線性規(guī)劃的常見題型及其解法教師版題型全歸納好

1、課題線性規(guī)劃的常見題型及其解法答案線性規(guī)劃問題是高考的重點，而線性規(guī)劃問題具有代數(shù)和幾何的雙重形式，多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、三角、概率、解析幾何等問題交叉滲透，自然地融合在一起，使數(shù)學問題的解答變得更加新穎別致歸納起來常見的命題探究角度有：1求線性目標函數(shù)的最值2求非線性目標函數(shù)的最值3求線性規(guī)劃中的參數(shù)4線性規(guī)劃的實際應用 本節(jié)主要講解線性規(guī)劃的常見基礎類題型【母題一】已知變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z2x3y的取值范圍為()a7，23 b8，23c7，8 d7，25 求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值，間接求出z的最值【解析】畫出不

2、等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由目標函數(shù)z2x3y得yx，平移直線yx知在點b處目標函數(shù)取到最小值，解方程組得所以b(2,1)，zmin22317，在點a處目標函數(shù)取到最大值，解方程組得所以a(4,5)，zmax243523【答案】a【母題二】變量x，y滿足(1)設z，求z的最小值；(2)設zx2y2，求z的取值范圍；(3)設zx2y26x4y13，求z的取值范圍 點(x，y)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，表示點(x，y)和連線的斜率；x2y2表示點(x，y)和原點距離的平方；x2y26x4y13(x3)2(y2)2表示點(x，y)和點(3,2)的距離的平方【解析】(1)由約束條件作出

3、(x，y)的可行域如圖所示由解得a由解得c(1,1)由解得b(5,2)zz的值即是可行域中的點與連線的斜率，觀察圖形可知zmin(2)zx2y2的幾何意義是可行域上的點到原點o的距離的平方結(jié)合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，dmin|oc|，dmax|ob|2z29(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的幾何意義是：可行域上的點到點(3,2)的距離的平方結(jié)合圖形可知，可行域上的點到(3,2)的距離中，dmin1(3)4，dmax816z641求目標函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求其關(guān)鍵是準確作出可行域，理解目標函數(shù)的意義2常見的目標函數(shù)有：(1)截距型：形如zaxby求這類

4、目標函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值，間接求出z的最值(2)距離型：形一：如z，z，此類目標函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(x,y)與定點的距離；形二：z(xa)2(yb)2，zx2y2dxeyf，此類目標函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(x,y)與定點的距離的平方(3)斜率型：形如z，z，z，z，此類目標函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(x,y)與定點所在直線的斜率【提醒】注意轉(zhuǎn)化的等價性及幾何意義角度一：求線性目標函數(shù)的最值1(2014新課標全國卷)設x，y滿足約束條件則z2xy的最大值為()a10b8c3 d2【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由z2xy得y2xz，作出直線y2x，平移使之經(jīng)

5、過可行域，觀察可知，當直線經(jīng)過點a(5,2)時，對應的z值最大故zmax2528 【答案】b2(2015高考天津卷)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)zx6y的最大值為()a3 b4c18 d40【解析】作出約束條件對應的平面區(qū)域如圖所示 ，當目標函數(shù)經(jīng)過點(0,3)時，z取得最大值18【答案】c3(2013高考陜西卷)若點(x，y)位于曲線y|x|與y2所圍成的封閉區(qū)域，則2xy的最小值為()a6b2c0d2【解析】如圖，曲線y|x|與y2所圍成的封閉區(qū)域如圖中陰影部分，令z2xy，則y2xz，作直線y2x，在封閉區(qū)域內(nèi)平行移動直線y2x，當經(jīng)過點(2,2)時，z取得最小值，此時z2(2)2

