1srsrsrsrsrsrsrsrstrrsbbcccbbcbccbccbbaehhabdbk21212121)1 ( 42),(mjisr，組合見式，組合見式(1-40）

39、bi(j,m)、ci(j,m)是形函數(shù)式是形函數(shù)式(1-16）中的系數(shù)）中的系數(shù)(式式2-17)。(1-42） 平面問題的單元剛度矩陣平面問題的單元剛度矩陣k不隨單元（或坐標(biāo)軸）不隨單元（或坐標(biāo)軸）的平行移動或作的平行移動或作n 角度角度（n為整數(shù)）的轉(zhuǎn)動而改變。為整數(shù)）的轉(zhuǎn)動而改變。 由公式由公式(1-41）、）、(1-42）知，）知，krs矩陣和其中的矩陣和其中的br、cr 、 bs、cs （r、s=i、j、m）有關(guān)。）有關(guān)。 單元平移時，單元平移時， bi、ci不變不變。srsrsrsrsrsrsrsrrsbbcccbbcbccbccbbahek)1 ( 221)1 ( 2211)1 (

40、 2211)1 ( 221)21)(1 ( 4)1 (),(mjisr，組合見式，組合見式(1-40）(3) 三角形單元剛度矩陣與坐標(biāo)系無關(guān)三角形單元剛度矩陣與坐標(biāo)系無關(guān)ijmxyo 單元轉(zhuǎn)動時，單元轉(zhuǎn)動時， bi、ci不變。不變。 當(dāng)單元旋轉(zhuǎn)時，各節(jié)點的編號保持不變。如圖當(dāng)單元旋轉(zhuǎn)時，各節(jié)點的編號保持不變。如圖1-7所示，圖所示，圖a所示的單元旋轉(zhuǎn)所示的單元旋轉(zhuǎn) 時，到達圖時，到達圖b所示位置。所示位置。mjiyybmjixxc(1-17） ijmyjymijm圖圖1-7xyo(b)xyo(a)jim可以證明，這兩種情形的可以證明，這兩種情形的k是相同的。是相同的。 其實，推演公式其實，推演

41、公式(1-40）、）、(1-41）、）、(1-42）時并）時并沒有規(guī)定坐標(biāo)系的方位，當(dāng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)任意角度時，沒有規(guī)定坐標(biāo)系的方位，當(dāng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)任意角度時，也不影響剛度矩陣的結(jié)果。因此，也不影響剛度矩陣的結(jié)果。因此，平面問題的單元剛平面問題的單元剛度矩陣可以認(rèn)為是結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣，沒度矩陣可以認(rèn)為是結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣，沒有坐標(biāo)變換問題。有坐標(biāo)變換問題。jjjjjjjjjjjjnjinjinnjninnnjnjjjijjinijiiiinjinjifffffkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk212121212122222211111211(1-38） （1）單元剛

42、度矩陣中每個元素有明確的物理意義）單元剛度矩陣中每個元素有明確的物理意義例如，例如，kij表示單元第表示單元第j個自由度產(chǎn)生單位位移個自由度產(chǎn)生單位位移( j=1)，其他自由度固定（其他自由度固定（=0）時，在第）時，在第i個自由度產(chǎn)生的節(jié)個自由度產(chǎn)生的節(jié)點力點力fi。主對角線上元素主對角線上元素kii(i=1,nj)恒為正值。恒為正值。3、單元剛度矩陣性質(zhì)、單元剛度矩陣性質(zhì)（2）k的每一行或每一列元素之和為零的每一行或每一列元素之和為零f1 =0f2 =0f3=0fi=0fj =0fnj =0rst11injinjjijiiiiifkkkkk2211以上以上式中第式中第i行為例，行為例，當(dāng)所

