高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)例3、如圖，一塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì)量為500kg,在它的頂點(diǎn)處分別受力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，每個(gè)力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都是60，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.這塊鋼板在這些力的作用下將會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)？這三個(gè)力最小為多少時(shí)，才能提起這塊鋼板？oABCF1F2F3500kg第1頁/共43頁例4，如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF PB交PB于點(diǎn)F。 （1）求證：PA平面EDB； （2）求證：PB 平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小。DABC

2、EPF第2頁/共43頁abOABba結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。3.1.1空間向量的運(yùn)算第3頁/共43頁平面向量概念加法減法數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算律定義 表示法 相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律abba加法交換律bkakbak )(數(shù)乘分配律)()(cbacba加法結(jié)合律類比思想 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零第4頁/共

3、43頁推廣:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量。01433221AAAAAAAAn第5頁/共43頁ABCDA1B1C1D1GM 始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量第6頁/共43頁一、共線向量:零向量與任意向量共線. 1.共線向量:空間兩向量互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量(或平行向量),記作ba/ 2.共線向量定理:對(duì)空間任意兩個(gè)向量 的充要條件是存在實(shí)數(shù)使baobba/),(,ba

4、3.1.2共線向量定理與共面向量定理第7頁/共43頁 推論:如果 為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行已知非零向量 的直線,那么對(duì)任一點(diǎn)O,點(diǎn)P在直線 上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,滿足等式OP=OA+t 其中向量a叫做直線的方向向量.llaaOABPa 若P為A,B中點(diǎn), 則12 OPOAOB假如OP=OA+tAB，則點(diǎn)P、A、B三點(diǎn)共線?？捎糜谧C明點(diǎn)共線第8頁/共43頁二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OAaa注意：空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量就不一定共面的了。第9頁/共43頁2.共面向量定理:如果兩個(gè)向量 不共線,則向量 與向量 共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì) 使,

5、 a byx,Pxayb p, a bOMabABAPp 注：可用于證明三個(gè)向量共面第10頁/共43頁 推論:空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y使 或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有 MPxMAyMB OPOMxMAyMB注意：證明空間四點(diǎn)P、M、A、B共面的兩個(gè)依據(jù) 存存在在唯唯一一實(shí)數(shù)對(duì),xyMPxMAyMB （） 使得(1)OPxOMyOAzOBxyz 其其中中，第11頁/共43頁1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若ab, 求x,y的值。2、證明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2 共面；若a=mb+nc，試求實(shí)數(shù)m、n之值。第12頁/共

6、43頁1） 兩個(gè)向量的夾角abbaba,0被唯一確定了，并且量的夾角就在這個(gè)規(guī)定下，兩個(gè)向范圍：bababa互相垂直，并記作：與則稱如果,2,OABaabb3.1.3空間向量的數(shù)量積向量a與b的夾角記作：第13頁/共43頁2）兩個(gè)向量的數(shù)量積注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。cos,a ba ba b 第14頁/共43頁3）射影eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。方向上的正射影，簡(jiǎn)稱或在上的在軸叫做向量，則上的射影在作點(diǎn)上的射影在點(diǎn)同方向的單位向量。作上與是，和軸已知向量BAleA1B1注意：是軸l上的正射影

7、,A1B1是一個(gè)可正可負(fù)的實(shí)數(shù)，它的符號(hào)代表向量與l的方向的相對(duì)關(guān)系，大小代表在l上射影的長度。第15頁/共43頁4)空間向量的數(shù)量積性質(zhì) aaababaeaaea2)30)2,cos) 1注意：性質(zhì)2）是證明兩向量垂直的依據(jù)；性質(zhì)3）是求向量的長度（模）的依據(jù)；對(duì)于非零向量 ，有：,ab第16頁/共43頁5)空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律 注意：分配律）交換律）()(3()2)()() 1cabacbaabbababa數(shù)量積不滿足結(jié)合律)()cbacba（第17頁/共43頁1、應(yīng)用 可證明兩直線垂直，2、利用 可求線段的長度。0baba22aa向量數(shù)量積的應(yīng)用第18頁/共43頁3.1.4空間向

8、量正交分解及其坐標(biāo)表示空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使得p=xa+yb+zc.空間所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zRa,b,c叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c都叫做基向量。第19頁/共43頁二、空間直角坐標(biāo)系 單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用 i , j , k 表示。則空間中任意一個(gè)向量p可表示為 p=xi+yj+zk(x,y,z)就是向量p的坐標(biāo)。第20頁/共43頁則設(shè)),(),(321321bbbbaaaa;ab;ab;a;a b/;.ab;

9、ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR112222/ababab1 122330a ba ba b第21頁/共43頁2222123| aa aaaa2222123| bb bbbb1.距離公式（1）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對(duì)角線的長度。第22頁/共43頁| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空間直角坐標(biāo)系中，已知、，則111(,

