定積分在物理問題中應(yīng)用

1、第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用第六節(jié)定積分在物理問題中的應(yīng)用 第六六章 第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用一、一、 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x a 移動到,bx 力的方向與運(yùn)動方向平行, 求變力所做的功 .xabxxxd，上任取子區(qū)間在d,xxxba在其上所作的功元素為xxFWd)(d因此變力F(x) 在區(qū)間 ,ba上所作的功為baxxFWd)(第五章第五章 定定 積積

2、 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用例例1 一個單求電場力所作的功 . qOrabrrrd11解解 當(dāng)單位正電荷距離原點 r 時,2rqkF 則功的元素為rrqkWdd2所求功為barrqkWd2rqk1ab)11(baqk說明說明:處的電勢為電場在ar arrqkd2aqk位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到 b 處 (a b) , 在一個帶 電荷所產(chǎn)生的電場作用下, 由 電場力為庫侖定律庫侖定律+q(k為常數(shù))第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用S例例

3、2 體, 求移動過程中氣體壓力所Ox解解 由于氣體的膨脹, 把容器中的一個面積為S 的活塞從點 a 處移動到點 b 處 (如圖), 作的功 .ab建立坐標(biāo)系如圖.xxxd由波義耳馬略特定律知壓強(qiáng) p 與體積 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素為WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功為baxxkWdbaxk lnabkln力為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣 第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? xxgd9m3m5例例3 23解解Oxxxxd在任一小

4、區(qū)間d,xxx上的一薄層水的重力為g這薄層水吸出桶外所作的功(功元素功元素)為Wd故所求功為50Wxxgd9g922xg5 .112( J )設(shè)水的密度為05(N)一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m, 建立坐標(biāo)系如圖.dx第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用面積為 A 的平板二、液體的側(cè)壓力二、液體的側(cè)壓力設(shè)液體密度為 深為 h 處的壓強(qiáng): hgph當(dāng)平板與水面平行時, ApP 當(dāng)平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決 .平板一側(cè)所受的壓力為第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（

5、上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用小窄條上各點的壓強(qiáng)xgp332Rg例例4 的液體 , 求桶的一個端面所受的側(cè)壓力. 解解所論半圓的22xRy)0(Rx 利用對稱性 , 側(cè)壓力元素RP0 xxRxgd222OxyRxxxd222xR Pdxg端面所受側(cè)壓力為xd方程為一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為 建立坐標(biāo)系如圖.第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用0arcsin224222RRxRxRxgR,d222xxR 說明說明: 當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時,),(xRg小窄條上的壓強(qiáng)為

6、側(cè)壓力元素Pd故端面所受側(cè)壓力為RRxxRxRgPd)(222奇函數(shù)奇函數(shù)3Rg)(xRgRxxRgR022d4tRxsin令OxyRxxxd第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用三、三、 引力問題引力問題質(zhì)量分別為21, mm的質(zhì)點 , 相距 r ,1m2mr二者間的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿兩質(zhì)點的連線若考慮 對質(zhì)點的引力, 則需用積分解決 .物體物體其中k 為引力系數(shù).第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用例例5設(shè)有一長

7、度為 l, 線密度為 的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點 M,M該棒對質(zhì)點的引力.解解y2l2ld,xxx細(xì)棒上小段對質(zhì)點的引力大小為 dkF xm d22xa 故鉛直分力元素為cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkxOx在試計算FdxFdyFdxxd建立坐標(biāo)系如圖.第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用利用對稱性利用對稱性223022)(d2lxaxamkFy222202lxk maaax 22412laalmk棒對質(zhì)點引力的水平分力.0 xF22412ll

8、mkFaa故棒對質(zhì)點的引力大小為棒對質(zhì)點的引力的鉛直分力為 My2l2laaxOxFdxFdyFdxxddyF23)(d22xaxamk第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用2lOy2laxxxdx說明說明:amk22) 若考慮質(zhì)點克服引力沿 y 軸從 a 處此時引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒 .移到 b (a b) 處時克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd則有22412llmkFaa當(dāng)細(xì)棒很長時,可視 為無窮大 ,1) l 第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)

9、學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用lOxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小為22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正負(fù)號3) 當(dāng)質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時, 第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)一般元素的幾何形狀有:扇、扇、片、片、殼殼 等等.2.定積分的物理應(yīng)用:變力作功 , 側(cè)壓力 , 引力.條條、段段、環(huán)環(huán)、

10、帶帶、1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量 的步驟:Q(1) 先用元素法求出它的微分表達(dá)式dQ(2) 然后用定積分來表示整體量 , 并計算之. Q第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用xyABOtaytax33sin,cos上每一點處線密度的大小等于該點到原點距離的立方,提示提示:2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxk dsinddFFysykd),(yxsd在點O 處有一單 位質(zhì)點 ,求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力.設(shè)星形線如圖.思

11、考與練習(xí)思考與練習(xí)第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用同理takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytax引力大小為xyABO),(yxsd第五章第五章 定定 積積 分分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第六節(jié)第六節(jié) 定積分在物理問題中的應(yīng)用定積分在物理問題中的應(yīng)用銳角 取多大時, 薄板所受的壓力 P 最大 .補(bǔ)充題補(bǔ)充題斜邊為定長的直角三角形薄板, 垂直放置于解解 設(shè)斜邊長為 l ,水中, 并使一直角邊與水面相齊, coscotlxyxxygdsin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633lglOyxy則其方