第七章系統(tǒng)函數(shù)

1、第七章第七章 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù))()()(ABH01110111)()()(azazazbzbzbzbzAzBzHnnnmmmm01110111)()()(asasasbsbsbsbsAsBsHnnnmmmm連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)01110111)()()(asasasbsbsbsbsAsBsHnnnmmmmniimjjmnmmpsssbpspspsssssssbsAsBsH112121)()()()()()()()()(零點(diǎn)極點(diǎn)一一、H(s)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)sjw0 (t)et (t)et (t)1111111ss

2、111ssjw011sin(t) e-t (t)sin(t) et (t)sin(t) (t) j)(j(1ss j)1j)(s1(s1j)1j)(s1(s111H(s)的極點(diǎn)分布與時(shí)域函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 (1)(1)若若H(s)的極點(diǎn)位于的極點(diǎn)位于s左半平面左半平面, ,則沖激響應(yīng)的模式為則沖激響應(yīng)的模式為衰減指數(shù)或衰減振蕩衰減指數(shù)或衰減振蕩, ,當(dāng)當(dāng)tt時(shí)時(shí), ,它們趨于零它們趨于零, ,系統(tǒng)屬于系統(tǒng)屬于穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)。(2)(2)若若H(s)的極點(diǎn)位于的極點(diǎn)位于s右半平面右半平面, ,則沖激響應(yīng)的模式為增則沖激響應(yīng)的模式為增長指數(shù)或增長振蕩長指數(shù)或增長振蕩, ,當(dāng)當(dāng)t時(shí)時(shí), ,它們趨于無

3、限大它們趨于無限大, ,系統(tǒng)屬于系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。不穩(wěn)定系統(tǒng)。(3)(3)若若H(s)的單極點(diǎn)位于虛軸（包括原點(diǎn)）的單極點(diǎn)位于虛軸（包括原點(diǎn)）, ,則沖激響應(yīng)則沖激響應(yīng)的模式為等幅振蕩或階躍函數(shù)的模式為等幅振蕩或階躍函數(shù), ,系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。4)4)若位于虛軸（包括原點(diǎn)）的極點(diǎn)為若位于虛軸（包括原點(diǎn)）的極點(diǎn)為n n重極點(diǎn)重極點(diǎn)( (n2),n2),則沖激響應(yīng)的模式呈增長形式則沖激響應(yīng)的模式呈增長形式, ,系統(tǒng)也屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)也屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。二二、 H(s)與系統(tǒng)的頻率特性與系統(tǒng)的頻率特性 若系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面， 即H(s)的收斂域包

4、含 j 軸，則wwjssHjH)()(miimiimjspjsjbsHjH11)()()()(wwwwsojwpisiAiBiiijwiijiijiieApjeBsjww令則式又可以表示為 )(11| )(|)(wwwjnijimijimejHeAeBbjHiinmmAAABBBbjH2121| )(|w幅頻響應(yīng))()()(2121nmw相頻響應(yīng)例：例：已知二階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 2022)(wssssH式中，0, 0 0, 0 。粗略畫出系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線。 wjjp2202, 1解解 H(s)有一個(gè)零點(diǎn)s1= ; 有兩個(gè)極點(diǎn)，分別為式中， 。 于是H(s)又可表示為 21)(p

5、spsssH220w由于H(s)的極點(diǎn)p1和p2都在左半平面，因此，系統(tǒng)的頻率特性為 )()()(21pjpjjsHjHjswwwww,221121pjeApjeAjBejjjwww令則H(j)又可表示為 )()(2121| )(|)(2121wwwjjjjjejHeAABeAeABejH幅頻特性和相頻特性分別為 21| )(|AABjHw21)(w(a) H(s)零、極點(diǎn)的矢量和差矢量表示；零、極點(diǎn)的矢量和差矢量表示； (b) 系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性一般情況下一般情況下, ,可以認(rèn)為可以認(rèn)為, ,若系統(tǒng)函數(shù)有一對(duì)非常若系統(tǒng)函數(shù)有一對(duì)非?？拷撦S的共軛極點(diǎn)靠近虛軸的共

6、軛極點(diǎn)p1,2= -j ，則在則在=附附近處近處, ,幅頻特性出現(xiàn)峰值幅頻特性出現(xiàn)峰值, ,相頻特性迅速減小。相頻特性迅速減小。類似地，若系統(tǒng)函數(shù)有一對(duì)非常靠近虛軸的共類似地，若系統(tǒng)函數(shù)有一對(duì)非?？拷撦S的共軛零點(diǎn)軛零點(diǎn)s1,2= -ajb，則在則在=b附近處附近處, ,幅頻特性幅頻特性出現(xiàn)谷值出現(xiàn)谷值, ,相頻特性迅速上升。相頻特性迅速上升。全通函數(shù)全通函數(shù)系統(tǒng)位于極點(diǎn)左半平面，零點(diǎn)位于右半平面，且零系統(tǒng)位于極點(diǎn)左半平面，零點(diǎn)位于右半平面，且零點(diǎn)極點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)極點(diǎn)對(duì)于j 軸互為鏡象對(duì)稱則，這種系統(tǒng)函數(shù)成軸互為鏡象對(duì)稱則，這種系統(tǒng)函數(shù)成為為全通函數(shù)全通函數(shù)，此系統(tǒng)成為，此系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)，

