復變函數(shù)與積分變換重要知識點歸納0001

1、復變函數(shù)復習重點（一）復數(shù)的概念1復數(shù)的概念：Z x iy , x,y是實數(shù)，x Re z , y Im z .i2 1.注：一般兩個復數(shù)不比較大小，但其模（為實數(shù)）有大小2. 復數(shù)的表示 1）模：Z 一廠2 ；2）幅角：在Z 0時，矢量與X軸正向的夾角，記為 Arg Z （多值函數(shù)）；主值arg z是位于（,中的幅角3） arg z與arcta門丫之間的關系如下：xy當 x 0, argz arctan丄；xy0,arg zy arcta n 丄當x 0,Xy0,arg zy arcta n-X4）三角表示:z zcos i sin ,號。5）指數(shù)表示：z ze ，其中（二）復數(shù)的運算其中

2、argz ;注：中間一定是“ +arg z。1.加減法：若乙x! iy1,Z2X22乘除法：1）若 zX1 iy“Z2X2 iy2，則x1x2y$2i X2%x1y2zL為i%xi%Xiy?z2x2iy2x2iy2x2iy2iy2，貝U zZ2X1X2i y1y2X1X2yy:丫必2X122i 22 。X2y2X2y2z1 ei 1, z2z2 ei 2 ,貝 Ui 1 2z1z1Z2e 1 2 ； 一Z2Z2Z1Z2e 1 23. 乘冪與方根1 )若 zz (cosisin)zei，貝Uzn Z (cosnisinn) Z ein。2)若 zz (cosis in)zei，貝U1Vzcosi

3、sin2(k 0,1,2L n 1)(有 n 個相異的值)nn（三）復變函數(shù)1 復變函數(shù)：w f z，在幾何上可以看作把z平面上的一 個點集D變到w平面上的一個點集G的映射.2復初等函數(shù)1）指數(shù)函數(shù):ez ex cosy isin y , 在z平面處處可導，處處解析；且 ez ez。注：ez是以2 i為周期的周期函數(shù)。（注意與實函數(shù)不同）3）對數(shù)函數(shù)：Lnz ln z i（argz 2k ） （k 0, 1, 2L ）（多值函數(shù)）；主值：lnz In z iargz。（單值函數(shù)）Lnz的每一個主值分支lnz在除去原點及負實軸的z平面內(nèi)處處解析，且lnz 1 ；z注：負復數(shù)也有對數(shù)存在（與實函數(shù)

4、不同）3）乘幕與幕函數(shù):b bLnab bLnza e (a 0) ； z e(z 0)注：在除去原點及負實軸的z平面內(nèi)處處解析，且zbbzb14）三角函數(shù)：izizizize ee e 丄sin z,cos z, t gz2i2沁,ctgz coszcosz sin z歡迎下載20sin z,cos z在z平面內(nèi)解析，且 sin z cosz, cosz sin z注：有界性sinz 1, cosz 1不再成立；（與實函數(shù)不同）zzzz4）雙曲函數(shù) shz e ,chz e e ；2 2shz奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。shz, chz在z平面內(nèi)解析，且shz chz, chz shz。（四）解

5、析函數(shù)的概念1. 復變函數(shù)的導數(shù)1）點可導zozo z fzo2）區(qū)域可導：f z在區(qū)域內(nèi)點點可導。2. 解析函數(shù)的概念1） 點解析：f z在zo及其zo的鄰域內(nèi)可導，稱f z在zo點解析;2） 區(qū)域解析：f z在區(qū)域內(nèi)每一點解析，稱 f z在區(qū)域內(nèi)解析;3）若f（Z）在zo點不解析，稱zo為f z的奇點；3. 解析函數(shù)的運算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為 零的點）仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù);（五）函數(shù)可導與解析的充要條件 1.函數(shù)可導 的充要條件：f Z u x,y iv x,y在z x iy可導處滿足C D條件：u x, y和v x, y在 x, y可微，且在

6、x, yuvuvxyyx此時，有f zu . v ixx2.函數(shù)解析的充要條件：f Z u x, y iv x,y在區(qū)域內(nèi)解析u x,y和v x,y在x, y在D內(nèi)可微，且滿足CD條件：uxvuv, yyx此時fuvz i。xx注意:若u x,y ,v x,y在區(qū)域D具有 階連續(xù)偏導數(shù)，則u x,y ,v x,y在區(qū)域D內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說 明u,v具有一階連續(xù)偏導且滿足 C R條件時，函數(shù)f（z） u iv 一定 是可導或解析的。3.函數(shù)可導與解析的判別方法1） 利用定義（題目要求用定義，如第二章習題1）2） 利用充要條件（函數(shù)以f Z u x,y iv x,y形式

