三角函數(shù)課件課件

1、問題情境問題情境學生活動學生活動意義建構(gòu)意義建構(gòu)數(shù)學理論數(shù)學理論數(shù)學運用數(shù)學運用弧度弧度周期現(xiàn)象周期現(xiàn)象任意角任意角三角函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)線三角函數(shù)線同角三角函數(shù)關系同角三角函數(shù)關系誘導公式誘導公式三角函數(shù)圖象性質(zhì)三角函數(shù)圖象性質(zhì)綜合運用綜合運用（1）任意角、弧度）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化的互化（2）三角函數(shù)）三角函數(shù) 借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義弦、正切）的定義借助單位圓中的三角函數(shù)線推導出誘導公式借助單位圓中的三角函數(shù)線推導出誘導公式（/2, 的正

2、弦、余弦、正切），能畫出的正弦、余弦、正切），能畫出y=sin x, y=cos x, y=tan x的圖象，了解三角函數(shù)的圖象，了解三角函數(shù)的周期性的周期性借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0，2，正切函數(shù)在（正切函數(shù)在（-/2，/2）上的性質(zhì)（如單調(diào)性、）上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與最大和最小值、圖象與x軸交點等）軸交點等）1引言引言提供背景：提供背景：自然界廣泛地存在著周期性現(xiàn)象，自然界廣泛地存在著周期性現(xiàn)象，圓周上一點的運動是一個簡單又基本的例子圓周上一點的運動是一個簡單又基本的例子提出問題：提出問題：用什么樣的數(shù)學模型來刻畫周期性用什么樣的數(shù)

3、學模型來刻畫周期性運動？運動？明確任務明確任務：建構(gòu)這樣的數(shù)學模型建構(gòu)這樣的數(shù)學模型教學的起點是教學的起點是：對周期性現(xiàn)象的數(shù)學（分析）對周期性現(xiàn)象的數(shù)學（分析）研究研究教材的定位是教材的定位是：展示對周期現(xiàn)象進行數(shù)學研究展示對周期現(xiàn)象進行數(shù)學研究的過程，即建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學模型的的過程，即建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學模型的（思維）過程（思維）過程三、本章內(nèi)容的定位案例：任意角三角函數(shù)案例：任意角三角函數(shù)實際問題實際問題建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型數(shù)學模型進行研究數(shù)學模型進行研究利用數(shù)學模型解決實際問題利用數(shù)學模型解決實際問題已知已知 f(1)3，f(37)?“周而復始，重復出現(xiàn)周而復始，重復出

4、現(xiàn)”xyO425813 對于對于 ，如果存在一個非零常數(shù)，如果存在一個非零常數(shù) T，使得定義域內(nèi)的每一個，使得定義域內(nèi)的每一個x，都滿足：，都滿足： f(xT)f(x)，則函數(shù)，則函數(shù)f(x)叫做周期函叫做周期函 數(shù)數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期叫做這個函數(shù)的周期函數(shù)函數(shù)f(x)xyO4258xyO425 注：注： 定義域向數(shù)軸兩端無限延伸；定義域向數(shù)軸兩端無限延伸； 周期有無數(shù)個周期有無數(shù)個 不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期8最小正最小正周期；周期； 三角函數(shù)的周期性：三角函數(shù)的周期性： f(x)sinx f(x)cosx f(x)tanx tan( k )tan ，

5、kZ最小正周期：最小正周期：2 最小正周期：最小正周期：2 最小正周期：最小正周期： T4 T4 T4 T例例 求下列函數(shù)的周期：求下列函數(shù)的周期： f(x)sin x； g(x)sin( x )； h(x)2sin( x )； f(x)Asin( x )，其中，其中A0， 04 214 21 2| 221問題問題終 邊 的 的終 邊 的 的位置關系位置關系對 稱 的 位對 稱 的 位置關系置關系三角函數(shù)值之間三角函數(shù)值之間的關系的關系誘導公式誘導公式（1）要突出數(shù)學模型思想教學中應當充分利用章）要突出數(shù)學模型思想教學中應當充分利用章引言提供的情境，引導學生利用學習引言提供的情境，引導學生利用

6、學習函數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗，的經(jīng)驗，自覺地參與建構(gòu)刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學模型的活動，使自覺地參與建構(gòu)刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學模型的活動，使學生從學習之初就建立起從數(shù)學模型的角度看三角函學生從學習之初就建立起從數(shù)學模型的角度看三角函數(shù)的意識，在此基礎上，要充分注意運用三角函數(shù)模數(shù)的意識，在此基礎上，要充分注意運用三角函數(shù)模型解決實際問題的教學，使學生經(jīng)歷運用三角函數(shù)模型解決實際問題的教學，使學生經(jīng)歷運用三角函數(shù)模型描述周期現(xiàn)象、解決實際問題的全過程型描述周期現(xiàn)象、解決實際問題的全過程例例1在圖中，點在圖中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為