43、有節(jié)點沿當(dāng)所有節(jié)點沿x向或向或y向向都產(chǎn)生單位位移時，都產(chǎn)生單位位移時，單元作平動運動，無應(yīng)變，單元作平動運動，無應(yīng)變，也無應(yīng)力。也無應(yīng)力。則有：則有：121nj021injijiiiikkkkk即：即：k的每一行元素之和為零。根據(jù)對稱性，每一列元的每一行元素之和為零。根據(jù)對稱性，每一列元素之和也為零。素之和也為零。rstxy圖圖1-6iinjijiifkkkk21（3）k是對稱矩陣是對稱矩陣 由由k各元素各元素的表達式，可知的表達式，可知k具有對稱性。具有對稱性。 jjjjjjjjjjnnjninnnjnjjjijjinijiiiinjinjikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

44、kk21212122222211111211njnj對于主對角線元素對稱。對稱表達式：對于主對角線元素對稱。對稱表達式：kij = kji證明證明 kij表示當(dāng)單元位移中第表示當(dāng)單元位移中第j個元素為個元素為1( j=1)其余元其余元素為零時，引起的單元力中的第素為零時，引起的單元力中的第i個節(jié)點力個節(jié)點力fi kji表示當(dāng)單元位移中第表示當(dāng)單元位移中第i個元素為個元素為1( i=1)其余元其余元素為零時，引起的單元力中的第素為零時，引起的單元力中的第j個節(jié)點力個節(jié)點力fj第第 i自由度自由度 第第 j自由度自由度位移位移 i=1 j=1力力fi = kijfj = kji虛功虛功fi i =

45、 kijfj j = kji由虛功原理，得由虛功原理，得 kij = kji（4）單元剛度矩陣是奇異矩陣）單元剛度矩陣是奇異矩陣 即即k的行列式為零（由行列式性質(zhì)）的行列式為零（由行列式性質(zhì)） 。 單元剛度矩陣是在單元處于平衡狀態(tài)的前提下得單元剛度矩陣是在單元處于平衡狀態(tài)的前提下得出的。單元作為分離體看待，作用在它上面的外力出的。單元作為分離體看待，作用在它上面的外力（單元力）必定是平衡力系。然而，研究單元平衡時（單元力）必定是平衡力系。然而，研究單元平衡時沒有引入約束。沒有引入約束。承受平衡力系作用的無約束單元，其承受平衡力系作用的無約束單元，其變形是確定的，但位移不是確定的。變形是確定的，

46、但位移不是確定的。所以出現(xiàn)性質(zhì)所以出現(xiàn)性質(zhì)（3）中的）中的“平動問題平動問題”，即單元可以發(fā)生任意的剛，即單元可以發(fā)生任意的剛體運動。從數(shù)學(xué)上講，方程體運動。從數(shù)學(xué)上講，方程(1-28）的解不是唯一的或）的解不是唯一的或不能確定的。由此，單元剛度矩陣一定是奇異的。不能確定的。由此，單元剛度矩陣一定是奇異的。（5）單元剛度矩陣是常量矩陣）單元剛度矩陣是常量矩陣單元力和單元位移成線性關(guān)系是基于彈性理論的結(jié)果。單元力和單元位移成線性關(guān)系是基于彈性理論的結(jié)果。4、例：平面應(yīng)力直角三角形單元剛度矩陣、例：平面應(yīng)力直角三角形單元剛度矩陣 圖圖1-8示出一平面應(yīng)力直角三角形單元，直角邊示出一平面應(yīng)力直角三角

47、形單元，直角邊長分別為長分別為a、b，厚度為，厚度為h，彈性模量為，彈性模量為e，泊松比為，泊松比為 ，計算單元剛度矩陣。計算單元剛度矩陣。圖圖1-8ijmabxy 第一步：計算第一步：計算bi、ci和單元和單元 面積面積a。 圖圖1-8mjiyybmjixxc（1-17） ijmabxyxi(j,m)yi(j,m)bi(j,m)ci(j,m)ia0b0j0b0am00-b-a表表2-1 單元節(jié)點坐標(biāo)和單元節(jié)點坐標(biāo)和bi、ci值（值（i、j、m）參數(shù)參數(shù)節(jié)點節(jié)點單元面積單元面積: a=ab/2 計算步驟計算步驟 第二步：求子矩陣第二步：求子矩陣 由式由式(1-41），算得），算得 222210

