導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義及在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義及在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用【摘要】導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用非常廣泛,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可以對經(jīng)濟(jì)活動中的實(shí)際問題進(jìn)行邊際分析、彈性分析和優(yōu)化分析,從而為企業(yè)經(jīng)營者進(jìn)行科學(xué)決策提供量化依據(jù)?！娟P(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)邊際分析彈性分析最優(yōu)化分析一個企業(yè)或者一個商店最關(guān)心的是如何以最小成本達(dá)到利潤最大。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用到邊際概念分析一個變量y關(guān)于另一個變量x的變化情況。邊際概念是當(dāng)x在某一給定值的附近發(fā)生微小變化時y的變化情況,它發(fā)映了y的瞬間的變化,而刻畫這種瞬間微小變化的數(shù)學(xué)工具便是導(dǎo)數(shù)。一、導(dǎo)數(shù)的概念 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處取得增量x(點(diǎn)x0+x仍在該鄰域內(nèi))時,相應(yīng)地

2、函數(shù)y取得增量y=f(x0+)-f(x0);如果y與x之比當(dāng)x0時的極限存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),記為f(x0),即f(x0)=。 若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),則稱y=f(x)在該區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),記f(x)為y=f(x)在該區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))。二、經(jīng)濟(jì)分析中常用的函數(shù)1、需求函數(shù)與供給函數(shù) (1)需求函數(shù)。設(shè)Q表示某種商品的需求量,P表示此種商品的價格,則用Q=f(P)表示對某種商品的需求函數(shù)。一般來說,對某種商品的需求量Q隨價格減少而增加,隨價格增加而減少,所以需求函數(shù)是單調(diào)減少的函數(shù)。 (2)供給函數(shù)。站在

3、賣方的立場上,設(shè)Q表示對某種商品的供給量,P表示此種商品的價格,則用Q=F(P)表示某種商品的供給函數(shù)。一般來說,作為賣方,對某種商品的供給量Q是隨價格P的增加而增加,隨價格P的減少而減少,所以供給函數(shù)是單調(diào)增加的函數(shù)。2、成本函數(shù)與平均成本函數(shù) (1)成本函數(shù)。產(chǎn)品的成本一般有兩類:一類隨產(chǎn)品的數(shù)量變化,如需要的勞動力,消耗的原料等;這種生產(chǎn)成本稱為可變成本。另一類成本無論生產(chǎn)水平如何都固定不變,如房屋、設(shè)備的折舊費(fèi)、保險費(fèi)等,稱為固定成本。設(shè)Q為某種產(chǎn)品的產(chǎn)量,C為生產(chǎn)此種產(chǎn)品的成本,生產(chǎn)每個單位產(chǎn)品的成本為a,固定成本為C0,則成本函數(shù)為C=C(Q)=aQ+C0。 (2)平均成本函數(shù)。用

4、C=C(Q)=表示每單位的平均成本函數(shù)。3、價格函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù) (1)價格函數(shù)。在廠商理論中,強(qiáng)調(diào)的是既定需求下的價格。在這種情況下,價格是需求量的函數(shù),表示為P=P(Q)。要注意的是需求函數(shù)Q=f(P)與價格函數(shù)P=P(Q)是互為反函數(shù)的關(guān)系。 (2)收入函數(shù)。在商業(yè)活動中,一定時期內(nèi)的收益,就是指商品售出后的收入,記為R。因此,收入函數(shù)為R=R(Q)=PQ。其中Q表示銷售量,P表示價格。 (3)利潤函數(shù)。利潤是指收入扣除成本后的剩余部分,記為L。則L=L(Q)=R(Q)-C(Q)。其中Q表示產(chǎn)品的的數(shù)量,R(Q)表示收入,C(Q)表示成本。 三、導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義及其在經(jīng)濟(jì)分析中的

5、應(yīng)用 1、邊際分析邊際概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個重要概念,通常指經(jīng)濟(jì)變量的變化率。利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際變化的方法,即邊際分析方法,是經(jīng)濟(jì)理論中的一個重要分析方法。一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)f(x)叫做邊際函數(shù)。成本函數(shù)C=C(Q)的導(dǎo)數(shù)C(Q)叫做邊際成本,其經(jīng)濟(jì)意義為當(dāng)產(chǎn)量為Q時再生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)品所增加的總成本;收入函數(shù)R=R(Q)的導(dǎo)數(shù)R(Q)叫做邊際收入,其經(jīng)濟(jì)意義為當(dāng)銷售量為Q時再多銷售一個單位產(chǎn)品所增加的銷售總收入;利潤函數(shù)L=L(Q)的導(dǎo)數(shù)L(Q)叫做邊際利潤,其經(jīng)濟(jì)意義近似等于產(chǎn)量(或銷售量)為Q時再多生產(chǎn)(或多銷售)一個單位產(chǎn)品所增加(或減少)的利潤。例如:某企業(yè)

6、每月生產(chǎn)的總成本C(千元)是產(chǎn)量Q(噸)的函數(shù)C(Q)=Q2-10Q+20。如果每噸產(chǎn)品銷售價格2萬元,求每月生產(chǎn)8噸、10噸、15噸、20噸時的邊際利潤。 解:因?yàn)槔麧櫤瘮?shù)為:L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-10Q+20)=-Q2+30Q-20。所以邊際利潤為L(Q)=(-Q2+30Q-20)=-2Q+30。于是L(8)=-28+30=14(千元/噸),L(10)=-210+30=10(千元/噸),L(15)=-215+30=0(千元/噸),L(20)=-220+30=-10(千元/噸)。以上結(jié)果表明:當(dāng)月產(chǎn)量為8噸時,再生產(chǎn)1噸,利潤將增加14000元;當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時,再