6、6【答案】a角度二：求非線性目標的最值4(2013高考山東卷)在平面直角坐標系xoy中，m為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則直線om斜率的最小值為()a2 b1c d【解析】已知的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，顯然當點m與點a重合時直線om的斜率最小，由直線方程x2y10和3xy80，解得a(3，1)，故om斜率的最小值為【解析】c5已知實數(shù)x，y滿足則z的取值范圍 【解】由不等式組畫出可行域如圖中陰影部分所示，目標函數(shù)z2的取值范圍可轉(zhuǎn)化為點(x，y)與(1，1)所在直線的斜率加上2的取值范圍，由圖形知，a點坐標為(，1)，則點(1，1)與(，1)所在直線的斜率為22，點(0,0)與

7、(1，1)所在直線的斜率為1，所以z的取值范圍為(，124，)【答案】(，124，)6(2015鄭州質(zhì)檢)設實數(shù)x，y滿足不等式組則x2y2的取值范圍是()a1，2 b1，4c，2 d2，4【解析】如圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域是abc的內(nèi)部(含邊界)，x2y2表示的是此區(qū)域內(nèi)的點(x，y)到原點距離的平方從圖中可知最短距離為原點到直線bc的距離，其值為1；最遠的距離為ao，其值為2，故x2y2的取值范圍是1,4【答案】b7(2013高考北京卷)設d為不等式組所表示的平面區(qū)域，區(qū)域d上的點與點(1,0)之間的距離的最小值為_【解析】作出可行域，如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，點b(1,0

8、)到直線2xy0的距離最小，d，故最小距離為【答案】8設不等式組所表示的平面區(qū)域是1，平面區(qū)域2與1關(guān)于直線3x4y90對稱對于1中的任意點a與2中的任意點b，|ab|的最小值等于()a b4c d2【解析】不等式組，所表示的平面區(qū)域如圖所示，解方程組，得點a(1,1)到直線3x4y90的距離d2，則|ab|的最小值為4【答案】b角度三：求線性規(guī)劃中的參數(shù)9若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線ykx分為面積相等的兩部分，則k的值是()a bc d【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示由于直線ykx過定點因此只有直線過ab中點時，直線ykx能平分平面區(qū)域因為a(1,1)，b(0,4)，所以ab中點d

9、當ykx過點時，所以k【解析】a10(2014高考北京卷)若x，y滿足且zyx的最小值為4，則k的值為()a2 b2c d【解析】d作出線性約束條件的可行域當k0時，如圖所示，此時可行域為y軸上方、直線xy20的右上方、直線kxy20的右下方的區(qū)域，顯然此時zyx無最小值當k1時，zyx取得最小值2；當k1時，zyx取得最小值2，均不符合題意當1k0時，如圖所示，此時可行域為點a(2,0)，b，c(0,2)所圍成的三角形區(qū)域，當直線zyx經(jīng)過點b時，有最小值，即4k【答案】d 11(2014高考安徽卷)x，y滿足約束條件若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為()a或1 b2或c2或

10、1 d2或1【解析】法一：由題中條件畫出可行域如圖中陰影部分所示，可知a(0,2)，b(2,0)，c(2，2)，則za2，zb2a，zc2a2，要使目標函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解不唯一，只要zazbzc或zazczb或zbzcza，解得a1或a2法二：目標函數(shù)zyax可化為yaxz，令l0：yax，平移l0，則當l0ab或l0ac時符合題意，故a1或a2【答案】d 12在約束條件下，當3s5時，目標函數(shù)z3x2y的最大值的取值范圍是()a6，15b7，15c6，8d7，8【解析】由得，則交點為b(4s,2s4)，y2x4與x軸的交點為a(2,0)，與y軸的交點為c(0,4)，xys與y軸的交點為c

11、(0，s)作出當s3和s5時約束條件表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖(1)(2)中陰影部分所示(1)(2)當3s4時，可行域是四邊形oabc及其內(nèi)部，此時，7zmax8；當4s5時，可行域是oac及其內(nèi)部，此時，zmax8綜上所述，可得目標函數(shù)z3x2y的最大值的取值范圍是7，8【答案】d13(2015通化一模)設x，y滿足約束條件若z的最小值為，則a的值為_【解析】1，而表示過點(x，y)與(1，1)連線的斜率，易知a0，可作出可行域，由題意知的最小值是，即mina1【答案】1角度四：線性規(guī)劃的實際應用14a，b兩種規(guī)格的產(chǎn)品需要在甲、乙兩臺機器上各自加工一道工序才能成為成品已知a產(chǎn)品需要在甲