7、取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為周期為3s，且物體向右運到到距離平衡位置最遠處時開，且物體向右運到到距離平衡位置最遠處時開始計時始計時 （1）求物體對平衡位置的位移）求物體對平衡位置的位移x(cm)和時間和時間t(s)之間的之間的函數(shù)關系；函數(shù)關系；（2）求該物體在）求該物體在t5s時的位置時的位置l用什么模型描述物體的運動？用什么模型描述物體的運動？l如何確定模型中的參數(shù)？如何確定模型中的參數(shù)？l已知條件已知條件“物體向右運到到距離平衡位置最遠處時開始計時物體向右運到到距離平衡位置最遠處時開始計時”怎樣應用？怎樣應用？例例1在圖在圖1中，點中，點O為做簡諧運動的物體

8、的平衡位置，為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為周期為3s，且物體向右運到到距離平衡位置最遠處時開，且物體向右運到到距離平衡位置最遠處時開始計時始計時回顧說明：回顧說明：n注意簡諧振動中的振幅、周期、頻率、初注意簡諧振動中的振幅、周期、頻率、初相的意義；相的意義；n本題的難點在于初相的確定；本題的難點在于初相的確定；n書寫函數(shù)解析式時，需要根據(jù)自變量的實書寫函數(shù)解析式時，需要根據(jù)自變量的實際意義，書寫定義域際意義，書寫定義域. .圖2例例2如圖如圖2，某地一天從，某地一天從614時的時的溫度變化曲線

9、近似滿足函數(shù)溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x )b（1）求這一天該時段的最大溫差；）求這一天該時段的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式）寫出這段曲線的函數(shù)解析式例例3一半徑為一半徑為3m的水輪如圖的水輪如圖3所示，水輪圓心所示，水輪圓心O距離距離水面水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，如果當水輪上點圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)（圖中點從水中浮現(xiàn)（圖中點P0）開始計算時間）開始計算時間（1）將點）將點P距離水面的高度距離水面的高度z（m）表示為時間）表示為時間t(s)的的函數(shù)；函數(shù)；l時刻時刻t時，物體位于何處？時，物體位于何處？l時刻時刻t時，物體距離水面的高度

10、如時，物體距離水面的高度如 何計算？何計算？l如何確定如何確定 ？（2）點）點P第一次到達最高點大約要多少時間？第一次到達最高點大約要多少時間？例例4海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情況下，象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深洋下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深（1）選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深）選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水

11、深和時間的和時間的函數(shù)關系函數(shù)關系，并給出在整點時的水深的近似數(shù)，并給出在整點時的水深的近似數(shù)值值(精確到精確到0.001)；為什么是“12”？為什么是=0？（2）一條貨船的吃水）一條貨船的吃水深度深度（船底與水面的距離）為（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？多久？（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底的

12、安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？多久？（3）若船若船的吃水深度為的吃水深度為4m，安全間隙為，安全間隙為1.5m，該船，該船在在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時開始卸貨，吃水深度以每小時0.3m的速度減少，的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？水域？如何求交點坐標？ 三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫種數(shù)學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預測未來

13、等方面發(fā)揮著十分重周期變化規(guī)律、預測未來等方面發(fā)揮著十分重要的作用要的作用 具體的，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出具體的，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應的相應的“散點圖散點圖”，通過觀察散點圖并進行函，通過觀察散點圖并進行函數(shù)擬合而獲得具體函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)擬合而獲得具體函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應的實際問題數(shù)模型來解決相應的實際問題 實際問題通常涉及復雜的數(shù)據(jù)因此往往需實際問題通常涉及復雜的數(shù)據(jù)因此往往需要使用要使用計算機或計算器計算機或計算器平面向量平面向量幾何表示幾何表示向量的運算向量的運算加法加法數(shù)乘數(shù)乘數(shù)量積數(shù)量積向量的應用向量的應用背景背景符號表示符號表示坐

14、標表示坐標表示減法減法 小狗向西北方向逃竄，如果金錢豹向正東小狗向西北方向逃竄，如果金錢豹向正東方向追請問方向追請問: : 金錢豹能追上小狗嗎？金錢豹能追上小狗嗎？ 在四臺發(fā)動機的推動下，返回艙的速度由在四臺發(fā)動機的推動下，返回艙的速度由8米秒米秒迅速下降到迅速下降到1米米秒秒，如同一片羽毛，輕輕地落在草地上，如同一片羽毛，輕輕地落在草地上 著陸場總指揮隋起勝從耳機中聽到了費俊龍的聲音：著陸場總指揮隋起勝從耳機中聽到了費俊龍的聲音：“我是神我是神舟六號，我已著陸舟六號，我已著陸” 費俊龍、聶海勝隔著舷窗，在向人們招手費俊龍、聶海勝隔著舷窗，在向人們招手返回艙內(nèi)柔和的返回艙內(nèi)柔和的燈光，映著他們

