數(shù)理統(tǒng)計方法2-2

1、2.4 數(shù)理統(tǒng)計中幾個常用的分布下面介紹幾個數(shù)理統(tǒng)計中常用的分布。2.4.1 分布 定義2.1 若有相互獨(dú)立，則稱 所服從的分布為自由度是 的 分布，記為 。 分布的概率密度為 分布的圖像見圖2-2 。 分布的概率密度有下列性質(zhì)： （1） 當(dāng)時，有 。 （2） 當(dāng)時，有 。 （3） 當(dāng)時，取到最大值。 定理2.2 如果 ，則 。 證 因為 ，根據(jù) 分布的定義，可以推知，必有相互獨(dú)立，使得 。 因為，所以， 。因此有 。定理2.3 如果有 ，相互獨(dú)立，則 。即 分布具有可加性。證 因為 ，根據(jù) 分布的定義，可以推知，必有相互獨(dú)立，使得 ；必有 相互獨(dú)立 ，使得 。因為 與 相互獨(dú)立，所以 ， 相

2、互獨(dú)立。這時 是個相互獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和，由 分布的定義，可知 。2.4.2 分布定義2.2 若有，相互獨(dú)立，則稱 所服從的分布為自由度是 的 分布，記為 。分布的概率密度為 ， 。 分布的圖像見圖2-3 。 分布的概率密度有下列性質(zhì)：（1） 關(guān)于左右對稱。（2） 當(dāng)時，有 。（3） 當(dāng)時，取到最大值。（4） 當(dāng)時，換句話說，時， 分布的極限就是 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。2.4.3 分布定義2.3 若有 ，相互獨(dú)立，則稱 所服從的分布為自由度是 的 分布，記為 。分布的概率密度為分布概率密度的圖像見圖2-4 。分布的概率密度有下列性質(zhì)：（1） 當(dāng)時，有 。（2） 當(dāng)時，有 。（3）

3、 當(dāng) 時，取到最大值。定理2.4 如果 ，則必有 。證 因為 ，由 分布的定義可知，必有 ，相互獨(dú)立，使得 。這時 ，根據(jù) 分布的定義，立即可推知 。2.5 正態(tài)總體統(tǒng)計量的分布在作統(tǒng)計推斷時，往往需要知道統(tǒng)計量的分布，而統(tǒng)計量的分布又與總體的分布有關(guān)。在大多數(shù)實際問題中，可以認(rèn)為或近似認(rèn)為總體服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布的總體，稱為正態(tài)總體。下面給出幾個有關(guān)正態(tài)總體統(tǒng)計量分布的定理。定理2.5 設(shè)（）是總體 的樣本，是樣本均值，則有 ，即有 。 證 是的線性函數(shù)，而中的每一個都服從正態(tài)分布，而且相互獨(dú)立，在概率論中，我們已經(jīng)知道：相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布，因此，這里的服從正態(tài)分

4、布。由前面2.3節(jié)的定理2.1可知， ， ，所以有 ，即有 。 為了證明下面的定理，先給出一些定義。 定義2.4 設(shè)是個隨機(jī)變量。稱 為維隨機(jī)向量， 為的數(shù)學(xué)期望向量， 為的協(xié)方差矩陣。定理2.6 設(shè) 為維隨機(jī)向量， 為常數(shù)矩陣，則有 ， 。證 因為 ，所以 。 。 。定理2.7（Cochran定理） 設(shè),相互獨(dú)立，。其中，都是的線性組合的平方和，已知 的自由度為，。則 ，相互獨(dú)立的充分必要條件是 。說明 “的自由度”定義如下：如果是項線性組合的平方和，而這項線性組合又滿足個相互獨(dú)立的線性關(guān)系式，的自由度就是。 例如，它是3項的平方和，但這3項又滿足1個線性關(guān)系式：，所以，的自由度是。 又例如

5、，?？梢园芽醋魇?項的平方和，但這2項又滿足1個線性關(guān)系式：，所以，的自由度是。也可以把看作，它是1項的平方和，滿足0個線性關(guān)系式，所以，的自由度是。盡管看法不同，的自由度始終保持不變。 證 先證明必要性。 因為 ，相互獨(dú)立，由分布的可加性可知。 另一方面，因為,相互獨(dú)立，由分布的定義可知。 對比上面兩式，可知必有。 再證明充分性。 設(shè)已知有。 因為 是 的線性組合的平方和，自由度為 ，所以由矩陣?yán)碚摽芍?是一個 的秩為的非負(fù)定二次型，可以表示為下列形式： ， 。因此有 。 因為已知，所以是項的平方和，可以將（，）重新編號為。于是有 ，由此可見，從到的變換，是一個正交變換，即有 ，其中是正交

6、陣，有。因為,相互獨(dú)立，所以 ， 。由定理2.6可知， ， 。再加上 都是 的線性組合，都服從正態(tài)分布，所以有,而且相互獨(dú)立，即 ,，,而且相互獨(dú)立。 所以，由分布定義可知，而且 相互獨(dú)立。 定理2.8（Fisher引理） 設(shè)（）是總體 的樣本，是樣本均值，是樣本方差，是修正樣本方差，則有 （1）與（或與）相互獨(dú)立 ； （2） 。證 因為（）是 的樣本，所以，相互獨(dú)立。 。其中，是項的平方和，但這項又滿足1個線性關(guān)系式：，所以，的自由度 。是1項的平方和，滿足0個線性關(guān)系式，所以，的自由度 。 因為 ，所以由定理2.7（Cochran 定理）可知： ， ，而且與相互獨(dú)立，即與（或與）相互獨(dú)立。

7、定理2.9 設(shè)（）是總體 的樣本，是樣本均值， 是樣本方差，則有 。證 由定理2.5可知 , 根據(jù) 分布的定義有 。由定理2.8可知 ，而且與相互獨(dú)立，即 與 相互獨(dú)立，在前面2.4節(jié)的定理2.3中，我們證明了分布具有可加性，所以 。 定理2.10 設(shè)（）是總體 的樣本，是樣本均值，是修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則有 。證 由定理2.5可知 。由定理2.8可知 ，而且與相互獨(dú)立，即 與 相互獨(dú)立，所以，根據(jù) 分布的定義，有 。定理2.11 設(shè) （）是總體 的樣本，（）是總體 的樣本，兩個樣本相互獨(dú)立， 是 ， 的樣本均值，則有 。證 由定理2.5可知 ， ，它們相互獨(dú)立（因為兩個樣本相互獨(dú)立），所以 ，即有 。定理2.12 設(shè) ）是總體 的樣本，（）是總體 的樣本，其中 ，兩個樣本相互獨(dú)立， 是 ， 的樣本均值， 是 ， 的修正樣本方差，則有 ，其中， 。證 設(shè) 。由定理2.11可知 。 另外由定理2.8可知 ， ，它們相互獨(dú)立（因為兩個樣本相互獨(dú)立），由于分布具有可加性，所以 。 又因為 與 相互獨(dú)立， 與 相互獨(dú)立，兩個樣本又相互獨(dú)立，因此 與 相互獨(dú)立。所以，根據(jù) 分布的定義，有 。定理2.13 設(shè) （）是總體 的樣本，（）是總體 的樣本，兩個樣本相互獨(dú)立， 是 ， 的樣本均值， 是 ， 的樣本方差，則有 。證 由定理2.9可知 ，它們相互獨(dú)立（因為兩