12、機器上加工3小時，在乙機器上加工1小時；b產(chǎn)品需要在甲機器上加工1小時，在乙機器上加工3小時在一個工作日內(nèi)，甲機器至多只能使用11小時，乙機器至多只能使用9小時a產(chǎn)品每件利潤300元，b產(chǎn)品每件利潤400元，則這兩臺機器在一個工作日內(nèi)創(chuàng)造的最大利潤是_元【解析】設生產(chǎn)a產(chǎn)品x件，b產(chǎn)品y件，則x，y滿足約束條件生產(chǎn)利潤為z300x400y畫出可行域，如圖中陰影部分(包含邊界)內(nèi)的整點，顯然z300x400y在點a處取得最大值，由方程組解得則zmax300340021 700故最大利潤是1 700元【答案】1 70015某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一個衛(wèi)兵

13、需5分鐘，生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時間不超過10小時若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤w(元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？【解析】(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100xy，所以利潤w5x6y3(100xy)2x3y300(2)約束條件為整理得目標函數(shù)為w2x3y300作出可行域如圖所示：初始直線l0：2x3y0，平移初始直線經(jīng)過點a時，w有最大值由得最優(yōu)解為a(50,50)，所以wmax550元所以每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個，騎兵50個，

14、傘兵0個時利潤最大，最大利潤為550元一、選擇題1已知點(3，1)和點(4，6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，則a的取值范圍為()a(24,7)b(7,24)c(，7)(24，) d(，24)(7，)【解析】根據(jù)題意知(92a)(1212a)0即(a7)(a24)0，解得7a24【答案】b2(2015臨沂檢測)若x，y滿足約束條件則zxy的最小值是()a3 b0c d3【解析】作出不等式組表示的可行域(如圖所示的abc的邊界及內(nèi)部)平移直線zxy，易知當直線zxy經(jīng)過點c(0,3)時，目標函數(shù)zxy取得最小值，即zmin 3【答案】a3(2015泉州質(zhì)檢)已知o為坐標原點，a(1,2)，點p的坐標

15、(x，y)滿足約束條件則z的最大值為()a2 b1c1 d2【解析】如圖作可行域，zx2y，顯然在b(0,1)處zmax2【答案】d4已知實數(shù)x，y滿足：則z2x2y1的取值范圍是()a b0，5c d【解析】畫出不等式組所表示的區(qū)域，如圖陰影部分所示，作直線l：2x2y10，平移l可知221z222(1)1，即z的取值范圍是【答案】d5如果點(1，b)在兩條平行直線6x8y10和3x4y50之間，則b應取的整數(shù)值為()a2 b1c3d0【解析】由題意知(68b1)(34b5)0，即(b2)0，b2，b應取的整數(shù)為1【答案】b6(2014鄭州模擬)已知正三角形abc的頂點a(1,1)，b(1,

16、3)，頂點c在第一象限，若點(x，y)在abc內(nèi)部，則zxy的取值范圍是()a(1，2)b(0，2)c(1，2)d(0，1)【解析】如圖，根據(jù)題意得c(1，2)作直線xy0，并向左上或右下平移，過點b(1,3)和c(1，2)時，zxy取范圍的邊界值，即(1)2z0，b0)過點a(1,1)時取最大值，ab4，ab24，a0，b0，ab(0，4【答案】b10設動點p(x，y)在區(qū)域：上，過點p任作直線l，設直線l與區(qū)域的公共部分為線段ab，則以ab為直徑的圓的面積的最大值為()a b2c3 d4【解析】作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，以ab為直徑的圓的面積的最大值s2