7、給出，如第二 章習題2）3） 利用可導或解析函數(shù)的四則運算定理。（函數(shù)f z是以z的形式 給出，如第二章習題 3）（六）復變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)n1. 復變函數(shù)積分的概念：f z dz lim f k Zk , C是光滑曲線。cn k 1注：復變函數(shù)的積分實際是復平面上的線積分。2. 復變函數(shù)積分的性質(zhì)1）c f z dz c 1 f z dz （ c 1 與 c 的方向相反）；2）c f zg zdzc f z dz cg z dz,是常數(shù)；3） 若曲線c由c1與c連接而成，則f z dz f z dz f z dz。1C?3. 復變函數(shù)積分的一般計算法1） 化為線積分：f z dz udx

8、 vdy i vdx udy ;（常用于理論證明）ccc2）參數(shù)方法：設曲線 C : z z t （ t ），其中 對應曲線c的起點，對應曲線C的終點，貝yc f z dz fz t z（t）dt。（七）關于復變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論1. 柯西一古薩基本定理：設f z在單連域B內(nèi)解析，c為B內(nèi)任一 閉曲線，則?f z dz 0c2. 復合閉路定理： 設f z在多連域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任意一條 簡單閉曲線，ci,c2丄cn是c內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不 相交，并且以G丄cn為邊界的區(qū)域全含于 D內(nèi)，貝Un ?f z dz ? f z d乙 其中c與Ck均取正向；ck 1 ck ?f z

9、dz 0，其中 由c及c 1（k 1,2,L n）所組成的復合閉路。3. 閉路變形原理：一個在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)f z沿閉曲線c的 積分，不因c在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中c不經(jīng)過使f z不解析的奇點。4. 解析函數(shù)沿非閉曲線的積分：設f z在單連域B內(nèi)解析，G z 為fz在B內(nèi)的一個原函數(shù)，貝U fzdzGz2 G乙 （乙厶 B）z1說明：解析函數(shù)fz沿非閉曲線的積分與積分路徑無關，計算 時只要求出原函數(shù)即可。5. 柯西積分公式：設f z在區(qū)域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任一正向簡 單閉曲線，c的內(nèi)部完全屬于D , zc為c內(nèi)任意一點，則dz Zo2 ifZo6. 高階導數(shù)公式：解析

10、函數(shù)f z的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導數(shù)為f z (2 i n/?廠rdzf zo(n 1,2L )c(z Zo)n!其中c為f z的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞zo的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于 D7. 重要結(jié)論：2 i,0,(c是包含a的任意正向簡單閉曲線) &復變函數(shù)積分的計算方法1)若f z在區(qū)域D內(nèi)處處不解析，用一般積分法f z dzcfz t z t dt2)設f z在區(qū)域D內(nèi)解析，c是D內(nèi)一條正向簡單閉曲線，則由柯西一古薩定理，Qfzdz 0 c是D內(nèi)的一條非閉曲線，zi,z2對應曲線c的起點和終點，則有z2f z dz f z dz F z2 F zczi3)設f z在區(qū)

11、域D內(nèi)不解析曲線c內(nèi)僅有一個奇點z dz z02 i f z0f z2(z zJn1dz2 in!nz0(f(z)在c內(nèi)解析)n曲線c內(nèi)有多于一個奇點:?f z dz ?f z dz ( c內(nèi)只有一個奇點Zk )n或：?f z dz 2 i Resf（z）,Zk（留數(shù)基本定理）ck 1若被積函數(shù)不能表示成 二 ,則須改用第五章留數(shù)定理來計（Z Zo）算。（八）解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系1. 調(diào)和函數(shù)的概念：若二元實函數(shù)（x,y）在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導數(shù)2 2且滿足r r 0 ,x y（x, y）為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。2. 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系解析函數(shù)f z u iv的實部u與虛部v都是調(diào)和函數(shù)，并

