直線與平面垂直的判定1辛馥姍

1、直線與平面垂直的判定（直線與平面垂直的判定（1）東廈中學東廈中學 辛馥姍辛馥姍v回憶一下：直線與平面有哪幾種位置關系？回憶一下：直線與平面有哪幾種位置關系？ 直線在平面內(nèi)直線在平面內(nèi) 直線與平面相交直線與平面相交 直線與平面平行直線與平面平行判斷直線是否在平面內(nèi)，只需運用公理1如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。斜交垂直直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義這兩個圖給我們的直觀印象是什么？這兩個圖給我們的直觀印象是什么？直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義lb問題問題2：直線：直線l與平面內(nèi)不過交點與平面內(nèi)不過交點b的直線有的直線有 怎樣的關系？怎樣

2、的關系？問題問題1：直線：直線l與平面內(nèi)過交點與平面內(nèi)過交點b的直線有怎的直線有怎 樣的關系？樣的關系？ 代表地面，直線代表地面，直線l l代表旗桿，代表旗桿，那么你認為那么你認為l l與與 有什么關系？有什么關系？旗桿會垂直于地面，也就是說旗桿會垂直于地面，也就是說l l會垂直于會垂直于 旗桿會垂直與地面，也就是說旗桿會垂直與地面，也就是說 l會垂直于會垂直于 內(nèi)的任何一條直線內(nèi)的任何一條直線lp 如果直線如果直線 l 與平面與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說我們說直線直線 l 與平面與平面 互相垂直互相垂直，記作記作 l平面平面 的垂線的垂線直線直線 l 的垂面

3、的垂面垂足垂足直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義線面垂直線面垂直 線線垂直線線垂直1.如果一條直線如果一條直線 l 和一個平面內(nèi)的和一個平面內(nèi)的無數(shù)條無數(shù)條直線都直線都 垂直，則直線垂直，則直線 l 和平面和平面 互相垂直（互相垂直（ ） bcl線面垂直線面垂直 線線垂直線線垂直2. , ( )abab定義定義 直線直線 l 垂直于平面垂直于平面 ，則直線，則直線 l 垂直于平面垂直于平面中的任意一條直線。中的任意一條直線。lp 除定義外，如何判斷一條直線與平面垂直除定義外，如何判斷一條直線與平面垂直呢？呢？直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定

4、v問題問題1：如果一條直線和平面的如果一條直線和平面的一條一條直線垂直，直線垂直，此直線是否一定和平面垂直？此直線是否一定和平面垂直？lp直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定v問題問題1：如果一條直線和平面的如果一條直線和平面的一條一條直線垂直，直線垂直，此直線是否一定和平面垂直？此直線是否一定和平面垂直？v問題問題2：如果一條直線和平面的如果一條直線和平面的兩條兩條直線垂直，直線垂直，此直線是否一定和平面垂直？此直線是否一定和平面垂直？lp直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定v問題問題1：如果一條直線和平

5、面的如果一條直線和平面的一條一條直線垂直，直線垂直，此直線是否一定和平面垂直？此直線是否一定和平面垂直？v問題問題2：如果一條直線和平面的如果一條直線和平面的兩條兩條直線垂直，直線垂直，此直線是否一定和平面垂直？此直線是否一定和平面垂直？v問題問題3：如果一條直線和平面的如果一條直線和平面的無數(shù)條無數(shù)條直線垂直，直線垂直，此直線是否一定和平面垂直？此直線是否一定和平面垂直？lp直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定v問題問題1：如果一條直線和平面的如果一條直線和平面的一條一條直線垂直，直線垂直，此直線是否一定和平面垂直？此直線是否一定和平面垂直？v問題

6、問題2：如果一條直線和平面的如果一條直線和平面的兩條兩條直線垂直，直線垂直，此直線是否一定和平面垂直？此直線是否一定和平面垂直？v問題問題3：如果一條直線和平面的如果一條直線和平面的無數(shù)條無數(shù)條直線垂直，直線垂直，此直線是否一定和平面垂直？此直線是否一定和平面垂直？v問題問題4：要想讓直線與平面垂直，這條直線要想讓直線與平面垂直，這條直線至少至少要與平面內(nèi)的幾條直線垂直？要與平面內(nèi)的幾條直線垂直？ v問題問題5：要想讓直線與平面垂直，這條直線要與要想讓直線與平面垂直，這條直線要與平面內(nèi)的兩條什么樣的直線垂直？平面內(nèi)的兩條什么樣的直線垂直？ （1） 折痕折痕 ad 所在直線與桌面所在平面所在直線

7、與桌面所在平面 垂直嗎？垂直嗎？abcdabcd（2） 如何翻折才能使折痕如何翻折才能使折痕 ad 所在直線與桌面所在所在直線與桌面所在平面平面 垂直？垂直？ 當且僅當折痕當且僅當折痕 ad 是是 bc 邊上的高時，邊上的高時，ad所所在直線與桌面所在平面在直線與桌面所在平面 垂直垂直abcdabcd線線垂直線線垂直 線面垂直線面垂直直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的判定定理 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交相交直線都直線都垂直，則該直線與此平面垂直。垂直，則該直線與此平面垂直。abal判定定理判定定理線線垂直線線垂直 線面

