高中數(shù)學(xué)(人教版)定積分的近似計(jì)算課件

1、 利用牛頓利用牛頓- -萊布尼茨公式雖然可以精確計(jì)算萊布尼茨公式雖然可以精確計(jì)算定積分的值定積分的值, ,但它僅適合被積函數(shù)的原函數(shù)能夠求但它僅適合被積函數(shù)的原函數(shù)能夠求出的情形出的情形. .我們這里介紹定積分的近似計(jì)算方法我們這里介紹定積分的近似計(jì)算方法. . *6 定積分的近似計(jì)算數(shù)學(xué)分析 第十章定積分的應(yīng)用根據(jù)定積分的定義根據(jù)定積分的定義, , 1( )d(),nbiiaif xxf xx或或11( )d().nbiiaif xxf xx在幾何意義上在幾何意義上, ,這是用一系列小矩形來(lái)近似小曲邊這是用一系列小矩形來(lái)近似小曲邊兩種方法兩種方法. .矩形法的精度較差，通常使用下面著重介紹的

2、矩形法的精度較差，通常使用下面著重介紹的梯形面積的結(jié)果梯形面積的結(jié)果, ,所以把這個(gè)近似計(jì)算法稱為所以把這個(gè)近似計(jì)算法稱為矩形矩形法法.后退 前進(jìn) 目錄 退出一、梯形法一、梯形法 將積分區(qū)間將積分區(qū)間 , a bn作作等等分分, ,分分點(diǎn)點(diǎn)為為01,.nibaaxxxbxn相應(yīng)的被積函數(shù)值記為相應(yīng)的被積函數(shù)值記為 01,(),0,1, ),niiyyyyf xin曲線曲線 上相應(yīng)的點(diǎn)記為上相應(yīng)的點(diǎn)記為 ( )yf x01,(,),0,1, ).niiiP PPP xyin將曲線上每一段將曲線上每一段 這使每個(gè)小這使每個(gè)小11iiiiP PP P用用替替代代, ,曲邊梯形換成了梯形曲邊梯形換成了

3、梯形, , 其面積為其面積為1,1,2, .2iiiyyxin于是于是, ,整個(gè)曲邊梯形面積的近似值為整個(gè)曲邊梯形面積的近似值為 11( )d,2nbiiiaiyyf xxx即即 011( )d() ,22bnnayybaf xxyyn以上近似式稱為定積分的梯形法公式以上近似式稱為定積分的梯形法公式. 二、拋物線法二、拋物線法由梯形法求定積分的近似值由梯形法求定積分的近似值, 當(dāng)當(dāng) 為凸曲為凸曲( )yf x線線時(shí)數(shù)值偏大時(shí)數(shù)值偏大, 將積分區(qū)間將積分區(qū)間 分點(diǎn)為分點(diǎn)為: : , 2a bn作作等等分分, ,012, .2nibaaxxxbxn相應(yīng)的被積函數(shù)的值記為相應(yīng)的被積函數(shù)的值記為為凹曲

4、線時(shí)數(shù)值偏小為凹曲線時(shí)數(shù)值偏小. 用拋物線法可克服上述缺點(diǎn)用拋物線法可克服上述缺點(diǎn).012,(),0,1,2 ),niiyyyyf xin曲線曲線 上相應(yīng)的點(diǎn)上相應(yīng)的點(diǎn)記記為為( )yf x012,(,),0,1,2 ).niiiP PPP xyin02,xx( )yf x現(xiàn)把區(qū)間現(xiàn)把區(qū)間上的曲線上的曲線用通過(guò)三點(diǎn)用通過(guò)三點(diǎn) 000111222(,),(,),(,)P xyP xyP xy的拋物線的拋物線21111( )p xxx 來(lái)近似替代來(lái)近似替代, 便有便有 21021021()2()4xxxx22201010112121()()6xxxxxx3323112020120()()()32x

5、xxxxx 22001( )d( )dxxxxf xxpxx202111()dxxxxx1200246yyyxx.46210yyynab最后得到最后得到 2221( )d( )diinbxaxif xxf xx222121(4).6niiiibayyyn即即 210213( )d4()6nbnabaf xxyyyyyn24222().nyyy222222( )d( )diiiixxixxf xxp xx .4621222iiiyyynab這就是拋物線公式，亦稱為辛普森公式這就是拋物線公式，亦稱為辛普森公式. .222,2( )iiiiiixxp xxx 同同樣樣地地在在上上用用替替代代( ),

6、yf x曲曲線線將得到將得到 例例 計(jì)算計(jì)算 的近似值的近似值. .120d1xx解解 將區(qū)間將區(qū)間 十等分，各分點(diǎn)上被積函數(shù)的值列十等分，各分點(diǎn)上被積函數(shù)的值列0,1表如下：表如下： xi00.10.20.30.40.5yi10.99009900.96153850.91743120.86206900.8000000 xi0.60.70.80.91yi0.73529410.67114090.60975610.55248620.5(1) 用矩形法公式用矩形法公式101920d1()0.8099110 xyyyx12101()0.7600).10yyy( (或或(2) 用梯形法用梯形法10101920d1()0.7850.11022yyxyyx(3) 用拋物線法用拋物線法 120d1xx與精確值與精確值 120d0.7853981614xx相比較，相比較，而拋物線法有六而拋物線法有六位有效數(shù)字是準(zhǔn)確的位有效數(shù)字是準(zhǔn)確