常微分都方程期末試題(A答案

1、隴東學(xué)院20062007學(xué)年第二學(xué)期數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)常微分方程課程期末試卷（a）答案一、選擇題（每題3分，共15分）。 1、b 2、d 3、c 4、b 5、a。二、解下列一階微分方程（每小題5分，共15分）1、求解方程；解 令，則，代入原方程，得 ， 顯然，為方程的一個(gè)解，從而為原方程的一個(gè)解。 當(dāng)時(shí)，分離變量，再積分，得 ，即通積分為： 2、求解方程；解 當(dāng)時(shí)，分離變量得 等式兩端積分得 方程的通積分為 3、求解方程解 齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為 + 4、解方程解 ，因此，原方程是全微分方程 取，原方程的通積分為 或 即 5、求解方程解 令，

2、則，原方程的參數(shù)形式為 由，有 整理得 由，解得，代入?yún)?shù)形式的第三式，得原方程的一個(gè)特解為由 ，解得，代入?yún)?shù)形式的第三式，得原方程通解為 三、解下列方程組（每小題8分，共16分）。1、求方程組的通解；解 特征方程為 即 特征根為 ， 對(duì)應(yīng)特征向量應(yīng)滿足 可確定出 同樣可算出對(duì)應(yīng)的特征向量為 所以，原方程組的通解為 2、（8分）求方程組的通解，解 系數(shù)矩陣是特征方程為 有三重特征根 于是可設(shè)其解為 解得 可分別取，相應(yīng)的為，為于是可得原方程組三個(gè)線性無關(guān)解由此可得方程的通解為四、解下列高階方程（每小題8分，共24分）。1、求方程的通解，解 特征方程為：，即，由此得特征根為 ，因此，基本解組為 ，所以通解為 。2、求方程的通解，解 特征方程為：，即，由此得特征根為 ，。 因此，基本解組為 ， 所以通解為 。3、求方程的通解，解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，即。特征根為，因此齊次方程的通解為由于是單特征根，故已知非齊次方程有形如的特解。將它代入已知方程，并比較的同次冪系數(shù)，得，故。于是，可得通解為五、應(yīng)用題（共10分）。用拉普拉斯變換求解初值問題： ；，。解 設(shè) 是已知初值問題的解。對(duì)已知方程兩端同時(shí)使用拉普拉斯變換，可分別得到 故有 而 故所求的初值解為 六、證明題（共10分）?？疾煜到y(tǒng)的零解的穩(wěn)定性與漸解 在上，初值為的解為其中