第2章力系的簡化與合成

1、1第第2章章 力系的簡化與合成力系的簡化與合成 2.1 平面匯交力系合成和平衡的幾何法平面匯交力系合成和平衡的幾何法2.2 平面匯交力系合成和平衡的解析法平面匯交力系合成和平衡的解析法2.3 平面力偶系的合成平面力偶系的合成2.4 空間力偶系的合成空間力偶系的合成2.5 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化2.6 力系的簡化結(jié)果力系的簡化結(jié)果2.7 空間力系向一點(diǎn)簡化，主矢和主矩空間力系向一點(diǎn)簡化，主矢和主矩2.8 平行力系的中心平行力系的中心22.1 2.1 平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系合成與平衡的幾何法2.1.12.1.1平面匯交力系合成的幾何法平面匯交力系合成的幾何法cos

2、2212221ffffr)180sin(sin1rf1.1.兩個共點(diǎn)力的合成兩個共點(diǎn)力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理：cos)180cos(由力的平行四邊形法則合成，也可用力的三角形法則合成。bc32. 任意個共點(diǎn)力的合成任意個共點(diǎn)力的合成 ( 力多邊形法）力多邊形法）先作力多邊形abcde再將r 平移至 a 點(diǎn) 即：平面匯交力系的即：平面匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過各力的合力的作用線通過各力的匯交點(diǎn)。匯交點(diǎn)。即：frnffffr321結(jié)論：結(jié)論：推廣至 n 個力42.1.2平面匯交力系平衡的幾何法平面匯交力系平衡的幾何法在上面幾何法求力系的

3、合力中，合力為零意味著力多邊形自行封閉。所以平面匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：平面匯交力系平衡的充要條件是：0fr或矢量和矢量和力多邊形自行封閉力多邊形自行封閉力系中各力的力系中各力的等于零。等于零。52.2 2.2 平面一般力系的平衡的幾何條件平面一般力系的平衡的幾何條件一、平面一般力系的平衡方程一、平面一般力系的平衡方程平面任意力系向任一點(diǎn)簡化，得到主矢平面任意力系向任一點(diǎn)簡化，得到主矢 及對簡化中心的主及對簡化中心的主矩矩mo 。22)()(iiyxr)(ioofmm匯交力系平衡表明作用在簡化中心的若, 0r若若mo=0，表明附加力偶系平衡，表明附加力偶系平衡r6;111dfm

4、222dfm dpm11 又dpm22 21ppra21pprb212121)( mmdpdpdppdrma 合力偶矩2.32.3 平面力偶系的合成平面力偶系的合成平面力偶系：平面力偶系：作用在物體同一平面的許多力偶叫平面力偶系設(shè)有兩個力偶dd7 niinmmmmm121結(jié)論結(jié)論: : 平面力偶系合成結(jié)果還是一個力偶平面力偶系合成結(jié)果還是一個力偶, ,其合力偶矩等于各分其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和力偶矩的代數(shù)和。8111222,.,nnnmrf mrfmrf= = =immm為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和. .2.42.4 空間力偶系的合成空間

5、力偶系的合成9222()()()xyzmmmm合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦,xxyyzzmmmmmmcosxmmcosymmcoszmm10證證 力力f2.5 2.5 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化fff ,力系力系dffmmb )(2.5.1力的平移定理力的平移定理力線平移定理：作用在剛體上力線平移定理：作用在剛體上a點(diǎn)的力點(diǎn)的力 可以平行移動可以平行移動f須在該力須在該力 與指定點(diǎn)與指定點(diǎn)b 所決定的平所決定的平 面內(nèi)附加一力偶，其力偶面內(nèi)附加一力偶，其力偶f矩等于原力矩等于原力 對指對指 定點(diǎn)定點(diǎn)b 之矩。之矩。f到剛到剛 體內(nèi)任一指定點(diǎn)體內(nèi)任一指定點(diǎn)b 若

6、不改變該力對于剛體的作用，則必若不改變該力對于剛體的作用，則必）力偶（力f,ff 11力線平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力力線平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力 力力+力偶力偶 討論討論力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。力線平移定理可考察力對物體的作用效應(yīng)。力線平移定理可考察力對物體的作用效應(yīng)。（剛體、變形體兩種情況）epm 12 2.5.22.5.2平面一般力系向一點(diǎn)簡化平面一般力系向一點(diǎn)簡化 一、簡化方法一、簡化方法rffffffffrinino2121匯交力系合力匯交力系合力一般力系（任意力系）一般力系（任意力系）匯交力系匯交力系+力偶系力偶系向一點(diǎn)簡化向

