1-5全概率公式貝葉斯公式1-6伯努利概型

1、一、全概率公式一、全概率公式二、貝葉斯公式二、貝葉斯公式三、伯努利概型三、伯努利概型1.5 1.5 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式.,2;, 2 , 1,1,21210021的一個劃分的一個劃分為樣本空間為樣本空間則稱則稱若若的一組事件的一組事件為為的樣本空間的樣本空間為試驗為試驗設設定義定義nnjinaaaaaanjiaaeaaae 1. 樣本空間的劃分樣本空間的劃分一、全概率公式一、全概率公式1a2a3ana1na2. 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式)|()()()|()()|()()|()(), 2 , 1(0)(,1221121iniinninabpapapab

2、papabpapabpbpniapaaaebe 則則且且的的一一個個劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為試試驗驗設設定定義義 jiaa由由 )(jibaba)()()()(21nbapbapbapbp 圖示圖示b1a2a3a1nana證明證明.21nbababa 化整為零化整為零各個擊破各個擊破)(21naaabbb )|()()|()()|()()(2211nnabpapabpapabpapbp 說明說明 全概率公式的主要用途在于它可以將一個全概率公式的主要用途在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題復雜事件的概率計算問題, 分解為若干個簡單事分解為若干個簡單事件的概率計算問題

3、件的概率計算問題, 最后應用概率的可加性求出最后應用概率的可加性求出最終結(jié)果最終結(jié)果.b1a2a3a1nana例例1 1 有一批同一型號的產(chǎn)品有一批同一型號的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)已知其中由一廠生產(chǎn)的占的占 30% , 二廠生產(chǎn)的占二廠生產(chǎn)的占 50% , 三廠生產(chǎn)的占三廠生產(chǎn)的占 20%, 又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2% , 1%, 1%,問問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設事件設事件 a 為為“任取一件為次品任取一件為次品”,. 3 , 2 , 1, iibi廠廠的的產(chǎn)產(chǎn)品品任任取取一一件件為為為為事事件件

4、123,bbb 解解. 3 , 2 , 1, jibbji由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 bpbpbp30%20%50%123( )()()()p ap abp abp ab.013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 bapbapbap112233( )() ()() ()() ()p ap b p abp b p abp b p ab故故112233() ()() ()() ().p b p abp b p abp b p ab稱此為稱此為貝葉斯公

5、式貝葉斯公式. 二、貝葉斯公式二、貝葉斯公式., 2 , 1,)()|()()|()|(), 2 , 1(0)(, 0)(,121niapabpapabpbapniapbpaaaebenjjjiiiin則則且且的的一一個個劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為試試驗驗設設定定義義證明證明()()( )iip bap a bp b., 2 , 1ni n1jjjii)a|b(p)a(p)a|b(p)a(p(|) ()( )iip b a p ap b1(|) ()()iinjjp b a p ap ba例例2 商店論箱出售玻璃杯商店論箱出售玻璃杯(每箱每箱20只只)，其中每箱含，其

6、中每箱含0、1、2只次品的概率分別為只次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，某顧，某顧客選中一箱，從中任選客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱便買下了這一箱. 問這一箱含有一個次品的概率問這一箱含有一個次品的概率是多少？是多少？解解,a設表示 從一箱中任取4只檢查，都是好的012,bb b,分別表示每箱含有0只，1只，2只次品012()0.8,()0.1,()0.1p bp bp b則0()1,p a b顯然1()p a b4194204,5cc2()p a b4184201219cc001122() ()() ()() ()p a b p bp

7、a b p bp a b p b0.94012( )()()()p ap abp abp ab1()p b a0.084811() ()( )p a b p bp a1()( )p abp a).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,acpcpcapcapca試求試求即即的概率為的概率為設被試驗的人患有癌癥設被試驗的人患有癌癥進行普查進行普查現(xiàn)在對自然人群現(xiàn)在對自然人群有有則則被診斷者患有癌癥被診斷者患有癌癥表示事件表示事件以以為陽性為陽性試驗反應試驗反應表示事件表示事件若以若以驗具有如下的效果驗具有如下的效果某種診斷癌癥的試某種診斷癌癥的試根據(jù)以往的臨床記

8、錄根據(jù)以往的臨床記錄 解解()0.95,()1()0.05,p acp a cp ac 因為,995. 0)(,005. 0)( cpcp例例3 3由由貝葉斯公式得所求概率為貝葉斯公式得所求概率為( ) ()()( ) ()( ) ()p c p a cp c ap c p a cp c p a c.087. 0 即平均即平均1000個具有陽性反應的人中大約只有個具有陽性反應的人中大約只有87人人患有癌癥患有癌癥.;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在倉庫中隨機地取一只在倉庫中隨機地取一只無區(qū)別的標志無區(qū)別