7、或，或全通網(wǎng)絡(luò)全通網(wǎng)絡(luò)。全通，即幅頻特性為常數(shù)，對(duì)所有頻率的信號(hào)都全通，即幅頻特性為常數(shù)，對(duì)所有頻率的信號(hào)都一律平等的傳輸。一律平等的傳輸。1N2N3N1s2s3s1p2p3p1M2M3M332211NMNMNM)()()(2222wswssssssH從對(duì)稱零點(diǎn)極點(diǎn)之和為180度逐漸減少最后為-360度swjKjH)(w)()(321321321321)(wjeMMMNNNKjHw2)(wKw| )(|wjH最小相移函數(shù)最小相移函數(shù)非最小相移網(wǎng)絡(luò)可以看成最小相移網(wǎng)絡(luò)和全通網(wǎng)非最小相移網(wǎng)絡(luò)可以看成最小相移網(wǎng)絡(luò)和全通網(wǎng)絡(luò)的極聯(lián)絡(luò)的極聯(lián)零點(diǎn)位于右半平面，矢量夾角的絕對(duì)值較大零點(diǎn)位于右半平面，矢量夾角

8、的絕對(duì)值較大零點(diǎn)為于左半平面，矢量夾角的絕對(duì)值較小零點(diǎn)為于左半平面，矢量夾角的絕對(duì)值較小定義：零點(diǎn)僅位于左半平面或虛軸上的系統(tǒng)函數(shù)稱定義：零點(diǎn)僅位于左半平面或虛軸上的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)稱為為最小相移函數(shù)，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)稱為“最小相移網(wǎng)絡(luò)最小相移網(wǎng)絡(luò)”sss相互抵消乘wjwjwj7.2 系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性一、系統(tǒng)的因果性一、系統(tǒng)的因果性因果系統(tǒng)是指響應(yīng)不出現(xiàn)于激勵(lì)之前的系統(tǒng)。即：因果系統(tǒng)是指響應(yīng)不出現(xiàn)于激勵(lì)之前的系統(tǒng)。即：對(duì)于系統(tǒng)：對(duì)于系統(tǒng)： fyf若若t t0或或 k k0時(shí)，時(shí)，f () = 0則則t t0或或 k k0時(shí)，時(shí)，yf()=0連續(xù)因果系統(tǒng)的充

9、要條件為：連續(xù)因果系統(tǒng)的充要條件為：沖激響應(yīng)：沖激響應(yīng)：h(t)=0，t 0離散因果系統(tǒng)的充要條件為：離散因果系統(tǒng)的充要條件為：單位樣值響應(yīng)：單位樣值響應(yīng)：h(k)=0，k R0二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)有界的激勵(lì)一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)有界的激勵(lì)f()所產(chǎn)生的零狀所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)態(tài)響應(yīng) yf () 也是有界時(shí)，則稱該系統(tǒng)為也是有界時(shí)，則稱該系統(tǒng)為有界有界輸入有界輸出穩(wěn)定輸入有界輸出穩(wěn)定，簡稱，簡稱穩(wěn)定穩(wěn)定。即，即，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。yffMyMf| )(|,| )(|其若LTI連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是：連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是：Mdtth )(M為有

10、限正實(shí)數(shù)為有限正實(shí)數(shù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)絕對(duì)可積。絕對(duì)可積。即即充分性：充分性：設(shè)線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入f(t)有界，即|f(t)|Mf。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)為 dtfhtfthtyf)()()(*)()(dtfhdtfhtyf| )()(|)()()(MMtyff)(若h(t)絕對(duì)可積， dhMtyff)()(fMtf | )(|由于因此必要性：必要性：所謂式 對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定是必要的，是當(dāng)h(t)不滿足絕對(duì)可積條件時(shí)，則至少有某個(gè)有界輸入f(t)產(chǎn)生無界輸出yf(t)。Mdtth )(為此，設(shè)f (t)有界，則 f(-t)也有界，并且表示為101)(sgn)(thtfh(t)0