15、的微笑這一刻，距他們離開大地燈光，映著他們的微笑這一刻，距他們離開大地4天又天又19個多小個多小時，他們的總行程為時，他們的總行程為325萬余公里（注：費俊龍萬余公里（注：費俊龍 身高身高1.68米）米）神舟六號載人飛船現(xiàn)實生活中，還有哪現(xiàn)實生活中，還有哪些量只有大小沒有方些量只有大小沒有方向？哪些量既有大小向？哪些量既有大小又有方向？又有方向？ 距離、身高、時間、質(zhì)量等距離、身高、時間、質(zhì)量等位移、力、速度、加速度、電場強度等位移、力、速度、加速度、電場強度等既有大小又有方向的量叫向量. 數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大??；代數(shù)運算、比

16、較大小；向量的定義：區(qū)別：區(qū)別：數(shù)量向量向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小. |F| |s|cosABOsFabW|F| |s|cos|a| |b|cos|F| |s|cosABOsFabW|a| |b|cos|F| |s|cos對于兩個非零向量a和b，作 a， b，則AOB(0180)叫做向量a與b的夾角OAOB數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角是，我們把數(shù)量|a| |b|cos叫做向量a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a b，即a b|a| |b|cos規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0問題：已知向量a與b的夾角為，|a|4，|b|3，分

17、別在下列條件下求a b：(1)45；(2)90；(3)120 問題：已知|a|4，|b|3，分別在下列條件下求a b：(1) ab ；(2) ab (1)當0時，a與b同向，此時，a b|a| |b|；(2)當180時，a與b反向，此時，a b|a| |b|；(3)當90時，則稱向量a與b垂直， 記作ab此時，a b0；(4)a a|a|2或|a|a a問題：問題：向量a與b的夾角為45 ，|a|4，|b|3，試求：a b，b a，(2a) b，a (2b)和2(a b)運算律(1) a bb a；(2) (a) ba (b)(a b)a b；(3) (ab) ca cb c思考：向量的數(shù)量積

18、是否滿足結(jié)合律？思考：向量的數(shù)量積是否滿足結(jié)合律？向量是既有大小又有方向的量，它既有代數(shù)特向量是既有大小又有方向的量，它既有代數(shù)特征，又有幾何特征通過向量可以實現(xiàn)代數(shù)問征，又有幾何特征通過向量可以實現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的互相轉(zhuǎn)化，所以向量是數(shù)形結(jié)題與幾何問題的互相轉(zhuǎn)化，所以向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁同時，向量也是解決許多物理問題合的橋梁同時，向量也是解決許多物理問題的有力工具的有力工具一、向量在物理中的應用一、向量在物理中的應用例如圖所示，無彈性的細繩例如圖所示，無彈性的細繩OA，OB的一端分的一端分別固定在別固定在A，B 處，同質(zhì)量的細繩處，同質(zhì)量的細繩OC 下端系著一下端系著一個稱盤，且使得個稱

19、盤，且使得OBOC，試分析，試分析OA，OB，OC 三根繩子受力的大小，判斷哪根繩受力最大三根繩子受力的大小，判斷哪根繩受力最大 受力分析解解 設設OA，OB，OC 三根繩子所受的力分別為三根繩子所受的力分別為a，b，c，則，則abc a，b的合力為的合力為cab，c|c| 如圖，在如圖，在OBCA中，中，因為因為OB OC，所以所以| OA| OB， | OA| OC即即ab，ac，所以細繩，所以細繩OA 受力最大受力最大 二、向量在數(shù)學中的應用二、向量在數(shù)學中的應用例例2 用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角已知：如圖，線段已知：如圖，線段AB為為 O的

20、直徑，點的直徑，點C為圓周為圓周上異于上異于A、B的任意一點求證：的任意一點求證：ACB是直角是直角 A BCO即即 OC AB= 0，所以所以OC AB 即即 OA(OCOB) = 0 ， OB (OCOA) = 0例例3 已知：已知：OABC， OB AC 求證：求證： OC AB 證：證： 因為因為 OABC， OB AC 所有所有 OABC = 0 ， OB AC = 0 得得 OC (OBOA) = 0，例例3 已知：已知：OABC， OB AC 求證：求證： OC AB 你能否畫出一個幾何圖形來解釋例你能否畫出一個幾何圖形來解釋例3？你知道向量等式你知道向量等式 OABC = OA

21、 AC給出的是給出的是什么幾何關系嗎？什么幾何關系嗎？C C + S S + C2 T2 T T + S2 C C + S S + C2 T2 T T + S2 本章中的三角變換公式都是由余弦的差角公式推導出來本章中的三角變換公式都是由余弦的差角公式推導出來的，化歸思想是推導這些公式的主導思想在教學中，的，化歸思想是推導這些公式的主導思想在教學中，不論是在推導公式時，還是在應用公式時，都應該自始不論是在推導公式時，還是在應用公式時，都應該自始至終地貫徹這一思想至終地貫徹這一思想如圖，有一個小山坡如圖，有一個小山坡OA，OA的長度為的長度為a，ACOC，AOC15，求坡腳線，求坡腳線OC的長度？的長度？OAC如圖，如圖，OCOAcos15a cos15.問題問題1：你會算：你會算cos15嗎？嗎？問題問題2：還有其它方法算：還有其它方法算cos15嗎？嗎？如圖，向量如圖，向量a(cos45，s