48、0)1 (2bbabehkii0210)1 (22abababehkij其他從略。其他從略。 第三步：形成第三步：形成k將將kii等按式等按式(1-40）組集成）組集成k 。(1-43a） 222222222222222222121212121212121002121021210212102121000)1 ( 2baababaabbabababababaabbaabaababaaabbababbabbabbabehk 2i-1 2i 2j-1 2j 2m-1 2m2i-12i2j-12j2m-12m紅色號碼紅色號碼是單元位移（是單元位移（ 1、 2、）在結(jié)構(gòu)中對應(yīng)的）在結(jié)構(gòu)中對應(yīng)的節(jié)點位移的

49、序號。節(jié)點位移的序號。ijmijmi、j、m表示單元中表示單元中3個節(jié)點在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的編號。個節(jié)點在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的編號。 當(dāng)當(dāng)a=b時，即等腰直角三角形單元，有時，即等腰直角三角形單元，有 (1-43b）2321121212123212111100212102121021210212101001)1 (22ehk i j mijm1.7 等價節(jié)點力等價節(jié)點力 從前面單元分析可以看出：單元平衡所用到的從前面單元分析可以看出：單元平衡所用到的的量均要屬于節(jié)點的量，如單元位移、單元力。載的量均要屬于節(jié)點的量，如單元位移、單元力。載荷亦應(yīng)如此，必須將體積力、表面力轉(zhuǎn)化到節(jié)點上荷亦應(yīng)如此，必須將體積力、表

50、面力轉(zhuǎn)化到節(jié)點上去，成為等價節(jié)點力（載荷）。在第去，成為等價節(jié)點力（載荷）。在第2.5節(jié)中已經(jīng)得節(jié)中已經(jīng)得到了公式到了公式(1-35）和）和(1-36） 。這里，這里， fd 就是體積力、表面力和集中力之和的總等就是體積力、表面力和集中力之和的總等價節(jié)點力。價節(jié)點力。csvvvvvlcstavttphdlqnhdxdyqn(1-35）dtfv(1-36）csvdpfff(1-44）把總等價節(jié)點力把總等價節(jié)點力 fd 分解成體積力、表面力和集中分解成體積力、表面力和集中力的等價節(jié)點力之和，有力的等價節(jié)點力之和，有 fv 單元上體積力的等價節(jié)點力單元上體積力的等價節(jié)點力 fs 單元上表面力的等價節(jié)

51、點力單元上表面力的等價節(jié)點力 pc 單元上節(jié)點上的集中力單元上節(jié)點上的集中力注意到式注意到式(1-35），得體積力等價節(jié)點力計算公式：），得體積力等價節(jié)點力計算公式：表面力的等價節(jié)點力計算公式：表面力的等價節(jié)點力計算公式：avtvhdxdyqnf(1-45）hdlqnfstls(1-46） 1、體積力的等價節(jié)點力、體積力的等價節(jié)點力 2、表面力的等價節(jié)點力、表面力的等價節(jié)點力 3、等價節(jié)點力計算舉例、等價節(jié)點力計算舉例（1）單元自重）單元自重 圖圖1-9所示平面應(yīng)力三角形單元，單元厚度為所示平面應(yīng)力三角形單元，單元厚度為h。單元單位體積自重為單元單位體積自重為 ，自重指向，自重指向y軸的負(fù)方向

