排列組合教材分析

1、a1排列組合教材分析a2四色問(wèn)題 任意一張地圖，用一種顏色對(duì)一個(gè)地區(qū)著色，那任意一張地圖，用一種顏色對(duì)一個(gè)地區(qū)著色，那么一共只需要四種顏色就能保證每?jī)蓚€(gè)相鄰的地么一共只需要四種顏色就能保證每?jī)蓚€(gè)相鄰的地區(qū)顏色不同區(qū)顏色不同。a3穩(wěn)定的婚姻問(wèn)題 如果一個(gè)村子里每一個(gè)女孩都恰好認(rèn)識(shí)如果一個(gè)村子里每一個(gè)女孩都恰好認(rèn)識(shí)k k個(gè)男孩，個(gè)男孩，并且每一個(gè)男孩也恰好認(rèn)識(shí)并且每一個(gè)男孩也恰好認(rèn)識(shí)k k個(gè)女孩，那么每一個(gè)女孩，那么每一個(gè)女孩都可以嫁給她認(rèn)識(shí)的一個(gè)男孩，并且每一個(gè)女孩都可以嫁給她認(rèn)識(shí)的一個(gè)男孩，并且每一個(gè)男孩都可以娶一個(gè)他認(rèn)識(shí)的女孩個(gè)男孩都可以娶一個(gè)他認(rèn)識(shí)的女孩. .a4穩(wěn)定的婚姻問(wèn)題 但是這樣的

2、婚姻安排方法不一定是最好的。但是這樣的婚姻安排方法不一定是最好的。假如能找到兩對(duì)夫婦，彼此都更喜歡對(duì)方假如能找到兩對(duì)夫婦，彼此都更喜歡對(duì)方的配偶，那么這樣婚姻有潛在的不穩(wěn)定性。的配偶，那么這樣婚姻有潛在的不穩(wěn)定性。 我們能用某種數(shù)學(xué)算法找到一種婚姻的安我們能用某種數(shù)學(xué)算法找到一種婚姻的安排方法，使得沒(méi)有上述的不穩(wěn)定情況出現(xiàn)。排方法，使得沒(méi)有上述的不穩(wěn)定情況出現(xiàn)。a5穩(wěn)定的婚姻問(wèn)題 這種方法有一個(gè)實(shí)際的用途：美國(guó)的醫(yī)院這種方法有一個(gè)實(shí)際的用途：美國(guó)的醫(yī)院在確定錄取住院醫(yī)生時(shí)，他們將考慮申請(qǐng)?jiān)诖_定錄取住院醫(yī)生時(shí)，他們將考慮申請(qǐng)者的志愿的先后次序，同時(shí)也給申請(qǐng)者排者的志愿的先后次序，同時(shí)也給申請(qǐng)者排

3、序。按這樣的次序，利用上述算法得出的序。按這樣的次序，利用上述算法得出的總的方案將沒(méi)有醫(yī)院和申請(qǐng)者兩者同時(shí)后總的方案將沒(méi)有醫(yī)院和申請(qǐng)者兩者同時(shí)后悔的情況?；诘那闆r。 a6相識(shí)問(wèn)題 1958年，美國(guó)的年，美國(guó)的數(shù)學(xué)月刊數(shù)學(xué)月刊上登載著這上登載著這樣一個(gè)有趣的問(wèn)題：樣一個(gè)有趣的問(wèn)題：“任何任何6個(gè)人的聚會(huì)，個(gè)人的聚會(huì)，其中總會(huì)有其中總會(huì)有3個(gè)人相互認(rèn)識(shí)，或個(gè)人相互認(rèn)識(shí)，或3個(gè)人相互個(gè)人相互不認(rèn)識(shí)不認(rèn)識(shí)”。 用用6個(gè)頂點(diǎn)表示個(gè)頂點(diǎn)表示6個(gè)人，用紅色連線表示兩個(gè)人，用紅色連線表示兩者相識(shí)，用綠色連線表示兩者不相識(shí)。于者相識(shí)，用綠色連線表示兩者不相識(shí)。于是問(wèn)題化為下述命題：是問(wèn)題化為下述命題：a7相識(shí)問(wèn)