17、4【答案】d11(2015東北三校聯(lián)考)變量x，y滿足約束條件若使zaxy取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則實數(shù)a的取值集合是()a3,0 b3,1c0,1 d3,0,1【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示易知直線zaxy與xy2或3xy14平行時取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，即a1或a3，a1或a3【答案】b12(2014新課標全國卷)設x，y滿足約束條件且zxay的最小值為7，則a()a5 b3c5或3 d5或3【解析】法一：聯(lián)立方程解得代入xay7中，解得a3或5，當a5時，zxay的最大值是7；當a3時，zxay的最小值是7法二：先畫出可行域，然后根據(jù)圖形結(jié)合選項求解當a5時，

18、作出不等式組表示的可行域，如圖(1)(陰影部分) 圖(1) 圖(2)由得交點a(3，2)，則目標函數(shù)zx5y過a點時取得最大值zmax35(2)7，不滿足題意，排除a，c選項當a3時，作出不等式組表示的可行域，如圖(2)(陰影部分)由得交點b(1,2)，則目標函數(shù)zx3y過b點時取得最小值zmin1327，滿足題意【答案】b13若a0，b0，且當時，恒有axby1，則由點p(a，b)所確定的平面區(qū)域的面積是()a bc1 d【解析】因為axby1恒成立，則當x0時，by1恒成立，可得y(b0)恒成立，所以0b1；同理0a1所以由點p(a，b)所確定的平面區(qū)域是一個邊長為1的正方形，面積為1【答

19、案】c14(2013高考北京卷)設關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點p(x0，y0)，滿足x02y02求得m的取值范圍是()abcd【解析】當m0時，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點p(x0，y0)滿足x02y02，因此m0如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域要使可行域內(nèi)包含yx1上的點，只需可行域邊界點(m，m)在直線yx1的下方即可，即mm1，解得m【答案】c15設不等式組表示的平面區(qū)域為d若指數(shù)函數(shù)yax的圖象上存在區(qū)域d上的點，則a的取值范圍是()a(1，3 b2，3c(1，2 d3，)【解析】平面區(qū)域d如圖所示要使指數(shù)函數(shù)yax的圖象上

20、存在區(qū)域d上的點，所以1a3【解析】a16(2014高考福建卷)已知圓c：(xa)2(yb)21，平面區(qū)域：若圓心c，且圓c與x軸相切，則a2b2的最大值為()a5b29c37d49【解析】由已知得平面區(qū)域為mnp內(nèi)部及邊界圓c與x軸相切，b1顯然當圓心c位于直線y1與xy70的交點(6,1)處時，amax6a2b2的最大值為621237【解析】c17在平面直角坐標系中，若不等式組表示一個三角形區(qū)域，則實數(shù)k的取值范圍是()a(，1) b(1，)c(1，1) d(，1)(1，)【解析】已知直線yk(x1)1過定點(1，1)，畫出不等式組表示的可行域示意圖，如圖所示當直線yk(x1)1位于yx和

21、x1兩條虛線之間時，表示的是一個三角形區(qū)域所以直線yk(x1)1的斜率的范圍為(，1)，即實數(shù)k的取值范圍是(，1)當直線yk(x1)1與yx平行時不能形成三角形，不平行時，由題意可得k1時，也可形成三角形，綜上可知k1或k1【答案】d18(2016武邑中學期中)已知實數(shù)x，y滿足則z2xy的最大值為()a4 b6c8 d10【解析】區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)z2xy在點a(3,2)處取得最大值，最大值為8【答案】c19(2016衡水中學期末)當變量x，y滿足約束條件時，zx3y的最大值為8，則實數(shù)m的值是()a4 b3c2 d1【解析】畫出可行域如圖所示，目標函數(shù)zx3y變形為y，當直線過點c時

