微積分(上)D1習題課

1、二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷 一、一、 函數(shù)函數(shù) 三、三、 極限極限 習題課習題課機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第一章 )(xfy yxoD一、一、 函數(shù)函數(shù)1. 函數(shù)的概念定義定義:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定義域 值域圖形圖形:DxxfyyxC, )(),( 一般為曲線 )設,RD函數(shù)為特殊的映射:其中機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 函數(shù)的特性有界性 , 單調(diào)性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函數(shù))(:DfDf設函數(shù)為單射, 反函數(shù)為其逆映射DDff)(:14. 復合函數(shù)給定函數(shù)鏈)(:11DfDf1)(:DDgDg則復合函數(shù)為

2、 )(:DgfDgf5. 初等函數(shù)有限個常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算與復復合而成的一個表達式的函數(shù).機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 設函數(shù),1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10 x1,xx求.)(xff解解:,13 x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函數(shù)表示與變量字母的無關的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0

3、xx設其中).(xf求令即即令即畫線三式聯(lián)立1111)(xxxxf即xxxxxff) 1(2111)()(例例2.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習1. 下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx與axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax與0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 與相同相同相同相同相同相同機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 下列各種關系式表示的 y 是否為 x 的函數(shù)? 為什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsi

4、n)3(xuuy不是不是40 x,cosx24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0,10,1)()4(33xxxxxf0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xxxyo4211, 11, 13xx1) 1(32xx,16xoxy110 x1xRx3. 下列函數(shù)是否為初等函數(shù) ? 為什么 ?0,0,)() 1 (xxxxxf2xxy1以上各函數(shù)都是初等函數(shù) .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 設,0)(,1)(,)(2xxxfexfx且求)(x及其定義域 .5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求.

5、 )5(f6. 設,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2xex1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 f5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f) (f310)10(f)7(f f)12(f) (f312)9(f66. 設,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sin)(sin2sin1sin12xxfxx3)(sin2sin1xx3)(2xxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷1. 函數(shù)連續(xù)的

6、等價形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0時當 xx有)()(0 xfxf2. 函數(shù)間斷點第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有界定理 ; 最值定理 ; 零點定理 ; 介值定理 .3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例例3. 設函數(shù))(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20

7、 xbfxblnbaln122e機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1)()(xaxbexfx有無窮間斷點0 x及可去間斷點, 1x解解:為無窮間斷點,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba為可去間斷點 ,1x) 1(lim1xxbexx極限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例4. 設函數(shù)試確定常數(shù) a 及 b .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 設 f (x) 定義在區(qū)間),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若 f (x) 在連續(xù),0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx

8、)0()(fxf)0( xf)(xf閱讀與練習閱讀與練習且對任意實數(shù)證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) .P64 題2(2), 4; P73 題5機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:P73 題題5. 證明: 若 令,)(limAxfx則給定,0,0X當Xx 時, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根據(jù)有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM則),(,)(xMxf)(xf在),(內(nèi)連續(xù),)(limxfx存在, 則)(xf必在),(內(nèi)有界.)(xfXXA1Myox機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、 極限極限1. 極限定義的等價形式 (以 為例 )0 xx

9、 Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 為無窮小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(00機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 極限存在準則及極限運算法則3. 無窮小無窮小的性質(zhì) ; 無窮小的比較 ;常用等價無窮小: 4. 兩個重要極限 6. 判斷極限不存在的方法 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5. 求極限的基本方法 例例6. 求下列極限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxx

10、sin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無窮小有界機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e則有)()(1lim0 xvxxxu復習復習: 若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 x

11、uxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 331xy例例7. 確定常數(shù) a , b , 使0)1(lim33bxaxx解解: 原式0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 當0 x時,32xx 是x的幾階無窮小?解解: 設其為x的k階無窮小,則kxxxx320lim0 C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故6

12、1k機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 閱讀與練習閱讀與練習1. 求的間斷點, 并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類可去間斷點)(lim1xfx x = 1 為第二類無窮間斷點, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 為第一類跳躍間斷點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 求.sin12lim410 xxeexxx解:xxeexxxsin12lim410 xxeeexxxxsin12lim43401xxeexxxsin12lim410 xxeexxxsin12lim4101原式 = 1