4、題 對(duì)有六邊形的任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間用紅、綠對(duì)有六邊形的任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間用紅、綠色連線，則圖中一定存在一個(gè)三邊同色的色連線，則圖中一定存在一個(gè)三邊同色的三角形。三角形。 a8過(guò)河問(wèn)題 船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜運(yùn)過(guò)船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜運(yùn)過(guò)河。只要船夫不在場(chǎng)，羊就會(huì)吃白菜、狼河。只要船夫不在場(chǎng)，羊就會(huì)吃白菜、狼就會(huì)吃羊。船夫的船每次只能運(yùn)送一種東就會(huì)吃羊。船夫的船每次只能運(yùn)送一種東西。怎樣運(yùn)才能把所有東西都安全運(yùn)過(guò)河？西。怎樣運(yùn)才能把所有東西都安全運(yùn)過(guò)河？ a9 組合數(shù)學(xué)組合數(shù)學(xué) 有人認(rèn)為廣義的組合數(shù)學(xué)就是離散數(shù)學(xué)，也有人認(rèn)為離散數(shù)學(xué)是狹義的組合數(shù)學(xué)和圖論、數(shù)理邏輯等的總稱。但這只

5、是不同學(xué)者在說(shuō)法上的不同?？傊M合數(shù)學(xué)是一門(mén)研究離散對(duì)組合數(shù)學(xué)是一門(mén)研究離散對(duì)象的科學(xué)象的科學(xué)。 隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的日益發(fā)展，組合數(shù)學(xué)的重要性也日漸凸顯，因?yàn)橛?jì)算機(jī)科學(xué)的核心內(nèi)容是使用算法處理離散數(shù)據(jù)。 a10 可以這樣說(shuō)，組合數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了本世紀(jì)計(jì)算機(jī)革命的基礎(chǔ)。 它的發(fā)展改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中分析和代數(shù)占統(tǒng)治地位的局面。 組合數(shù)學(xué)不僅在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中具有極其重要的地位，在其它很多的學(xué)科中也有重要的應(yīng)用，如計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼和密碼學(xué)、物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中均有重要應(yīng)用。 a11 排列組合是學(xué)習(xí)組合數(shù)學(xué)的最初步的知識(shí)，它不僅在實(shí)際生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛，而且也是我們后面學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的預(yù)備知識(shí)。 同

6、時(shí)排列組合以計(jì)算完成事件的方法、種數(shù)為特征，思想方法獨(dú)特靈活，所以它也是發(fā)展學(xué)生抽象能力和邏輯思維能力的好素材。a12兩個(gè)基本原理組合排列數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題一、知識(shí)結(jié)構(gòu)排列a13二、學(xué)習(xí)要求1、掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能應(yīng)用它們來(lái)分析和解決一些應(yīng)用問(wèn)題。2、理解排列與組合的意義，掌握排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算公式，掌握組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，并能應(yīng)用它們解決應(yīng)用問(wèn)題。a14三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、本章的重點(diǎn)內(nèi)容是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，排列和組合的意義，排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算公式。2、本章的應(yīng)用題的解決思路主要是：正向思考和逆向思考，正向思考時(shí)，可通過(guò)“分類”或“分步”，對(duì)稍復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行分解；逆向

7、思考時(shí)用集合的觀點(diǎn)看，就是先從問(wèn)題涉及的集合在全集的補(bǔ)集入手，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。3、注意排列和組合的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，計(jì)算應(yīng)用題時(shí)避免重復(fù)和遺漏。a1510.1 兩個(gè)基本原理 這兩個(gè)原理是人們?cè)诖罅繉?shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上歸納出來(lái)的基本規(guī)律，它體現(xiàn)了我們將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的兩種常用方法：將問(wèn)題分類解決或是分步解決。這兩個(gè)原理既是推導(dǎo)排列數(shù)和組合數(shù)公式的依據(jù)，而且其基本的思想方法貫穿在解決本章應(yīng)用問(wèn)題的始終。a16分類計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理問(wèn)題問(wèn)題 1. 從甲地到乙地，可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)，還可以乘輪船。一天中，火車(chē)有4 班, 汽車(chē)有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走

8、法?分析: 從甲地到乙地有3類方法, 第一類方法, 乘火車(chē)，有4 種方法; 第二類方法, 乘汽車(chē)，有2 種方法; 第三類方法, 乘輪船, 有3 種方法; 所以 從甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 種方法。 a17分步計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理 2. 如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法?A村B村C村北南中北南 分析: 從A村經(jīng) B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3種方法, 第二步, 由B村去C村有2種方法, 所以 從A村經(jīng) B村去C村共有 3 2 = 6 種不同的方法。a18分類計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理 做一件事情，完成它