7、一點(diǎn)簡化（未知力系）（未知力系）（已知力系）（已知力系）132222)()(yxrrryxxyrrxy11tgtg附加力偶的合力偶矩附加力偶的合力偶矩)()()()(2121 ionoooinofmfmfmfmmmmmm二、主矢與主矩二、主矢與主矩1. 主矢：指原平面一般力系各力的矢量和主矢：指原平面一般力系各力的矢量和 。ififr即 主矢主矢 的的r解析求法解析求法方向方向：大小大小：注意注意：因主矢等于原力系各力的矢量和因主矢等于原力系各力的矢量和,所所以它與簡化中心的位置無關(guān)。以它與簡化中心的位置無關(guān)。14)(ioofmm 轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向 + 2. 主矩：指原平面一般力系對簡化中心之矩的代數(shù)

8、和主矩：指原平面一般力系對簡化中心之矩的代數(shù)和 。 )( iofm )(ioofmm即三、結(jié)論三、結(jié)論平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化 ，一般可以得到，一般可以得到主矩主矩 mo大小大?。赫?、負(fù)規(guī)定正、負(fù)規(guī)定 ：因主矩等于各力對簡化中心之矩的代數(shù)和，因主矩等于各力對簡化中心之矩的代數(shù)和，所以它的大小和轉(zhuǎn)向一般與簡化中心有關(guān)。所以它的大小和轉(zhuǎn)向一般與簡化中心有關(guān)。注意注意：一力和一力偶一力和一力偶 ；該力作用于簡化中心；該力作用于簡化中心 ，其大小及方向等于該，其大小及方向等于該力系的主矢力系的主矢 ，該力偶之矩等于該力系對于簡化中心的主矩，該力偶之矩等于該力系對

9、于簡化中心的主矩 。15 0,mo =0,即簡化為一個作用于簡化中心的合力合力。這時，簡化結(jié)果就是合力（這個力系的合力）, 。（此時簡化結(jié)果與簡化中心有關(guān)，換個簡化中心，主矩不為零）rrr2.6 2.6 力系的簡化結(jié)果力系的簡化結(jié)果 =0,mo0 即簡化結(jié)果為一合力偶合力偶, m=mo 此時剛 體等效于只有一個力偶的作用，因?yàn)榱ε伎梢栽趧傮w平面內(nèi)任意移動，故這時，主矩與簡化中心o無關(guān)。r =0， mo =0，則力系平衡平衡,下節(jié)專門討論。 r簡化一般結(jié)果：主矢 ，主矩 mo ，下面討論簡化最后結(jié)果：r一、簡化最后結(jié)果一、簡化最后結(jié)果16 0,mo 0,為最一般的情況。此種情況還可以繼續(xù)可以繼續(xù)

10、 化為一個合力化為一個合力 。rr合力合力 的大小等于原力系的主矢的大小等于原力系的主矢合力合力 的作用線位置的作用線位置rmdorr17)()()(主矩合力偶ioofmm 平面任意力系的簡化結(jié)果平面任意力系的簡化結(jié)果 ：合力偶合力偶mo ； 合力合力 r 結(jié)論結(jié)論)()(合力偶o(jì)omdrrm)()(1niioofmrm即：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點(diǎn)之平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各力對于同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。矩等于力系中各力對于同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。二、合力矩定理二、合力矩定理182.7 2.7 空間任意力系向一點(diǎn)的簡化空間任意力系向一點(diǎn)的簡化主矢和主矩主矢和主矩2.7

11、.1 2.7.1 空間任意力系向一點(diǎn)的簡化空間任意力系向一點(diǎn)的簡化iiff()ioimmf空間匯交與空間力偶系等效代替一空間任意力系空間匯交與空間力偶系等效代替一空間任意力系. .19rixyzfff if jf k 主矩主矩()oioimmmf( )( )( )oxyzmmf imf jmf k主矢主矢空間力偶系的合力偶矩空間力偶系的合力偶矩由力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩的關(guān)系，有由力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩的關(guān)系，有空間匯交力系的合力空間匯交力系的合力20有效推進(jìn)力有效推進(jìn)力rxf飛機(jī)向前飛行飛機(jī)向前飛行ryf有效升力有效升力飛機(jī)上升飛機(jī)上升rzf側(cè)向力側(cè)向力飛機(jī)側(cè)移飛機(jī)側(cè)移oxm滾轉(zhuǎn)力矩滾轉(zhuǎn)力矩飛

12、機(jī)繞飛機(jī)繞x x軸滾轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)oym偏航力矩偏航力矩飛機(jī)轉(zhuǎn)彎飛機(jī)轉(zhuǎn)彎ozm俯仰力矩俯仰力矩飛機(jī)仰頭飛機(jī)仰頭21（1 1） 合力合力ordmf合力合力. .合力作用線距簡化合力作用線距簡化中心為中心為2.7.22.7.2空間任意力系的簡化結(jié)果分析（最后結(jié)果）空間任意力系的簡化結(jié)果分析（最后結(jié)果）0,0,rorofmfm0,0rofm 過簡化中心合力過簡化中心合力()( )ororomdfmfmf合力矩定理：合力對某點(diǎn)合力矩定理：合力對某點(diǎn)( (軸）之矩等于各分力對同軸）之矩等于各分力對同 一點(diǎn)（軸）之矩的矢量和一點(diǎn)（軸）之矩的矢量和. .22（2 2）合力偶（）合力偶（一個合力偶，此時與簡化中心無

