拉格朗日動力學

1、第八章拉格朗日動力學L=T-V.1基本方程及其簡單應用基本方程d ? L dt ?q=1, Z,sd ? L dt ?q=Q2? ,s=1,理想約束的完整有勢系統(tǒng)? L?- =0 ,q存在非有勢力的理想約束的完整系統(tǒng)注：通常約束力不出現(xiàn)在動力學方程中；方程組的數(shù)目等于自由度數(shù) ; 每一個方程都是二階常微分方程簡單應用處理問題的基本步驟(套路固定)：(1) 判斷是否為理想約束的完整有勢系統(tǒng)(2) 判斷系統(tǒng)自由度并選擇合適的廣義坐標(3) 將L=T-表示成只含廣義坐標、廣義速度和時間的函數(shù) *(4) 對于有勢系統(tǒng)，將L代入拉格朗日方程得到系統(tǒng)的運動微分方程(5) 對于非有勢系統(tǒng)，還通過定義要求出非

2、有勢力對應的廣義力，連同L一起代入拉格朗日方程得到系統(tǒng)的運動微分方程注：從處理問題角度來看，拉格朗日方法比較規(guī)范，不需要太多的技巧。不像牛頓方法對同一個問題的處理可以采用多種方案例題1質量為m的質點，被約束在半頂角為 a 的光滑固定圓錐面上運動，試通過拉格朗日 方程,寫出質點的運動微分方程.解：此為理想約束完整有勢系.建立圖示本征系Oxy以及取柱坐標p , 0 ,z面內運動自由度為v= ez ez2，可選p , 0e?T= m為廣義坐標.22CSC2=zta nV=mgzmgL=T- V=cotm2csC92xp222 gcot=0代入拉格朗日方程得到CSC2=con st.2=con st.

3、dt7mgV二 mg cos例題2求彈簧擺的振動方程.已知質量為 m的擺錘掛在輕彈簧上，彈簧一端固定于 點O并能在xy面內自由旋轉.彈簧的自然 長度為I，勁度系數(shù)為k.解：理想約束完整有勢系.自由度為2，選極坐標p , 9為廣義坐標.T=Ynq ，tQ=con st.? q? fq ,t =l X=l Xl=l?n q ,t =const? LQ=con st.=con st.=con st.n廣義能量和廣義能量積分【定義】廣義能量 H= 尹q - Lq=t【定義】時間平移變換：t【推論】若力學系統(tǒng)具有時間平移不變性，則系統(tǒng)廣義能量守恒.證明：在時間平移變換下-=limo=1諾特定理? LL-

4、q=con st.? |? H=Xc e - L=const.（證畢）? q -廣義能量積分注：也可直接用拉格朗日方程證明dH/dt字4?仁然后得到結論冋：廣義能量是否就是牛頓力學中質點系的機械能呢?drnT=n q ,t? Vn=dttn qE ?qnV? Vn=2 EnmEq2 EEnmn? r ? rnE E?qn nnm?q? t21? rn? t2 Ennmnn【引理】齊次函數(shù)歐拉定理：若f（入x,入y,入z）=X f（x,y，Z則亦X 不 y Vz z=n f證明：令x =入x, n =入y, Z =入乙把定義式兩邊同時對 入求偏導可得然后令入=1即可得證.【定理】系統(tǒng)廣義能量滿足

5、:H=T -T +V2 0證明：L=T-V=T +T +T -V廠 210廠?TX 2q5 討=2T 2上一引理= X? TTq?q二Ti ? H=X? L q - l=T2- To v? q（證畢）E ?Toq =0 ?q也就是說，寫出T后，要看T是不是廣義速度的二次齊次式。如果T=T，（即T =,T =），此時H=T +V=T即廣義能量等于系統(tǒng)2 10 2的機械能一般情況下，廣義能量不是系統(tǒng)的機械能 例題4長2a質量為m的勻質直桿AB, A端與光滑水平面接觸，在重力作用下從豎直位置被自由釋放倒下.求桿落地瞬間的角速度A解：由于重力和水平面支持力在豎直面內, 由對稱性可知桿一直在豎直面內運動

6、自由度為2受理想約束的完整系建立圖示本征系Oxy選 A端在x軸上的坐標x 以及桿與x軸夾角6為廣義坐標.下面關鍵計算桿的拉格朗日函數(shù)，主動力是有勢的，以O為勢能零點，勢能可寫為V=mg 8in根據(jù)柯尼希定理，桿的動能可以寫為CBIOxxm T= vC2 2而質心速度可以用剛體速度公式求得Vc=VaAC)Va=X* x= zAC=a cos xsin y-a2=x 2- 2a x sina2 22 =x* 2- 2a x a22Vc=xsinsinx a cosm2- 2a x sina22max 2- 2a x2=m xsin2maT=2- 2a x2m622sin2ma32- 2a x2 -