9、可以有做一件事情，完成它可以有n類類辦法辦法,在在第一類辦法中有第一類辦法中有m1種不同的方法種不同的方法,在第二類辦法中有在第二類辦法中有m2種不同的方法，種不同的方法，在第，在第n類辦法中有類辦法中有mn種不同的方種不同的方法。那么完成這件事共有法。那么完成這件事共有 N=m1+m2+mn種不同的方法。種不同的方法。 分步計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟個(gè)步驟，做第一步有，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第二步有m2種不同的種不同的方法，方法，做第，做第n步有步有mn種不同的方法，那么完成這種不同的方法，那么完成這件事

10、有件事有 N=m1m2mn種不同的方法種不同的方法。a19 名稱對(duì)比分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)均用于計(jì)算做一件事或完成一項(xiàng)工作的方均用于計(jì)算做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù)法數(shù)事件完成與否每一類中的任何一每一類中的任何一種辦法均能獨(dú)立完種辦法均能獨(dú)立完成這件事成這件事每一步中的辦法均不每一步中的辦法均不能獨(dú)立完成這件事，能獨(dú)立完成這件事，必須各步順序完成之必須各步順序完成之后才能完成這件事后才能完成這件事總的方法種數(shù) 各類的方法數(shù)相加各類的方法數(shù)相加 各步的方法數(shù)相乘各步的方法數(shù)相乘兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：a20 例：書(shū)架上層有5本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，下層有4本不同的語(yǔ)文書(shū)，則

11、(1)從書(shū)架上任取一本書(shū)，有多少種取法？(2)從兩層中各取一本書(shū)，有多少種取法？a2110.2 排列 本小節(jié)的知識(shí)體系在本章中處于承上本小節(jié)的知識(shí)體系在本章中處于承上啟下的重要地位，它既在推導(dǎo)排列數(shù)公式啟下的重要地位，它既在推導(dǎo)排列數(shù)公式的過(guò)程中使分步計(jì)數(shù)原理獲得了重要應(yīng)用，的過(guò)程中使分步計(jì)數(shù)原理獲得了重要應(yīng)用，又使排列數(shù)公式成為推導(dǎo)組合數(shù)公式的主又使排列數(shù)公式成為推導(dǎo)組合數(shù)公式的主要依據(jù)。從而為我們以后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知要依據(jù)。從而為我們以后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)打下基礎(chǔ)。識(shí)打下基礎(chǔ)。a22排列的定義： 從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一

12、個(gè)排列。a23排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào) 表示。Amn123mn-1nn-2n-m+1n-0n-(m-1)a24排列數(shù)公式：nmNmnmnnnnAmn,).1).(2)(1(*其中)!(!mnnAmn全排列： n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列。全排列數(shù)公式：123).2)(1(nnnAnn! nAnn即01（規(guī)定: ?。゛2510.3 組合 本節(jié)內(nèi)容與本章其它內(nèi)容均有密切聯(lián)系：組本節(jié)內(nèi)容與本章其它內(nèi)容均有密切聯(lián)系：組合與排列研究的問(wèn)題是平行的，組合數(shù)公合與排列研究的問(wèn)題是平行的

13、，組合數(shù)公式的推導(dǎo)要依據(jù)排列數(shù)公式；二項(xiàng)式系數(shù)式的推導(dǎo)要依據(jù)排列數(shù)公式；二項(xiàng)式系數(shù)就是一組有規(guī)律的組合數(shù)，推導(dǎo)二項(xiàng)式定就是一組有規(guī)律的組合數(shù)，推導(dǎo)二項(xiàng)式定理用到了組合數(shù)的性質(zhì)；求等可能性事件理用到了組合數(shù)的性質(zhì)；求等可能性事件的概率時(shí)，常常要涉及到組合數(shù)的計(jì)算。的概率時(shí)，常常要涉及到組合數(shù)的計(jì)算。 a26組合的定義 一般地說(shuō)，從 n 個(gè)不同元素中，任取 m (mn) 個(gè)元素并成一組，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)組合。a27組合數(shù)的定義 從 n 個(gè)不同元素中取出 m (mn) 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào) 表示。mnCa28組