7、生產(chǎn)1噸,則利潤將增加1萬元;當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時,再生產(chǎn)1噸,利潤則不會增加;當(dāng)月產(chǎn)量為20噸時,再生產(chǎn)1噸,利潤反而減少1萬元。實(shí)際上,該題的邊際利潤函數(shù)L(Q)=-2Q+30在Q15時小于0,所以利潤函數(shù)是單調(diào)減少的,隨著產(chǎn)量的增加,利潤將減少。顯然,該企業(yè)不能完全依靠增加產(chǎn)量來提高利潤,搞得不好,還會造成生產(chǎn)越多,虧損越大的局面。那么保持怎樣的產(chǎn)量才能使該企業(yè)獲得最大利潤呢?由微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的知識可知:在該題中當(dāng)R(Q)=C(Q),即L(Q)=0,Q=15時,也就是該企業(yè)把月產(chǎn)量定在15噸,此時的總利潤最大為:L(15)=-152+3015-20=205(萬元)。 2、彈性分析彈性概念是經(jīng)濟(jì)

8、學(xué)中的另一個重要概念,用來定量地描述一個經(jīng)濟(jì)變量對另一個經(jīng)濟(jì)變量變化的反應(yīng)程度?；蛘哒f,一個經(jīng)濟(jì)變量變動百分之一會使另一個經(jīng)濟(jì)變量變動百分之幾。 (1)彈性的定義。設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量之比,當(dāng)?駐x0時的極限稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的相對變化率,或稱為彈性函數(shù)。記為Ex=f(x)。 (2)需求價格彈性的概念。經(jīng)濟(jì)學(xué)中,把需求量對價格的相對變化率稱為需求的價格彈性。記為E=Q(P)。由于需求函數(shù)是價格的遞減函數(shù),所以需求彈性E一般為負(fù)值。其經(jīng)濟(jì)意義為:當(dāng)某種商品的價格下降(或上升)1%時,其需求量將增加(或減少)|E|%。當(dāng)E=-1(即|E|=1

9、)時,稱為單位彈性。即商品需求量的相對變化與價格的相對變化基本相等,例如報紙。當(dāng)E1)時,稱為富有彈性。即商品需求量的相對變化大于價格的需求變化,此時價格的變化對需求量的影響較大。換句話說,適當(dāng)降價會使需求量有較大幅度上升,從而增加收入。例如空調(diào)、汽車等高檔生活用品,包括旅游和專業(yè)服務(wù)等。需求富有彈性的商品價格下降而總收益增加,就是我們一般所說的“薄利多銷”的原因所在?！氨±本褪墙祪r,降價能“多銷”, “多銷”則會增加總收益,所以,能夠作到薄利多銷的商品是需求富有彈性的商品。需求富有彈性的商品價格上升而總收益減少,說明了這類商品如果調(diào)價不當(dāng),則會帶來損失。例如,1979年我國農(nóng)副產(chǎn)品調(diào)價,豬

10、肉上調(diào)20%左右,在當(dāng)時我國人民的生活水平下,豬肉的需求富有彈性,豬肉漲價后人們的部分購買力轉(zhuǎn)向其他代用品,豬肉的需求量迅速下降。國家不得不將一些三、四級豬肉降價出售,加上庫存積壓,財政損失20多億;再加上農(nóng)副產(chǎn)品提價后給職工的補(bǔ)助20多億,財政支出增加40多億。當(dāng)-10)或降價(?駐p0)。 推導(dǎo)=Q(1-E)(其中R為收益),并用彈性E說明價格在何范圍內(nèi)變化時,降低價格反而使收益增加。解:由Q=100-5P知Q(P)=-50,所以:E=Q=(-5)=。 由R=PQ得=Q+PQ=Q(1+Q)=Q(1-E)。又由E=1,得P=10。于是,當(dāng)101,即0。故當(dāng)10P20時,降低價格反而使收益增加

11、。 總之,企業(yè)在制定或變動產(chǎn)品價格時,一定要考慮到自己產(chǎn)品需求價格彈性的大小,這樣才能更好地利用價格策略增強(qiáng)競爭力。3、優(yōu)化分析最優(yōu)化問題是經(jīng)濟(jì)管理活動的核心,通常是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求經(jīng)濟(jì)問題中的平均成本最低、總收入最大、總利潤最大等問題。例如:(1997年考研題)一商家銷售某種商品的價格滿足關(guān)系P=7-0.2x(萬元/噸),銷售量(單位:噸),商品的成本函數(shù)是C=3x+1(萬元)。 (1)若每銷售1噸商品,政府要征稅t(萬元),求該商家獲得最大利潤時的銷售量; (2)t為何值時,政府稅收總額最大?解:(1)設(shè)T為總稅額,則T=tx。商品銷售總收入為R=Px=(7-0.2x)x=7x-0.2x2。于是得利潤為L=R-C-T=7x-0.2x2-3x-1-tx=-0.2x2+(4-t)x-1。求導(dǎo),得L=-0.4+4-t,L”=-0.4。令L=0,解得x=(4-t)。因?yàn)長”0,所以x=(4-t)即為利潤最大時的銷售量。(2)將x=(4-t)代入T=t,得T=t=10t-t2。由T(t)=10-5t=0,得唯一駐點(diǎn)t=2,又T”(t)=-50,即當(dāng)t=2時T有極大值,從而L也有最大值。故當(dāng)t=2時,政府稅收總額最大。綜上所述,對企業(yè)經(jīng)營者來說,對其經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析是非常