52、。軸的負(fù)方向。 pvixpviypvjxpvjypvmxpvmyavtvhdxdyqnf(1-45）0vq 計算式計算式mjinnnn (1-21）圖圖1-9xyijm-0000000dxdynnnnnnhfammjjiiv注意到形函數(shù)的性質(zhì)注意到形函數(shù)的性質(zhì)4：3adxdynai(1-23）得自重荷載的等價節(jié)點力得自重荷載的等價節(jié)點力 00innnniiii(1-22）（i,j,m）根據(jù)體積力和式根據(jù)體積力和式(1-45）、）、(1-21）、）、(1-22），得），得ttvhaaaaaaahf101010310300330033003(1-47）上式表明：自重載荷的等價節(jié)點力為單元重量的上式

53、表明：自重載荷的等價節(jié)點力為單元重量的1/3。 （2）均布面力）均布面力ijm圖圖1-10 xyqs單元邊界上作用了均勻的分布力，單元邊界上作用了均勻的分布力，如圖如圖1-10所示，其集度為所示，其集度為 qs 。 sysxsqqq hdlqnfstls(1-46）mjinnnn (1-21）根據(jù)式根據(jù)式(1-46）、）、(1-21）和）和(1-22） 計算式計算式sysxltmmjjiisqqdlnnnnnnhf000000注意到形函數(shù)性質(zhì)注意到形函數(shù)性質(zhì)4 ：(1-23）ijij idln21得得tsysxsysxsqqqqhlf002(1-48）00innnniiii(1-22）均勻分布

54、力的等價節(jié)點力為均勻分布力的等價節(jié)點力為 式式(1-48）表明：在）表明：在ij邊上受均布面力的平面問題邊上受均布面力的平面問題三角形單元，其等價節(jié)點力等于將均布面力合力之半三角形單元，其等價節(jié)點力等于將均布面力合力之半簡單地簡化到簡單地簡化到i、j節(jié)點上，方向與分布力方向相同。節(jié)點上，方向與分布力方向相同。m節(jié)點上為零。節(jié)點上為零。tsysxsysxsqqqqhlf002(1-48）ijmxyqsxfs1fs3ijmxyqsyfs2fs4（3）線性分布面力）線性分布面力ijm圖圖1-11xys 表面力集度在表面力集度在i點為點為qsx qsyt，而在而在j點為點為0。設(shè)坐標(biāo)軸。設(shè)坐標(biāo)軸s的原

55、點取在的原點取在j點，沿點，沿ji為正向，為正向， 。 lssij , 0ij邊上任一點的面力集度邊上任一點的面力集度 qs lsqlsqqsysxssqsiqsijm圖圖1-12xysl在在ij邊上有：邊上有：lsnilsnj10mn將將 qs 和上式代入式和上式代入式(1-46），有），有由形函數(shù)的性質(zhì)由形函數(shù)的性質(zhì)3：0),(),(1),(yxnxxxxyxnxxxxyxnmijijijiisysxtqqllllh000060063003tsysxsysxqqqqhl00313132322(1-49） dsqlsqlslslslslshfsysxtls0000100100式式(1-49）

56、表明：）表明：ij邊受線性分布面力：邊受線性分布面力： i點為點為qsx, qsyt，j點為點為0時，其等價節(jié)點力可將總載荷的時，其等價節(jié)點力可將總載荷的2/3分配給分配給i點，點，1/3分分配給配給j點，點，m點為零得出。點為零得出。 xyijmqsiqs體積力和表面力向節(jié)點的移置體積力和表面力向節(jié)點的移置符合靜力等效原理的前提條件符合靜力等效原理的前提條件是：線性位移模式。是：線性位移模式。1.7 1.7 系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析1.7.1 坐標(biāo)系坐標(biāo)系研究各離散單元集合成整體結(jié)構(gòu)，集合整體結(jié)構(gòu)的研究各離散單元集合成整體結(jié)構(gòu)，集合整體結(jié)構(gòu)的平衡和變形協(xié)調(diào)，建立整體結(jié)構(gòu)平衡方程。平衡和變形協(xié)調(diào)，建立