14、合數(shù)公式(1)(2)(1)!n nnnmmmmnnmmACA!()!mnnCm nma29組合數(shù)的性質(zhì)mn mnnCC11mmmnnnCCC011221102mmmmmmnnnnnnnnnnnC CCCCCC CC CC01nC（規(guī)定：）.*其中mn,且m,nNa30排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：排排 列列組組 合合定義定義數(shù)數(shù)符號(hào)符號(hào)公式公式關(guān)系關(guān)系性質(zhì)性質(zhì) ，mnC!)1()1(mmnnnCmn 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，按一定的順序排成一列，按一定的順序排成一列從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，把它并成一組把它并成一組所有排列的個(gè)數(shù)所有排列的個(gè)數(shù)所有組合的個(gè)數(shù)所有組合的

15、個(gè)數(shù)11mmmnnnCCCmn mnnCCAmnA(1)(1)mnn nnmmmmnnmAACa31例：某班有40名學(xué)生， (1)從中選出兩名同學(xué)分別擔(dān)任正副班長(zhǎng)，有多少種選法？(2)從中選出兩名同學(xué)代表去參加會(huì)議 ，有多少種選法？a32排列組合應(yīng)用題分析 例例1. 1名老師和名老師和4名學(xué)生排成一排，若老師不排在名學(xué)生排成一排，若老師不排在兩端，則共有多少種不同的排法？?jī)啥?，則共有多少種不同的排法？1.A4AA A722.AAA A721344143423432343分析： 特殊元素先排：老師在中間3個(gè)位置上，任選一個(gè)的選法有種，然后排剩余的 名同學(xué)在余下的4個(gè)位置上，排法有種，由分步計(jì)數(shù)原

16、理，共有種；特殊位置先排：先安排兩端站兩名學(xué)生共有種方法，再排其它位置有種，所以總的排法種數(shù)為種。a33例例2. 3個(gè)女生與個(gè)女生與5個(gè)男生排在一起，女生必須排個(gè)男生排在一起，女生必須排在一起，可以有多少種不同的方法？在一起，可以有多少種不同的方法？6633636335AAAA分析：因?yàn)?個(gè)女生必須排在一起，所以可以把她們看作一個(gè)整體，連同 個(gè)男生共六個(gè)元素，排成一排有種不同的排法，同時(shí)每種排法中，女生之間又有種不同的排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法。a3444354345AAA A分析：先讓其余4人站好，有種排法，再?gòu)?個(gè)人隔成的5個(gè)空位中選3個(gè)位置將甲、乙、丙排入，有種方法，根據(jù)

17、分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法。a35四四.排列中部分元素順序固定排列中部分元素順序固定除法除法例例4. 7個(gè)節(jié)目，甲、乙、丙三個(gè)節(jié)目按給定順序出現(xiàn)，個(gè)節(jié)目，甲、乙、丙三個(gè)節(jié)目按給定順序出現(xiàn)，有多少種排法？有多少種排法？73773733MMAM AAMA分 析 ： 設(shè) 符 合 要 求 的 排 法 種 數(shù) 為， 則 對(duì)中 的 每 一 種 排 法 ， 如 果 再 讓 甲 、 乙 、 丙 任 意排 的 話 ， 這 樣 得 到 的 結(jié) 果 和 讓 七 個(gè) 節(jié) 目 全 排列 的 結(jié) 果 是 一 樣 的 ， 根 據(jù) 分 步 計(jì) 數(shù) 原 理 可 得， 從 而 840。a36五五.允許重復(fù)的排列問(wèn)題允許重復(fù)

18、的排列問(wèn)題選擇權(quán)選擇權(quán) 例例5. (1)將將3封不同的信投入封不同的信投入4個(gè)不同的信箱，有多個(gè)不同的信箱，有多少種不同的投法？少種不同的投法？ (2)4名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三個(gè)課外名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三個(gè)課外小組，有多少種不同的報(bào)名方法？小組，有多少種不同的報(bào)名方法？3443分析:(1)中投信的人有選擇權(quán)，所以投每封信都有4種可能，共有444 種投法。(2)中學(xué)生有選擇權(quán)，所以每名同學(xué)報(bào)名都有3種可能，共有3333 種報(bào)名方法。a37六六.圓排列問(wèn)題圓排列問(wèn)題例例6. 5人圍著一張圓桌而坐人圍著一張圓桌而坐,共有多少種坐法共有多少種坐法?分析：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在

19、于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線，其余4人共有 種排法。 ABCEDDAAB CE44Aa38mnAma39例例7. 15人排成兩排，前排人排成兩排，前排7人，后排人，后排8人，共有多人，共有多少種不同的方法？少種不同的方法？ 71571515157A8AAAA158888分析：前排 人有種方法，后排 人有種方法，所以共有種不同方法，其實(shí)就相當(dāng)于將這個(gè)人排成一排的方法種數(shù)。a40 再如：8人排成前后兩排人排成前后兩排,每排每排4人人,其中甲乙其中甲乙在前排在前排,丁在后排丁在后排,共有多少排法？共有多少排法？a41例例8. 9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男名乒乓球運(yùn)動(dòng)員