12、稱虛部 v 為實部u的共軛調(diào)和函數(shù)。兩個調(diào)和函數(shù)U與v構(gòu)成的函數(shù)f （z） u iv不一定是解析函數(shù)； 但 是若U,v如果滿足柯西一黎曼方程，則U iv 一定是解析函數(shù)。3. 已知解析函數(shù)f z的實部或虛部，求解析函數(shù)f z u iv的方法。1）偏微分法：若已知實部u u x, y，利用C R條件，得；x y對兩邊積分，得 v dy g x(*)y xx再對（* ）式兩邊對x求偏導，得-dyg x( * )xxx由C R條件，uyvuu,得dyxyxxg x，可求出 g代入（* ）式，可求得虛部v dy g x 。x2 ）線積分法：若已知實部U u x, y ,利用C R條件可得dv dx d

13、y dx dy， x yy x故虛部為v ，y dx dy c ；xo, yo yx由于該積分與路徑無關，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其中xo，yo與x,y是解析區(qū)域中的兩點。3）不定積分法：若已知實部U u x,y，根據(jù)解析函數(shù)的導數(shù)公式 和C R條件得知，ru . v u . uf zii -x y x y將此式右端表示成z的函數(shù)U z，由于f z仍為解析函數(shù)，故f z U z dz c（ c為實常數(shù)）注：若已知虛部v也可用類似方法求出實部u.（九）復數(shù)項級數(shù)1. 復數(shù)列的極限1） 復數(shù)列 n an ibn （ n 1,2L ）收斂于復數(shù)a bi的充要條件為lim an a, lim

14、bn b（同時成立）nn2）復數(shù)列 n收斂 實數(shù)列佝,0同時收斂。2. 復數(shù)項級數(shù)1） 復數(shù)項級數(shù)n（ n % 4）收斂的充要條件是級數(shù)務與 b同n 0n 0n 0時收斂；2） 級數(shù)收斂的必要條件是lim n 0。n注：復數(shù)項級數(shù)的斂散性可以歸納為兩個實數(shù)項級數(shù)的斂散性問 題的討論。（十）幕級數(shù)的斂散性1. 幕級數(shù)的概念：表達式 6（Z Zo）n或CnZn為幕級數(shù)。n 0n 02. 幕級數(shù)的斂散性1） 幕級數(shù)的收斂定理一 阿貝爾定理（Abel）:如果幕級數(shù) cnzn在zo 0n 0處收斂，那么對滿足z |Z0的一切z，該級數(shù)絕對收斂；如果在Z。處發(fā)散，那么對滿足z z0的一切Z ,級數(shù)必發(fā)散。

15、2）幕級數(shù)的收斂域一圓域幕級數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法如果limnCn 1Cn0，則收斂半徑R -；根值法lim Jn 0，則收斂半徑R丄；如果0，則 R ；說明在整個復平面上處處收斂；如果，則R 0 ；說明僅在z z或z 0點收斂;注：若幕級數(shù)有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑。（如Cnz2n ） n 03. 幕級數(shù)的性質(zhì)1 ）代數(shù)性質(zhì)：設 anzn, bnzn的收斂半徑分別為R與R2 ,記 n 0n 0R min R,R2 ,則當z R時，有(anbn)znn 0na“zn 0bnzn

16、(線性運算)n 0(anZn)( bnZn)n 0n 0(anb。n 0an ibi Labn)z（乘積運算）2）復合性質(zhì)：設當則當z R時，fgr時，fan n，當 z R 時，0g z解析z angn 0zn3）分析運算性質(zhì)：設幕級數(shù)nanzn 0的收斂半徑為R 0 ,其和函數(shù)f znanzn 0是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù);在收斂圓 內(nèi)可逐項求導，收斂半徑不 變;n 1n anzn 0在收斂圓內(nèi)可逐項求積，收斂半徑不變;zf z dz0anz* 10 n 1（十一）幕函數(shù)的泰勒展開1.泰勒展開：設函數(shù)f z在圓域z z R內(nèi)解析，則在此圓域內(nèi)f zn可以展開成幕級數(shù) f zz z0n ；并且此展

17、開式是唯一的。n 0 n!注：若f z在z。解析，則f z在z。的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑R z a ；其中R為從Z0到f z的距Z0最近一個奇點a之間的距離2.常用函數(shù)在z 0的泰勒展開式1)1 n z o n!2 z2!3 z3!nz_Ln!2)3)sin z1)4)cosz3.1)_( o(2 n 1)!z2n13 z3!5 z5!(1)(2n 1)!z2仝1o(2 n)!2 z2!4 z4!L(2n)!解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法直接法：直接求出1Cnn!zo ，于是fnz zo o2)間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及幕級數(shù)的代數(shù)運算、復合運算和逐項求導、逐項求積等方法將函數(shù)展