8、垂直線面垂直空間問題空間問題 平面問題平面問題轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化al bl ab、abal 例例1 ：如圖，已知：如圖，已知 ，求證：，求證：aba,/.bbamn根據(jù)直線與平面垂直的定義根據(jù)直線與平面垂直的定義.,nama又因為又因為ab /所以所以.,nbmb又又nmnm,是兩條相交直線，是兩條相交直線，所以所以.b證明：在平面證明：在平面 內(nèi)作兩條相交內(nèi)作兩條相交 直線直線m，n因為直線因為直線 a即：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一即：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面條也垂直于同一個平面mnba即：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另

9、一條也垂直于同一個平面即：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面mba作用：可以間接證明線面垂直作用：可以間接證明線面垂直聯(lián)想記憶聯(lián)想記憶即：如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條也與這條直線垂直即：如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條也與這條直線垂直推論推論1：若：若 ，則，則/ / ,ab ac.bc推論推論3：若：若 ，則，則/ / ,a.a即：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么這條直線也垂直于另一個平面即：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么這條直線也垂直于另一個平面a推論推論2：若：若 ，則，則/ / ,a

10、b a.b推論推論2：若：若 ，則，則/ / ,ab a.b推論推論2：若：若 ，則，則/ / ,ab a例例2 2：在四棱錐：在四棱錐p-abcdp-abcd中，中，papa底面底面abcdabcd，底面，底面abcdabcd為一菱形，求證：為一菱形，求證：bdbd平面平面pac.pac.分析：分析：bdbdbdbd平面平面pacpacpapaacacpabcd例例3 3：在四棱錐：在四棱錐p-abcdp-abcd中，側(cè)棱中，側(cè)棱papa垂直于底面，底面垂直于底面，底面abcdabcd是矩形，是矩形，e e、f f分別是分別是abab、pcpc的中點，且的中點，且pa=adpa=ad，求證求

11、證：（：（1 1）cd cd pd pd（2 2）efef平面平面pcd.pcd.pabcdef分析：分析：cdpdpdcd所在平面所在平面cdpd所在平面所在平面或或cdcdadadcdcdpapa papa平面平面abcdabcdcd平面平面pad例例3 3：在四棱錐：在四棱錐p-abcdp-abcd中，側(cè)棱中，側(cè)棱papa垂直于底面，底面垂直于底面，底面abcdabcd是矩形，是矩形，e e、f f分別是分別是abab、pcpc的中點，且的中點，且pa=adpa=ad，求證求證：（：（1 1）cd cd pd pd（2 2）efef平面平面pcd.pcd.pabcdef證明證明: :（1

12、 1）paabcd平面，cdabcd平面，又 abcd是矩形，cdpacdadpaadapaad 、平面padcdpad 平面cdpd解題啟示：要證明線線垂直，可以利用線面垂直的定義，而要得到線面垂直解題啟示：要證明線線垂直，可以利用線面垂直的定義，而要得到線面垂直的條件，又需根據(jù)判定定理找到線線垂直來得證。的條件，又需根據(jù)判定定理找到線線垂直來得證。判定判定即線線垂直即線線垂直 線面垂直線面垂直 線線垂直線線垂直定義定義pdpad平面，例例3 3：在四棱錐：在四棱錐p-abcdp-abcd中，側(cè)棱中，側(cè)棱papa垂直于底面，底面垂直于底面，底面abcdabcd是矩形，是矩形，e e、f f分

13、別是分別是abab、pcpc的中點，且的中點，且pa=adpa=ad，求證求證：（：（1 1）cd cd pd pd（2 2）efef平面平面pcd.pcd.分析：分析：efef平面平面pcdpcdefefpcpc efefcdcdefefpdpdahah平面平面pcdpcdahahpcpcahahcdcdahahpdpdcdcd平面平面padpad papa=ad=ad且且h h為為pdpd的中點的中點ahfeahfe為平行四邊形為平行四邊形取取pdpd的中點的中點h h，連接，連接ahah、fhfh.b推論推論2：若：若 ，則，則/ / ,ab aef ahef ahpabcdefh1、在

14、三棱錐、在三棱錐v-abc中，中， va=vc， ab=bc，求證：求證： vbac.avbcd分析：分析：vbacvbac所在平面所在平面acvb所在平面所在平面或或vbac所在平面所在平面acvb所在平面所在平面或或ace,ae de證明：取 中點，連接,vavc abbc,acvdac vdb平面vb vdbvbac又平面acdb又又=vddb dvddbvdb、平面即線線垂直即線線垂直 線面垂直線面垂直 線線垂直線線垂直判定判定定義定義avbcd1、在三棱錐、在三棱錐v-abc中，中， va=vc， ab=bc，求證：求證： vbac.2. 在三棱錐在三棱錐p-abc中，中，pa平面平

15、面abc，abbc，pa=ab，d為為pb的中點，的中點，求證：求證：adpc.pabcd分析：分析：adadpcpcadad平面平面pbcpbcadadpbpbadadbcbc bcbc平面平面pabpabadadpcpcbcbcpbpbbcbcabab bcbcpapa 變式：在三棱錐變式：在三棱錐p-abc中，中，pa平面平面abc，abbc，pa=ab，d為為pb的中點的中點. 過點過點a向向pc引垂線，垂足是引垂線，垂足是q求證求證：（：（1）adpc（2）dqpc.分析：分析：dqpcpabcdqdqpc所在平面所在平面pcdq所在平面所在平面或或dqpcpcdq所在平面所在平面adqpcpcaqaqpcpcadad pcpcdqdq adad平面平面pbcpbc v數(shù)學知識判定定理判定定理 證明證明線線面面空間問題空間問題 平面問題平面問題定義定義線線線線線線線線轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化v數(shù)學思想v數(shù)學方法直接法直接