10、)A xyz222(,)B xyz（2）空間兩點(diǎn)間的距離公式終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)第23頁/共43頁cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2.兩個(gè)向量夾角公式注意：（1）當(dāng) 時(shí)，同向；（2）當(dāng) 時(shí)，反向；（3）當(dāng) 時(shí)，。cos,1 a b與 abcos,1 a b與 abcos,0 a bab思考：當(dāng) 及 時(shí)，的夾角在什么范圍內(nèi)？1cos,0 a b,10cos a b第24頁/共43頁第25頁/共43頁1、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。 （1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體

11、幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； （2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形問題）第26頁/共43頁la二、怎樣求平面法向量？第27頁/共43頁1、已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點(diǎn)，求證：（1）FC1/平面ADE（2）平面ADE/平面B1C1F證明：如圖1所示建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則有D（0，0，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、E（2，2，1）、F（0，0，1），所以 ) 1 , 2 ,

12、0(1FC)0 , 0 , 2(DA) 1 , 2 , 0(AE設(shè) ， 分別是平面ADE、平面B1C1F的法向量，則， ， ),(1111zyxn ),(2222zyxnnDAnAE第28頁/共43頁2、已知向量 則 上的單位向量為： 2 , 2, 1aa32,32,3132,32,31或同理可求) 2, 1 , 0 (2n0) 1 , 2 , 0()2, 1 , 0(n11FC11nFC/1FC21/nn（1），又FC1平面ADE，平面ADE 平面ADE/平面B1C1F（2）yzxzyAExDA2002n02n11取y=1，則 )2, 1 , 0(1n第29頁/共43頁設(shè)直線l,m的方向向量

13、分別為a,b，平面， 的法向量分別為u,v,則線線平行：lm a b a=kb;線面平行：l au au=0;面面平行： u v u=kv.線線垂直：l m a b ab=0;面面垂直： u v uv=0.線面垂直：l a u a=ku;三、有關(guān)結(jié)論第30頁/共43頁異面直線所成角的范圍： 0,2ABCD1D結(jié)論：coscos,CD AB |題型一：線線角3.2.3利用空間向量求空間角第31頁/共43頁題型二：線面角直線與平面所成角的范圍： 0,2ABOn題型二：線面角直線AB與平面所成的角可看成是向量與平面的法向量所成的銳角的余角，所以有 nABnABnAB,cossin第32頁/共43頁題

14、型三：二面角二面角的范圍：0, 1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO關(guān)鍵：觀察二面角的范圍第33頁/共43頁BAMNnab一、求異面直線的距離nnABnABABd,cos方法指導(dǎo):作直線a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；在直線a、b上各取一點(diǎn)A、B，作向量AB；求向量AB在n上的射影d，則異面直線a、b間的距離為方法指導(dǎo):作直線a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；在直線a、b上各取一點(diǎn)A、B，作向量AB；求向量AB在n上的射影d，則異面直線a、b間的距

15、離為3.2.4第34頁/共43頁|sin|nPAnPAnPAnPAPAPOd如圖點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，平面的法向量為n,過點(diǎn)P作平面的垂線PO，記PA和平面所成的角為，則點(diǎn)P到平面的距離nAPO二、求點(diǎn)到平面的距離第35頁/共43頁例4、已知正方形ABCD的邊長為4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，求直線BD到平面GEF的距離。DABCGFExyznnPAd三、求直線與平面間距離第36頁/共43頁例5、在邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFDB的距離。

16、ABCDA1B1C1D1MNEFxyznnPAd四、求平行平面與平面間距離第37頁/共43頁怎樣建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系？怎樣證明平面ADE平面ACE？如何求平面ADE、平面ACE的法向量？一個(gè)平面的法向量有多少個(gè)？能否設(shè)平面ADE的法向量為n=(1,y,z)?這樣做有什么好處？第38頁/共43頁解：分別以CB，CE所在直線為y,z軸，C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,如右下圖,設(shè)正三角形ABC邊長為2則C(0,0,0)、E(0,0,2)、D(0,2,1)、B(0,2,0)、A( 31 0)， ，設(shè)N為AC中點(diǎn)，則N 連接BN，ABC為正三角形，BNAC，EC平面ABC, BNEC,又AC

17、EC=C, BN 平面ACE.因此可取向量 為平面ACE的法向量.那么BN 設(shè)平面ADE的法向量為n=(1,y,z),則33BN(,0).22 nnEA0DA0 3 1(0)22，第39頁/共43頁 EA ( 312)DA ( 3 1 1)(1 y z312) 0 (1 y z) ( 3 1 1) 032 3y=z33 而， ， ， ，, )( ， ， ， ，n=3 2 31)33( ， n3 2 33333BN(1) (0)0332222 ，-，平面DEA平面ACE.為了方便計(jì)算，能否取平面ACE的法向量為( 33 0)ADE(33 2 3)?， ，、平面的法向量為 ， ，第40頁/共43頁通過上例，你能說出用坐標(biāo)法解決立體幾何中問題的一般步驟嗎？步驟如下：1.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系