曲面面積 重心 轉(zhuǎn)動慣量 引力

1、 曲面的面積曲面的面積 重心重心 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 引力引力iiAS ),(iii iSi iAxyzO求由方程求由方程Dyxyxfz ),(),(所確定的曲面所確定的曲面 S 的面積的面積對區(qū)域?qū)^(qū)域 D 作分割作分割 T , niiTAS10|lim一、一、曲面和面積曲面和面積曲面面積的計算公式曲面面積的計算公式先計算先計算 Ai 的面積的面積.iiiA cos zini i iAi ),(),(11|cos|22iiyiixiff iiiyiixiffA ),(),(122 niiiiyiixTniiTffAS1220|10|),(),(1limlim Dyxyxyxfyxfdd),()

2、,(122所以若曲面方程為所以若曲面方程為Dyxyxfz ),(),(則該曲面的面積則該曲面的面積 S 為為 DyxyxyxfyxfSdd),(),(122說明說明: zyDzyzyxx ),(),(zxDzxzxyy ),(),(則曲面面積則曲面面積 S ：如果曲面方程為如果曲面方程為 yzDzyzyzyxzyxSdd),(),(122如果曲面方程為如果曲面方程為則有公式：則有公式： xzDzxzxzxyzxySdd),(),(122例例1求圓錐求圓錐22yxz 在圓柱體在圓柱體xyx 22內(nèi)那一部分的面積內(nèi)那一部分的面積.解解 DyxyxzzSdd122所求面積的曲面的方程為所求面積的曲面

3、的方程為22yxz xyxD 22:,22yxxzx ,22yxyzy 21122222222 yxyyxxzzyx所以所以 Dyxdd2 42 例例. 計算雙曲拋物面 yxz 被柱面222Ryx所截 解解: 曲面在 xoy 面上投影為,:222RyxD則yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面積 A .設(shè)空間有設(shè)空間有n個質(zhì)點個質(zhì)點, ),(iiizyx, ),2,1(nimi 由力學(xué)知由力學(xué)知, ,11 nkknkkkmmxx,11 nkknkkkmmyy nkknkkkmmzz11分別位于分別位于其質(zhì)量分別為其質(zhì)量分別為該質(zhì)點組

4、的重心坐標(biāo)為該質(zhì)點組的重心坐標(biāo)為二、二、重心重心設(shè)空間物體設(shè)空間物體 V , 有連續(xù)密度函數(shù)有連續(xù)密度函數(shù)),(zyx 采用采用 “分割分割, 近似代替近似代替, 求和求和, 取極限取極限” 可導(dǎo)出其可導(dǎo)出其重心坐標(biāo)公式重心坐標(biāo)公式.求求 V 的重心坐標(biāo)的重心坐標(biāo). 將將 V 分成分成 n 小塊小塊, ),(kkk 將第將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點塊看作質(zhì)量集中于點),(kkk 的重心坐標(biāo)的重心坐標(biāo). 例如例如,此質(zhì)點組的重心坐標(biāo)就近似該物體此質(zhì)點組的重心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)點的質(zhì)點, 其質(zhì)量為其質(zhì)量為在第在第 i 塊上任取一點塊上任取一點nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(kkk

5、kkvm ),( 令各小區(qū)域的最大直徑令各小區(qū)域的最大直徑,0|T VVzyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),( 即得即得其中其中 m 為物體為物體 V 的質(zhì)量，的質(zhì)量， VVzyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),( VVzyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),( mzyxzyxxV ddd),( mzyxzyxyV ddd),( mzyxzyxzV ddd),( 同理可得同理可得 ,),(常數(shù)時當(dāng)zyx則則,dddVzyxxxV ,dddVzyxyyV .dddVzyxzzV 其中其中 V 表示區(qū)域表示區(qū)域 V 的體積的體積若物體為占有若物體為占有xoy 面

6、上區(qū)域面上區(qū)域 D 的平面薄片的平面薄片, ),(yx DDyxyxyxyxxxdd),(dd),( ,常數(shù)時,ddDDSyxxx (SD 為為 D 的面積的面積)則則則它的重心坐標(biāo)為則它的重心坐標(biāo)為其面密度為其面密度為 DDyxyxyxyxyydd),(dd),( ,ddDDSyxyy 4例例. 求位于兩圓求位于兩圓 sin2 r sin4 r和和之間均勻薄片的重心之間均勻薄片的重心. D解解: 利用對稱性可知利用對稱性可知0 x而而 DDyxySydd1 Drrr ddsin31rr dsin4sin22 dsin95604 2956 dsin2956204 37 0dsin31 43 2

7、12 2oyx質(zhì)點質(zhì)點 A 對于軸對于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量 J 慣量可用積分計算慣量可用積分計算. 質(zhì)點組的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點質(zhì)點組的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點和和 A 與轉(zhuǎn)動軸與轉(zhuǎn)動軸 l 的距離的距離 r 的平方的乘積的平方的乘積, 即即 2mrJ 三、三、轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量之和的轉(zhuǎn)動慣量之和, 故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動r等于等于 A 的質(zhì)量的質(zhì)量 m 設(shè)設(shè)),(zyx 在該物體位于在該物體位于( x , y , z ) 處取一微元，處取一微元，vzyxyxd),()(22 因此該物體因此該物體 對對 z 軸軸 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量: VzzyxzyxyxJddd),()(22