9、的標志且且倉庫中是均勻混合的倉庫中是均勻混合的設這三家工廠的產(chǎn)品在設這三家工廠的產(chǎn)品在提供元件的份額提供元件的份額次品率次品率元件制造廠元件制造廠的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)根據(jù)以往的記錄有以下根據(jù)以往的記錄有以下件制造廠提供的件制造廠提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某電子設備制造廠所用某電子設備制造廠所用例例4 4.,)2(別是多少別是多少三家工廠生產(chǎn)的概率分三家工廠生產(chǎn)的概率分求此次品出由求此次品出由為分析此次品出自何廠為分析此次品出自何廠次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在倉庫中隨機地取一只在倉庫中隨機地取一只解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示設設 a.家工廠提供的家工廠提供

10、的所取到的產(chǎn)品是由第所取到的產(chǎn)品是由第表示表示i)3 , 2 , 1( ibi,321的的一一個個劃劃分分是是樣樣本本空空間間則則 bbb,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 bpbpbp且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 bapbapbap(1) 由由全概率公式得全概率公式得112233() ()() ()() ()p a b p bp a b p bp a b p b.0125. 0 (2) 由由貝葉斯公式得貝葉斯公式得)()()()(111apbpbapabp 0125. 015. 002. 0 .24. 0 123( )()()()p ap a

11、bp abp ab,64. 0)()()()(222 apbpbapabp.12. 0)()()()(333 apbpbapabp.2 家家工工廠廠的的可可能能性性最最大大故故這這只只次次品品來來自自第第1.條件概率條件概率)()()(apabpabp 全概率公式全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式小結(jié)小結(jié)1122( )() ()() ()() ()nnp ap b p abp b p abp b p ab1() ()(),1,2, .() ()iiinjjjp b p a bp b ainp bp a b()( ) ()p abp a p b a乘法公式乘法公式三、伯努利概型三、伯努利概型定義定義

12、 若大量重復試驗滿足以下兩個特點若大量重復試驗滿足以下兩個特點: 可能的結(jié)果為有限個，且在相同的條件下重復可能的結(jié)果為有限個，且在相同的條件下重復 進行；進行； 各次試驗的結(jié)果相互獨立各次試驗的結(jié)果相互獨立則稱這一系列試驗為獨立試驗序列或則稱這一系列試驗為獨立試驗序列或獨立試驗概型獨立試驗概型.( ), ( )1(01),eaap ap p appennn 如果試驗 只有兩個基本事件 及 ，且將 獨立地進行 次，則這一系列試驗稱為 重伯努利試驗或 重伯努利概型伯努定簡稱義，利概型.(01),( ),0,1,1kkn knnnappnakp kc p qkn qp 在 重伯努利試驗中，設每次試驗

13、中事件 發(fā)生的概率為則在 次重復試驗中，事件 恰好發(fā)生 次的概率為定理,1, .iaiain設為 第 次試驗中 發(fā)生解121121()() ()() ()()kknkknp a aa aap a p ap a p ap akn kp q則則a僅在前僅在前k次發(fā)生的概率為次發(fā)生的概率為knc由于由于n次試驗中次試驗中a發(fā)生發(fā)生k k次的方式共有次的方式共有 種，種，( ),0,1,kkn knnp kc p qkn故故例例5 ( (人壽保險問題人壽保險問題) )在保險公司里有在保險公司里有2500個同年個同年齡同社會階層的人參加了人壽保險齡同社會階層的人參加了人壽保險, 在一年里每在一年里每個人

14、死亡的概率為個人死亡的概率為0.002, 每個參加保險的人每個參加保險的人1年年付付120元保險費元保險費, 而在死亡時而在死亡時, 家屬可在公司里領(lǐng)家屬可在公司里領(lǐng)取取20000元元. 問問(不計利息不計利息) (1)保險公司虧本的概率是多少保險公司虧本的概率是多少? (2) 保險公司獲利不少于保險公司獲利不少于100000的概率是多少的概率是多少? 保險公司在保險公司在1年的收入是年的收入是2500 120=300000元元解解 設設x表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù)表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù), 則則保險公司這一年里付出保險公司這一年里付出20000x元元于是于是, p公司虧本公司虧本 =p x 15

15、=1-px 15p公司虧本公司虧本152500250001(0.002) (0.998)0.000067kkkkc (2) 獲利不少于獲利不少于100000元元, 即即 300000 -20000x 100000即即x 10p獲利不少于一萬元獲利不少于一萬元=px 10當當20000x 300000, 即即x 15人時公司虧本人時公司虧本10250025000(0.002) (0.998)0.9864kkkkc例例6 對某廠的產(chǎn)品進行質(zhì)量檢查，現(xiàn)從一批產(chǎn)對某廠的產(chǎn)品進行質(zhì)量檢查，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中重復抽樣，共取品中重復抽樣，共取200件樣品，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中件樣品，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有有4件廢品，問我們能否