20、，其中男5名，女名，女4名，名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？組法？4AA225422222542分析：先選男、女運(yùn)動(dòng)員各兩名，有C C 種選法，這 名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行混合雙打有種排法，所以共有C C種方法。a42例例9. 從從6名運(yùn)動(dòng)員中選出名運(yùn)動(dòng)員中選出4個(gè)參加個(gè)參加4100m接力賽，接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？不同參賽方法？ 分析：設(shè)全集6人中任取4人參賽的排列，A甲第一棒的排列，B乙跑第四棒的排列，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：43655252.324c

21、ard(I)-card(A)-card(B)+card(AB)=A -A -A +Aa43十十.元素?zé)o差別問(wèn)題元素?zé)o差別問(wèn)題隔板法隔板法 例例10. 將將10個(gè)相同的球放入個(gè)相同的球放入3個(gè)不同的盒子中，個(gè)不同的盒子中， (1)每個(gè)盒子不空，有多少種不同的放法？每個(gè)盒子不空，有多少種不同的放法？ (2)盒子可以是空的，有多少種不同的放法？盒子可以是空的，有多少種不同的放法？29122111112CCCC分析：3個(gè)盒子分10個(gè)球，用兩個(gè)隔板，將10個(gè)球排成一排，（1），共有種情況；（2），共有=種情況。a44 隔板法可推廣到n個(gè)球，放到m個(gè)盒子中去的一般情況： 若盒子非空，則方法數(shù)為 若盒子可以

22、為空，則方法數(shù)為 ，即 從m+n個(gè)位置中選出m個(gè)位置放隔板，其余位置則放球。m-1n-1Cnmn+mn+mCC或a45 上例可轉(zhuǎn)化為：求方程xyz10的正整數(shù)解或非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。 a46 再如：把10個(gè)相同的球放入三個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于2，則不同的放法有（ ） A、81種 B、15種 C、10種 D、4種a47例例11. 從從4臺(tái)甲型和臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出3臺(tái)，其臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共有有 A140種種 B80種種 C70種種D35種種CCCC333954分析：逆向思考

23、，至少各一臺(tái)的反面就是只取一種型號(hào)，而不取另一種型號(hào)，故不同的取法種數(shù)為70，故應(yīng)選 。a48十二十二. 分組問(wèn)題分組問(wèn)題例12. 現(xiàn)有9名同學(xué)參加實(shí)驗(yàn)：(1)平均分三組平均分三組，參加不同不同實(shí)驗(yàn)，有多少種分法？(2)平均分三組平均分三組，參加相同相同實(shí)驗(yàn)，有多少種分法？(3)分三組，各組分別有各組分別有2，3，4人人，參加相同相同實(shí)驗(yàn)，有多少種分法？(4)分三組，各組分別有各組分別有2，3，4人人，參加不同不同實(shí)驗(yàn)，有多少種分法？(5)分三組，一組一組5人，其余每組各人，其余每組各2人人，參加相同相同實(shí)驗(yàn)，有多少種分法？(6)分三組，一組一組5人，其余每組各人，其余每組各2人人，參加不同不

24、同實(shí)驗(yàn)，有多少種分法？a49十三十三. 利用分類討論思想解決利用分類討論思想解決例例13.13.在一次演唱會(huì)上共在一次演唱會(huì)上共1010名演員名演員, ,其中其中8 8人能唱歌人能唱歌,5,5人會(huì)人會(huì)跳舞跳舞, ,現(xiàn)要演出一個(gè)現(xiàn)要演出一個(gè)2 2人唱歌人唱歌2 2人伴舞的節(jié)目人伴舞的節(jié)目, ,有多少選派方有多少選派方法法? ?分析：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞, 3人為全能演員。以只會(huì)唱歌的5人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，只會(huì)唱的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有_種,只會(huì)唱的5人中有1人選上唱歌人員_種,只會(huì)唱的5人中有2人選上唱歌人員有_種，由分類計(jì)數(shù)原理共有_種。2233CC112