22、，z取到最大值，又c(m，m)，所以8m3m，解得m4【答案】a20(2016湖州質(zhì)檢)已知o為坐標原點，a，b兩點的坐標均滿足不等式組則tanaob的最大值等于()abc d【解析】如圖陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域，觀察圖形可知當a為(1,2)，b為(2,1)時，tanaob取得最大值，此時由于tan kbo，tan kao2，故tanaobtan ()【解析】c二、填空題21(2014高考安徽卷)不等式組 表示的平面區(qū)域的面積為_【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可知sabc2(22)4【答案】422(2014高考浙江卷)若實數(shù)x，y滿足則xy的取值范圍是_【解析】

23、作出可行域，如圖，作直線xy0，向右上平移，過點b時，xy取得最小值，過點a時取得最大值由b(1,0)，a(2,1)得(xy)min1，(xy)max3所以1xy3【答案】1,323(2015重慶一診)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z3xy的最大值為_【解析】根據(jù)約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示，z3xy，y3xz，當該直線經(jīng)過點a(2,2)時，z取得最大值，即zmax 3224【答案】424已知實數(shù)x，y滿足則wx2y24x4y8的最小值為_【解析】目標函數(shù)wx2y24x4y8(x2)2(y2)2，其幾何意義是點(2,2)與可行域內(nèi)的點的距離的平方由實數(shù)x，y所滿足的不等式組作出可

24、行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，點(2,2)到直線xy10的距離為其到可行域內(nèi)點的距離的最小值，又，所以wmin【答案】25在平面直角坐標系xoy中，m為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則|om|的最小值是_【解析】如圖所示陰影部分為可行域，數(shù)形結(jié)合可知，原點o到直線xy20的垂線段長是|om|的最小值，|om|min【答案】26(2016漢中二模)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用水3噸、煤2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用水1噸、煤3噸銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，銷售每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，若該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗水不超過13噸，煤不超過18噸，則該企業(yè)可獲得的最大利潤是_

25、萬元【解析】設生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y噸，由題意知利潤z5x3y，作出可行域如圖中陰影部分所示，求出可行域邊界上各端點的坐標，經(jīng)驗證知當x3，y4，即生產(chǎn)甲產(chǎn)品3噸，乙產(chǎn)品4噸時可獲得最大利潤27萬元【答案】2727某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表：年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤總銷售收入總種植成本)最大，則黃瓜的種植面積應為_畝【解析】設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤為z萬元，則目標函數(shù)為z(0.554x1

26、.2x)(0.36y0.9y)x0.9y線性約束條件為即畫出可行域，如圖所示作出直線l0：x09y0，向上平移至過點a時，z取得最大值，由解得a(30,20)【答案】3028(2015日照調(diào)研)若a為不等式組表示的平面區(qū)域，則當a從2連續(xù)變化到1時，動直線xya掃過a中的那部分區(qū)域的面積為_【解析】平面區(qū)域a如圖所示，所求面積為s222【答案】29(2014高考浙江卷)當實數(shù)x，y滿足時，1axy4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】畫可行域如圖所示，設目標函數(shù)zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，則a0，數(shù)形結(jié)合知，滿足即可，解得1a所以a的取值范圍是1a【答案】30(2015石家莊二檢

27、)已知動點p(x，y)在正六邊形的陰影部分(含邊界)內(nèi)運動，如圖，正六邊形的邊長為2，若使目標函數(shù)zkxy(k0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則k的值為_【解析】由目標函數(shù)zkxy(k0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，結(jié)合圖形分析可知，直線kxy0的傾斜角為120，于是有ktan 120，所以k【答案】31設m1，在約束條件下，目標函數(shù)zxmy的最大值小于2，則m的取值范圍 【解析】變換目標函數(shù)為yx，由于m1，所以10，不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，只有直線yx在y軸上的截距最大時，目標函數(shù)取得最大值顯然在點a處取得最大值，由ymx，xy1，得a，所以目標函數(shù)的最大值zmax2，所以m22m10，解得1m1，故m的取值范圍是(1,1)【答案】(1,1)32已知實數(shù)x，y滿足若目標函數(shù)zxy的最小值的取值范圍是2，1，則目標函數(shù)的最大值的取值范圍是_【解析】不等式組表示的可行域如圖中陰影部分