13、關(guān)。一個合力偶，此時與簡化中心無關(guān)。0,0rofm （3 3）力螺旋）力螺旋0,0,/rorofmfm中心軸過簡化中心的力螺旋中心軸過簡化中心的力螺旋23既不平行也不垂直既不平行也不垂直0,0,rorofmf m力螺旋中心軸距簡化中心為力螺旋中心軸距簡化中心為sinormdf（4 4）平衡）平衡平衡平衡0,0rofm 242.8 2.8 平行力系的中心平行力系的中心平面平行力系平面平行力系:各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行的力系2.8.1平面平行力系的中心平面平行力系的中心 fxfrmxiior主矢）(frro）（主矩iiiooxffmm)(合力 作 用線的位置為：ryrrro而設(shè)有f1,

14、f2 fn 各平行力系， 向o點(diǎn)簡化得：25 靠近地球的物體都受到地球引力的作用。如果把物體看成是由無數(shù)微小部分組成，則其每一部分都受到地球引力的作用，這些重力可以看成是空間平行力系。整個物體的重力就是各微小部分重力的合力，合力的大小即為物體的重量。 對于剛體而言，無論怎樣擱置，物體重力的作用線都會通過物體某個固定不變的點(diǎn)，這個點(diǎn)就是物體的重心重心。 重心在工程中有重要意義意義：起重機(jī)、船舶等的重心過高容易傾翻；重力壩的重心越靠近上游，抗傾穩(wěn)定性越好；高速轉(zhuǎn)動的部件，若其重心不在轉(zhuǎn)軸上就會發(fā)生振動等等。2.8.22.8.2重心重心1.重心坐標(biāo)公式重心坐標(biāo)公式：26由合力矩定理： iicxpxp

15、y軸：x軸：iicypypp=pi物體的重量將系統(tǒng)繞x軸旋轉(zhuǎn)90，使力線與y軸平行，再對x 軸應(yīng)用合力矩定理得：iiczppz27于是得重心坐標(biāo)公式重心坐標(biāo)公式：pzpzpypypxpxiiciiciic ,若以pi= mig , p=mg 代入上式可得質(zhì)心公式質(zhì)心公式mzmzmymymxmxiiciiciic ,1）體積重心 對于均質(zhì)物體均質(zhì)物體，單位體積的重量 =恒量恒量，設(shè)vi為第i個小體積，v為物體的總體積，則：vzvzvyvyvxvxiiciiciic,2.均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式：pi= vi， p= v于是得：28（2）有對稱面（軸、點(diǎn)）的均質(zhì)物體，其重心必在

16、對稱面（軸、點(diǎn)）上。令vi0，則上式可寫成積分形式積分形式：vxdvxvcvydvyvcvzdvzvc均質(zhì)物體的重心與其重量無關(guān)，只與物體的體積（幾何形狀）有關(guān)，這個只由物體的幾何形狀決定的點(diǎn)稱為物體的形心只由物體的幾何形狀決定的點(diǎn)稱為物體的形心。上式又稱為物體的形心公式形心公式。（1）形心與重心是兩個不同的概念。對于均質(zhì)物體，重心和形心是重合的。29a面積azazayayaxaxiiciiciic,lzlzlylylxlxiiciiciic,2）面積重心）面積重心 均質(zhì)薄殼（板）的重心公式：均質(zhì)薄殼（板）的重心公式：3）線段重心）線段重心 均質(zhì)空間曲線的重心公式：均質(zhì)空間曲線的重心公式：l長

17、度同樣可得它們的積分形式。30解解：由于對稱，該圓弧重心必在ox軸，即yc=0。取微段drdlrdrldlxxlc2cos 2sinrxc1）積分法）積分法（簡單形體）例例 求半徑為求半徑為r，頂角為，頂角為2 的均質(zhì)圓弧的重心。的均質(zhì)圓弧的重心。2.8.3確定均質(zhì)物體重心的方法確定均質(zhì)物體重心的方法常見簡單形狀的均質(zhì)物體的重心公式見教材p97 cos rx31 2）組合法解法一：解法一： 分割法分割法（由簡單形體組成的復(fù)雜形體）例例求圖示均質(zhì)薄板的重心，尺寸如圖，長度單位：求圖示均質(zhì)薄板的重心，尺寸如圖，長度單位：cm。（1）建坐標(biāo)系（盡量利用對稱性）（2）將圖形分成、三個部分，則21cm25200120210acm60120211xcm105210211y32cm330420211203xcm4590213ycm233321332211aaaxaxaxaxccm4 .86321332211aaayayayayccm260420311202x