57、整體結(jié)構(gòu)平衡方程。 單元分析時采用的坐標(biāo)系成為局部坐標(biāo)或單元坐單元分析時采用的坐標(biāo)系成為局部坐標(biāo)或單元坐標(biāo)（單元剛度矩陣的通用性）。而結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析時，標(biāo)（單元剛度矩陣的通用性）。而結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析時，必須在統(tǒng)一的坐標(biāo)系內(nèi)進行（各力學(xué)量才能疊加），必須在統(tǒng)一的坐標(biāo)系內(nèi)進行（各力學(xué)量才能疊加），稱為稱為“結(jié)構(gòu)坐標(biāo)結(jié)構(gòu)坐標(biāo)”或或“整體坐標(biāo)整體坐標(biāo)”，如圖，如圖1-13所示。所示。單元坐標(biāo)系下，單元位移、單元力、單元剛度矩陣單元坐標(biāo)系下，單元位移、單元力、單元剛度矩陣表示為：表示為： eeekf 、整體坐標(biāo)系下，單元位移、單元力、單元剛度矩陣整體坐標(biāo)系下，單元位移、單元力、單元剛度矩陣表示為：表示為： k

58、f 、xyxypp圖（圖（1-13）(a) 平面桁架平面桁架(桿件單元桿件單元)(b) 懸臂深梁懸臂深梁 (平面三角形單元平面三角形單元) xyxyxyxy如何從單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)將在第如何從單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)將在第4章中討論。章中討論。1.7.2 整體剛度矩陣 假設(shè)整體結(jié)構(gòu)被劃分為假設(shè)整體結(jié)構(gòu)被劃分為ne個單元和個單元和n個節(jié)點，在個節(jié)點，在整體坐標(biāo)系下，對于每個單元均有：整體坐標(biāo)系下，對于每個單元均有：eenexnnennnfk11111111:對于整體結(jié)構(gòu)，有fk 將上述這些方程集合起來（整體坐標(biāo)下疊加），將上述這些方程集合起來（整體坐標(biāo)下疊加），便可得到整個結(jié)構(gòu)的平衡方程。為此

59、，需要將便可得到整個結(jié)構(gòu)的平衡方程。為此，需要將k、f體積膨脹，分別擴大為體積膨脹，分別擴大為n1n1、n11和和n11的矩陣才能相加。膨脹后，原有節(jié)點號對應(yīng)位的矩陣才能相加。膨脹后，原有節(jié)點號對應(yīng)位置的元素不變，而其它元素均為零。置的元素不變，而其它元素均為零。pk 組裝方法：組裝方法：建立一個體積為建立一個體積為n1n1的方陣，按的方陣，按單元序號依次把結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元剛度矩陣的元素放入單元序號依次把結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元剛度矩陣的元素放入該方陣中。該方陣中。 放入方法：放入方法：（1）按單元節(jié)點編碼）按單元節(jié)點編碼對號入座對號入座； （2）同位置元素累加同位置元素累加。eenennnennfpkk11

60、111111, , 式中：式中：k為整體剛度矩陣，為整體剛度矩陣，為整體節(jié)點位移為整體節(jié)點位移列陣；列陣；p為整體等價節(jié)點荷載列陣。如下：為整體等價節(jié)點荷載列陣。如下：（1-50）000000000000000022mmmjmijmjjjiimijiinnkkkkkkkkkkijmijm例：平面三角單元例：平面三角單元雙行雙列雙行雙列1.7.3 結(jié)構(gòu)剛度矩陣特性結(jié)構(gòu)剛度矩陣特性1、結(jié)構(gòu)剛度矩陣元素的力學(xué)意義、結(jié)構(gòu)剛度矩陣元素的力學(xué)意義 把方程把方程(1-50）寫開，）寫開，=1=0=0=0=0=01111111111111321132132132132133333323122223222111