11、 h(t)=0 h(t)0 于是有 )()()(thtfth因?yàn)?dtfhtyf)()()(若h(t)不絕對(duì)可積， 即 dh)(令t=0, 根據(jù) 則有 dhdfhyf)()()()0()()()(thtfth則yf (0)=所以，h(t) 絕對(duì)可積是必要的。如果系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，則穩(wěn)定性的充要條件為：如果系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，則穩(wěn)定性的充要條件為：Mdtth0)(s域的穩(wěn)定條件：域的穩(wěn)定條件：在在 j 軸上的一階極點(diǎn)也會(huì)使得系統(tǒng)軸上的一階極點(diǎn)也會(huì)使得系統(tǒng)不穩(wěn)定。這類系統(tǒng)成為不穩(wěn)定。這類系統(tǒng)成為邊界（臨界）穩(wěn)定系統(tǒng)邊界（臨界）穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部的全部極點(diǎn)極點(diǎn)位于的位于的 左半左半s

12、平面平面。例例：判斷下述因果系統(tǒng)是否穩(wěn)定)2)(1(3)(1ssssH2220)(wsssH（1）極點(diǎn)為s= -1和s= 2，都在s左半平面。解解:)2)(1(3)()()(11sssssHsFsY22/1122/1sss)()(111sYLty)()21221(2teett顯然輸出也有界，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。若激勵(lì)為有界輸入 (t)，則其輸出為（2）極點(diǎn)為jw0，是虛軸上的一對(duì)共軛極點(diǎn)。22020202202022)()()()()()(wwwwwssssssHsFsY)()(212sYLty)()sin(210tttw顯然，輸出不是有界信號(hào)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。若激勵(lì)為有界輸入sin(w0 t )

13、(t)，則其輸出為01110111)()()(asasbsabsbsbsbsAsBsHnnnnmmmm對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，H(s)的極點(diǎn)位于左半的極點(diǎn)位于左半s平面，平面，即即A(s)的根的實(shí)部應(yīng)為負(fù)數(shù)的根的實(shí)部應(yīng)為負(fù)數(shù)若有實(shí)根， A(s)中分解因子為(s+),其中0若有共軛復(fù)根， A(s)中分解因子為 (s+j) (s+j),其中02222)(ssjsjs對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，多項(xiàng)式多項(xiàng)式A(s)的系數(shù)的系數(shù) ai都是正實(shí)數(shù)，都是正實(shí)數(shù)，且無缺項(xiàng)。且無缺項(xiàng)。是必要條件，但是必要條件，但不是充分條件不是充分條件)43)(2(22ssss8232)(23sssssH如羅斯羅斯-霍爾

14、維茲準(zhǔn)則霍爾維茲準(zhǔn)則01110111)()()(asasbsabsbsbsbsAsBsHnnnnmmmmH(s)的分母多項(xiàng)式為0111)(asasasasAnnnnH(s)的極點(diǎn)就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項(xiàng)式霍爾維茲多項(xiàng)式。判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)則，稱為羅斯羅斯-霍霍爾維茲準(zhǔn)則爾維茲準(zhǔn)則。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則)羅羅 斯斯 陣陣 列列 羅斯判據(jù)羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則羅斯準(zhǔn)則) 指出： 多項(xiàng)式多項(xiàng)式A(s)是霍爾維茲是霍爾維茲多項(xiàng)式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為多項(xiàng)式的充分和

15、必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值正值。 若第一列元素的值不是全為正值， 則表明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符號(hào)改變的次數(shù)(從正值到負(fù)值或從負(fù)值到正值的次數(shù))等于A(s)=0在右半平面根的數(shù)目。根據(jù)羅斯準(zhǔn)則和霍爾維茲多項(xiàng)式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)相同(全為正值)，則H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面， 因而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 若羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)不完全相同， 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。2. 若A(s)的系數(shù)ai無缺項(xiàng)并且符號(hào)相同，則A(s)滿足霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件，然后進(jìn)一步再利用羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 判斷線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的方法：1. 根據(jù)霍爾維茲多項(xiàng)式

16、的必要條件檢查A(s)的系數(shù)ai (i=0, 1, 2, , n)。 若ai中有缺項(xiàng)(至少一項(xiàng)為零)，或者ai 的符號(hào)不完全相同，則A(s)不是霍爾維茲多項(xiàng)式， 故系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。例例 已知三個(gè)線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為 2321)(1232312)(5322)(233234522341sssssHsssssssHsssssH判斷三個(gè)系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。 不穩(wěn)定不穩(wěn)定H3(s)的分母為 232)(233ssssAA3(s)的系數(shù)組成的羅斯陣列為2221dc0023dc2231212002012102222120000221因?yàn)锳3(s)系數(shù)的羅斯陣列第一列元素全大于零，所以根據(jù)R-H準(zhǔn)則，H3(s)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)。 例例 圖所示為線性連續(xù)系統(tǒng)的S域方框圖表示。圖中，H1(s)為 )(1(1)(1KssssHK取何值時(shí)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。 F(s)X(s)H1(s)Yf(s)解解: 令加法器的輸出為X(s)， 則有 )()()()()()()()()(11sYsFsHsXsHsYsYsFsXfff由上式得 )()(1)()(11sFsHsHsYfKsssKsHsHsFsYsHf1011)(1)()()()(2311F(s)X(s)H1(