25、534CCC2255C C2233CC112534CCC2255C C+a50十四十四.化不熟悉問(wèn)題為熟悉問(wèn)題化不熟悉問(wèn)題為熟悉問(wèn)題例例14. 馬路上有編號(hào)為馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九的九只路燈只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞盞,但不能關(guān)掉相但不能關(guān)掉相鄰的鄰的2盞或盞或3盞盞,也不能關(guān)掉兩端的也不能關(guān)掉兩端的2盞盞,求滿求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？足條件的關(guān)燈方法有多少種？分析：將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將三盞不亮的燈插入到亮著的六盞燈所形成的5個(gè)空隙中去解決，也就是不相鄰問(wèn)題，共有 種可能。35Ca51再如：已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集A=a1，a2，a60與B=b1，b2，b2

26、5，若從A到B的映射f使得B中每個(gè)元素都有原象，且f（a1）f（a2）f（a60），則這樣的映射共有多少個(gè)？a52十五十五.窮舉法窮舉法 例例15. 三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，最長(zhǎng)邊為三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，最長(zhǎng)邊為8 的三角的三角形有多少個(gè)？形有多少個(gè)？分析：另兩邊用字母x、y表示，且不妨設(shè)1xy8，x+y9 當(dāng) y=8時(shí)，x=1,2,8, 有8個(gè)。 當(dāng)y=7時(shí)，x=2,37 有6個(gè)。 當(dāng)y=6時(shí)，x=3,4,5,6,有4個(gè) 當(dāng)y=5時(shí)，x=4,5,有2 個(gè)。 所以，所求的三角形的個(gè)數(shù)為8+6+4+2=20。a53再如：四人各寫(xiě)出一張賀卡，先集中起來(lái)，四人各寫(xiě)出一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送出

27、的賀卡，則然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡的不同分配方式有（四張賀卡的不同分配方式有（ B ）種。）種。 A.6 B.9 C.11 D.32 分析： ADC ADB ABCBCDA CDAB DCAB DAC DBA CBAa54十六十六. 分解因式分解因式例例16. 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除？能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除？ 分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=235 7 1113。a55十七十七. 遞推公式遞推公式 17. 10人有相應(yīng)的人有相應(yīng)的10個(gè)指紋檔案，每個(gè)指?jìng)€(gè)指紋檔案，每個(gè)指紋檔案上都記錄有相應(yīng)人的指紋痕跡，并紋檔案上都記錄有相應(yīng)人的指紋痕跡，

28、并有檢測(cè)指示燈和檢測(cè)時(shí)的手指按鈕，有檢測(cè)指示燈和檢測(cè)時(shí)的手指按鈕，10人人某人把手指按在鍵鈕上，若是他的檔案，某人把手指按在鍵鈕上，若是他的檔案，則指示燈出現(xiàn)綠色，否則出現(xiàn)紅色，現(xiàn)在則指示燈出現(xiàn)綠色，否則出現(xiàn)紅色，現(xiàn)在這這10人把手指按在人把手指按在10個(gè)指紋檔案的鍵鈕上個(gè)指紋檔案的鍵鈕上去檢測(cè)，規(guī)定一個(gè)人只能在一個(gè)檔案上去去檢測(cè)，規(guī)定一個(gè)人只能在一個(gè)檔案上去檢測(cè)，并且兩個(gè)人不能在同一檔案上去檢檢測(cè)，并且兩個(gè)人不能在同一檔案上去檢測(cè)，這時(shí)指示燈全部出現(xiàn)紅色，這樣的情測(cè)，這時(shí)指示燈全部出現(xiàn)紅色，這樣的情況共有況共有 種。種。 a56分析：此題相當(dāng)于十個(gè)編號(hào)為1到10的球放入十個(gè)編號(hào)為1到10的盒子里，要求每個(gè)盒子只盛一個(gè)球，并且球和盒子編號(hào)不能相同，求放法總數(shù)。a57nnnnnnnaniii 1.)inainaanaa2121 設(shè)有 個(gè)球和盒子時(shí)的放法總數(shù)為 ，則 1.先安排1號(hào)球，共有 1種方法； 2.此時(shí)不妨設(shè)1號(hào)球安排在第 （1）個(gè)位置，再安排第 個(gè)球的位置，有兩種情況：第 號(hào)球放在1號(hào)盒子中時(shí)，此時(shí)剩余 2個(gè)球的放法有種方法； 2.)第 號(hào)球不放在1號(hào)盒子中時(shí)，此時(shí)剩余 1個(gè)球的放法有種方法；故 （ 1）（）.a58234