7、 -mg ainsin2ma2- mg ainL=T-V=x23先看看有沒有守恒量.L不含x,故有守恒量p）= ? L =m x - a sin=ci（水平方向動量守?x恒）利用初始條件 t=0時：x =0, =0? Ci=0 ? x =a sinL不顯含t，且T=T,故機械能守恒26g 1- sin2A2二（想想為什么不取+號？）a 牛 3 sinx桿落地瞬間，=0?3g/2a.注：利用分析力學解題也會優(yōu)先考慮守恒定律 .另外，本題用分析 力學并不比牛頓力學有優(yōu)勢，實際上牛頓力學可直接寫出守恒定律例題5質量為m的小環(huán)P被限制在一半徑為R的光滑大圓環(huán)上，大圓環(huán)繞過環(huán)心的鉛垂軸以角速度3勻速轉動

8、.初始時小環(huán)在大環(huán)的最高點，且相對大環(huán)靜止，然后無初速地滑下.試通過存在的第一 積分建立小環(huán)相對大環(huán)的運動微分方程解：以小環(huán)為研究對象，它是受理想約束的 完整系統(tǒng).取球坐標，有2個約束方程r=R, = t0因此自由度為1可以取圖示角度9T= m 廣 2 r2-2 2 術 2=m 2 r2 * 2r2sii2=2 - 2R 2 * 2 R22sii?=T2 * 2 RL-2sii2=T以O為勢能零點，勢能可表示為 V=mg Ros由于L=T-不顯含時間，所以廣義能量守恒：H=T / To V= mR R2 2sii2mgICOs =const.2 2-2 m 2 2sh2mgRos =const

9、.2- m2利用初始條件t=0時:=0,=0? H=mgR? H=T2-to v= m r 廠 22.mR22 22朋2sirrmg Ros =mgR mgCOs =mgR?2-2sin2g/Rcos -1 =0此即小環(huán)的運動微分方程.注: (1)本題中小環(huán)受到的約束=t是非定常約束0(2本題中廣義能量不是相對地面慣性系的機械能(T工T),2H=T 2- To2mR2而是相對于固連于大環(huán)的耳非慣性系中小環(huán)的總能量2sir2 mgCOs2壽mg Ros相對動能2.慣性離心能 （想想為什么重力勢能思考題質量為m三角形楔置于光滑水平面上，質量為 m半徑1 2為r勻質圓柱可沿斜面無滑滾動。(1試用牛頓

10、力學的質點系動力學方法尋找系統(tǒng)的守恒量(2試用分析力學的拉格朗日方法尋找系統(tǒng)的守恒量特別注意：柱體質心相對于楔的速度沿斜面方向! 無滑條件(接觸點相對速度為零)8.3多自由度系統(tǒng)的微振動問題的背景世界是由原子：:一和分子組成的V在真實世界中原子總是在微振動H H彈簧質點系統(tǒng)（多自由度）簡化模型（透視多自由度振動特征）考慮兩質量為m的質點，被限制在光滑水平線連接兩質點個輕彈簧沿的宀+勁度系數(shù)為k，兩側彈簧的勁度系數(shù)為ik ,它的外端被固定，兩質點2靜止時各彈簧無伸長運動微分方程有頻率方程mTX k x=02- m1 k=0固自然的問題：在多自由度振動中，上述方程是否有對應的形式?簡正頻率（固有頻

11、率）和簡正模式如圖所示，選取x和x作為廣義坐標，分別表示兩質點相對自身1 2平衡位置的位移.（推導運動微分方程)引入記號M=m 00 m K=ki,=系統(tǒng)質量矩陣系統(tǒng)剛度矩陣（對稱正定）（對稱正定）【定理】系統(tǒng)的運動微分方程為MK =0m *x k x=0與單自由度比較:兀2證明思路:m k m k A- H.O系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)為L=T-ixk2X2 2k2X2222X2- Xi特點：這里動能是廣義速度的二次型，勢能是廣義坐標的二次型代入拉格朗日方程可得mXf ki k2 Xi- ki X2=0 mx2- kixi ki k2 X2=0寫成矩陣形式即可（證畢）（推導頻率滿足的方程 ）【推論】系統(tǒng)的運動微分方程有書=AC0St+a ）形式的解，其中3滿足特征方程2M=0det（單自由度對應）證明思路：MK=0?M-1K =0這個方程類似于諧振子方程，故可猜測有2 =AC0S3 t+a ）形式的解.將2 =AC0S3 t+a ）代入可得M-1K=0M-1 KA= 2