8、 zJdxVyoz對對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為 22yx 其體積記為其體積記為 dV ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 Vzyxd),( 到到 z 軸的距離為軸的距離為22yx 從而從而為空間物體為空間物體 V 的密度函數(shù)，求的密度函數(shù)，求 V 對對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量. ),(zyx類似可得類似可得: VxzyxzyxJddd),( VyzyxzyxJddd),( VOzyxzyxJddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx 對對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量對對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點的轉(zhuǎn)動慣量對原點的轉(zhuǎn)動慣量一般說來，若一般說來，若 V 中的點中的點 (

9、x , y , z ) 到轉(zhuǎn)動軸到轉(zhuǎn)動軸 l 的距離為的距離為則轉(zhuǎn)動慣量為則轉(zhuǎn)動慣量為, ),(zyxr VlVzyxJd),( ),(2zyxr對坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動慣量分別為對坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動慣量分別為 VxyzyxzyxJddd),( VyzzyxzyxJddd),( 2z2x對對 xy 平面的轉(zhuǎn)動慣量平面的轉(zhuǎn)動慣量對對 yz 平面的轉(zhuǎn)動慣量平面的轉(zhuǎn)動慣量 VxzzyxzyxJddd),( 2y對對 xz 平面的轉(zhuǎn)動慣量平面的轉(zhuǎn)動慣量 DyyxyxJdd),( 如果物體如果物體 D 是平面薄片是平面薄片, 面密度為面密度為 Dyxyx ),(),( DxyxyxJdd),( 則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是

10、二重積分則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.xDyo2y2x一般說來，若一般說來，若 D 中的點中的點 ( x , y ) 到轉(zhuǎn)動軸到轉(zhuǎn)動軸 l 的距離為的距離為則轉(zhuǎn)動慣量為則轉(zhuǎn)動慣量為),(yxr DlyxyxJdd),( ),(2yxr ),(yx例例4 求密度均勻的圓環(huán)求密度均勻的圓環(huán) D 對于垂直于圓環(huán)面對于垂直于圓環(huán)面中心軸的轉(zhuǎn)動慣量中心軸的轉(zhuǎn)動慣量zyx解解設(shè)圓環(huán)設(shè)圓環(huán) D 為為222221RyxR 密度為密度為，則，則 D 中任一點中任一點 ( x , y ) 與轉(zhuǎn)軸的距離為與轉(zhuǎn)軸的距離為22yx 于是轉(zhuǎn)動慣量于是轉(zhuǎn)動慣量 DyxJ d)(22)(24142RR 21dd220RRrr

11、r )(221222122RRRR )(22122RRm rraddsin0302 例例. 求半徑為求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑的均勻半圓薄片對其直徑解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,yxyIDxdd2 Drrr ddsin22 441a 241aM 半圓薄片的質(zhì)量半圓薄片的質(zhì)量 221aM 2212 oxyDaa的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量. 481a 設(shè)薄片的密度為設(shè)薄片的密度為，則，則例例6. 設(shè)某球體的密度與球心的距離成正比，設(shè)某球體的密度與球心的距離成正比，求它對于切平面的轉(zhuǎn)動慣量求它對于切平面的轉(zhuǎn)動慣量解解建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,設(shè)球體為設(shè)球體為2222Rzyx 密度為密

12、度為222zyxk k 為比例常數(shù)為比例常數(shù).切平面方程為切平面方程為 z = R , VVzRzyxkJd)(2222 RrrrRrk022020dsin)cos(dd RrrrRrRk03222020dsin)coscos2(dd 6911Rk 則球體對于該切平面的轉(zhuǎn)動慣量為則球體對于該切平面的轉(zhuǎn)動慣量為V),(zyx 求密度為求密度為F的物體的物體 V 對物體外質(zhì)量為對物體外質(zhì)量為 1 的的的單位質(zhì)點的單位質(zhì)點 A 的引力的引力在該物體位于在該物體位于( x , y , z )處取一處取一微元，其體積記為微元，其體積記為 dV ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 Vzyxmd),(d 對質(zhì)點對質(zhì)點 A 的

13、引力為的引力為設(shè)設(shè) A 點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為, ),( 四、四、引力引力),( ),(zyx該引力在坐標(biāo)軸上的投影為該引力在坐標(biāo)軸上的投影為VrxkFxdd3 ),(1d1d2 zyxrrmkF),(d),(3 zyxrVzyxk其中其中 k 為引力常數(shù)，為引力常數(shù)，222)()()( zyxrVrykFydd3 VrzkFzdd3 于是所求力在坐標(biāo)軸上的投影分別為于是所求力在坐標(biāo)軸上的投影分別為V),( ),(zyxr VxVrxkFd3 VyVrykFd3 VzVrzkFd3 所以所以),(zyxFFFF AaRxyzo例例7. 求密度求密度 的均勻球體的均勻球體 V ：2222Rzyx )(), 0 , 0(RaaA 的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力. 解解: 利用對稱性知引力分量利用對稱性知引力分量0 yxFF z