18、開。(十二)幕函數(shù)的洛朗展開1.洛朗級數(shù)的概念：Cn z zo n ,含正幕項和負幕項n2.洛朗展開定理：設函數(shù)f z在圓環(huán)域R1 |z zj R2內(nèi)處處解析， c為圓環(huán)域內(nèi)繞zo的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內(nèi)，有f ZCn z zo n，且展開式唯一。n3. 解析函數(shù)的洛朗展開法：洛朗級數(shù)一般只能用間接法展開。*4 .利用洛朗級數(shù)求圍線積分：設f z在r z勾R內(nèi)解析，c為r z z R內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，貝U ?cf z dz 2 ic 1。其中C1為f(z)在r |z zo R內(nèi)洛朗展開式中的系數(shù)。z Zo說明：圍線積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中(z zo)1的

19、系（十三）孤立奇點的概念與分類 1。 孤立奇點的定義 ：f z在Zo點不解析，但在z的0 z Zo 內(nèi)解 析。2。孤立奇點的類型：1）可去奇點：展開式中不含z Zo的負幕項；2fz CoZZo C2ZZ0 L2）極點：展開式中含有限項z Z0的負幕項；CmC (m 1)m(z Zo)(z Zo)12-Co G(Z Zo) C2(Z Zo)L(z Zo)g zm 1(z Zo)其中 g z c m C （m 1）（Z Zo） L C1（z Zo）m 1 Co（z Zo）m L 在 Zo解析，且 g Zoo,m 1,Cm o ；3）本性奇點：展開式中含無窮多項z zo的負幕項；m(z Zo)1Co

20、 Cjz Zo) L Cm(z Zo)m L(z Zo)（十四）孤立奇點的判別方法1. 可去奇點：lim f z Co常數(shù)；o2. 極點：lim f zo3. 本性奇點：lim f z不存在且不為。o4. 零點與極點的關系1 ）零點的概念：不恒為零的解析函數(shù)f Z ,如果能表示成f Z （z Zo）m Z ,其中z在Zo解析，Zo o,m為正整數(shù)，稱Zo為f z的m級零點；2）零點級數(shù)判別的充要條件3）零點與極點的關系：Zo疋f z的m級零點zo疋的m級極點;f zzo是f z的m級零點f n z00, (n 1,2丄 m 1)mZo04）重要結(jié)論若z a分別是 z與 z的m級與n級零點，則z

21、 a是 z g z的m n級零點；當m n時，z a是一的m n級零點; z當m n時，z a是一的n m級極點;z當m n時，z a是一的可去奇點；z當m n時，z a是 zz的I級零點，l min（m,n）當m n時，z a是 z z的I級零點，其中I m（n）（十五）留數(shù)的概念1 .留數(shù)的定義：設zo為fz的孤立奇點，f z在zo的去心鄰域o |z zj 內(nèi)解析，c為該域內(nèi)包含zo的任一正向簡單閉曲線，貝y稱積分六？cfzdz為fz在zo的留數(shù)（或殘留），記作Resf z ,z。z dz2.留數(shù)的計算方法若zo是f z的孤立奇點，則Resf z ,zo c 1 ,其中C1為f z在zo的

22、去心鄰域內(nèi)洛朗展開式中（z zo） 1的系數(shù)。1）可去奇點處的留數(shù)：若zo是f z的可去奇點，貝U Res f z,z o2) m級極點處的留數(shù)法則I若z是f z的m級極點，則 dm 1R切 z,z市叫曠(z z)mf z特別地，若z是f注:z 的一級極點，貝U ReSf z，z zm(z z)f如果極點的實際級數(shù)比 m低，上述規(guī)則仍然有效。法則IIP z ,Q z在z解析，PQ z ,QP zz 則 ReEzP zQ z(十六)留數(shù)基本定理設f z在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點Zi, Z2L , Zn外處處解析，內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，z dz說明：留數(shù)定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉(zhuǎn)化為求被積2 i Res f z ,zn n 1函數(shù)f z在c內(nèi)各孤立奇點處留數(shù)的局部問題積分變換復習提綱、傅里葉變換的概念f(t)ejwtdt F(w)F 1F()F( )ejtdf(t)、幾個常用函數(shù)的傅里葉變換Fe(t)Fu(t)F (t) 1F1 2()三、傅里葉變換的性質(zhì)位移性(時域):Ff(t t0)e jwt0Ff(t)位移性(頻域):Fejw0tf(1:)F(w)w wF(ww)位移性推論：Fsin w0t f