16、相信此工廠出廢品的概件廢品，問我們能否相信此工廠出廢品的概率不超過率不超過0.005？解解 假設此工廠出廢品的概率為假設此工廠出廢品的概率為0.005，則，則200件件 產(chǎn)品中出現(xiàn)產(chǎn)品中出現(xiàn)4件廢品的概率為件廢品的概率為441962000.0050.9950.015pc小概率事件在實際中幾乎是不可能發(fā)生的小概率事件在實際中幾乎是不可能發(fā)生的 , 從從而可認為工廠的廢品率不超過而可認為工廠的廢品率不超過0.005的說法是不的說法是不可信的可信的.例例7 某接待站在某一周曾接待過某接待站在某一周曾接待過 12次來訪次來訪,已知已知所有這所有這 12 次接待都是在周二和周四進行的次接待都是在周二和周

17、四進行的,問是問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的否可以推斷接待時間是有規(guī)定的. 假設接待站的接待時間沒有假設接待站的接待時間沒有規(guī)定規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日.712種種12341277777 故一周內(nèi)接待故一周內(nèi)接待 12 次來訪共有次來訪共有.212種種121272 p0000003.0 小概率事件在實際中幾乎是不可能發(fā)生的小概率事件在實際中幾乎是不可能發(fā)生的 , 從從而可知接待時間是有規(guī)定的而可知接待時間是有規(guī)定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周

18、六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四進行的共有次接待都是在周二和周四進行的共有故故12 次接待都是在周二和周四進行的概率為次接待都是在周二和周四進行的概率為例例1 設一倉庫中有設一倉庫中有10 箱同種規(guī)格的產(chǎn)品箱同種規(guī)格的產(chǎn)品, 其中其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三廠產(chǎn)品的廢品率依次為三廠產(chǎn)品的廢品率依次為 0.1, 0.2, 0.3 從這從這 10箱產(chǎn)品中任取一箱箱產(chǎn)品中任取一箱 , 再從這箱中任取一件產(chǎn)品再從這箱中任取一件產(chǎn)品,求取得的正品概率求取得的正品概率. 設設 a 為事件為事件“

19、取得的產(chǎn)品為正品取得的產(chǎn)品為正品”, 分別表示分別表示“任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的”,321bbb由題設知由題設知.102)(,103)(,105)(321 bpbpbp解解備份題備份題, 7 . 0)(, 8 . 0)(, 9 . 0)(321 bapbapbap故故)()()(31iiibapbpap 107102108103109105 .82. 0 ?,.95,.55,98,概概率率是是多多少少機機器器調(diào)調(diào)整整得得良良好好的的時時早早上上第第一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品是是合合格格試試求求已已知知某某日日機機器器調(diào)調(diào)整整良良好好的的概概率率為為時時每每天天早早上上

20、機機器器開開動動其其合合格格率率為為種種故故障障時時而而當當機機器器發(fā)發(fā)生生某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的合合格格率率為為良良好好時時當當機機器器調(diào)調(diào)整整得得明明對對以以往往數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析結(jié)結(jié)果果表表%解解.產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格為事件為事件設設 a.機器調(diào)整良好機器調(diào)整良好為事件為事件b則有則有,55. 0)(,98. 0)( bapbap例例2,05. 0)(,95. 0)( bpbp 由由貝葉斯公式得所求概率為貝葉斯公式得所求概率為)()()()()()()(bpbapbpbapbpbapabp 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率為整良好

21、的概率為此時機器調(diào)此時機器調(diào)是合格品時是合格品時即當生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品即當生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊, 三人三人擊中的概率分別為擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機被一人擊中飛機被一人擊中而被擊落的概率為而被擊落的概率為0.2 ,被兩人擊中而被擊落的概被兩人擊中而被擊落的概率為率為 0.6 , 若三人都擊中飛機必定被擊落若三人都擊中飛機必定被擊落, 求飛機求飛機被擊落的概率被擊落的概率.解解 ,個個人人擊擊中中敵敵機機表表示示有有設設iaia, b, c 分別表示甲、乙、丙擊中敵機分別表示甲、乙、丙擊中敵機 , , 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( cpbpap則則例例30123(|)0,(|)0.2,(|)0.6, (|) 1p d ap d ap d ap d ad 表示敵機被擊落表示敵機被擊落, )()()()()()()()()()(1cpbpapcpbpapcpbpapap 故故得得7 . 05 . 06