數(shù)學(xué)模型第四版課后習(xí)題4—1答案

1、證券問題數(shù)學(xué)建模問題：某銀行經(jīng)理計(jì)劃用一筆資金進(jìn)行有價(jià)證劵的投資，可供購進(jìn)的證劵以及其信用等級(jí)，到期年限，收益如表所示。按照規(guī)定，市政證劵的收益可以免稅，其他證劵的收益需按50的稅率納稅。除外還有以下限制：（1） 政府及代辦機(jī)構(gòu)的證劵總共至少要購進(jìn)400萬元。（2） 所購證劵的平均信用等級(jí)不超過1.4（信用等級(jí)數(shù)字越小，信用程度越高）；（3） 所購證劵的平均到期年限步超過5年。證劵名稱證劵種類信用等級(jí)到期年限到期稅前收益%A市政294.3B代辦機(jī)構(gòu)2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5(1) 若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資？(2) 如果能夠以2.75%的利率借到不

2、超過100萬元資金，該經(jīng)理該如何操作？(3) 在1000萬元資金情況下，若證劵A的稅前收益增加為4.5%。投資應(yīng)否改變？若證劵C的稅前收益減少為4.8%，投資應(yīng)否改變？問題分析：這個(gè)投資方案的目標(biāo)是使獲取的稅后收益最大化，要做好決策應(yīng)是用多少錢購買多少不同的證劵。此決策共受到四個(gè)條件的限制，資金總額必購證劵，信用等級(jí)，到期年限。按照題目將決策變量，目標(biāo)函數(shù)和約束條件用數(shù)學(xué)符號(hào)及式子表示出來得到如下模型?；灸Ｐ停簺Q策變量：設(shè)用x1萬元購買A證劵，用x2萬元購買B證劵，用x3萬元購買C證劵，用x4萬元購買D證劵，用x5萬元購買E證劵。目標(biāo)函數(shù)：設(shè)總到期稅后收益為Z萬元，則由給出收益率可算出Z=0

3、.043 x1+0.054 x2+0.025 x3+0.022 x4+0.045 x5 約束條件：1.資金總額：所用投資金額不超過1000萬元 。 即x1+ x2+ x3+ x4 +x510推薦精選2.必購證劵政府及代辦機(jī)構(gòu)的證劵總共至少購進(jìn)400萬元即x2+ x3+ x443.信用等級(jí)：所購證劵的平均信用等級(jí)都不超過1.4，即2x1+ 2x2+ x3+ x4 +5x5x1+ x2+ x3+ x4 +x51.44.到期年限：所購證劵的平均到期年限步超過5年，即9x1+15 x2+ 4x3+3 x4 +2x5x1+ x2+ x3+ x4 +x555.非負(fù)約束x10 x20 x30 x4 0 x5

4、0為輸入方便，將（3）（4）化簡可得到該問題的基本模型 Max Z=0.043 x1+0.054 x2+0.025 x3+0.022 x4+0.045 x5 (1) x1 +x2+ x3+ x4 +x510 (2) x2+ x3+ x44 (3) 6x1+ 6x2-4x3-4x4 +36x510 (4) 4x1+10 x2- x3-2x4 -3x510 (5)x10 x20 x30 x4 0 x50 （6） 模型求解：用LINGO軟件求解輸入：model:max=0.043 *x1+0.027* x2+0.025* x3+0.022* x4+0.045* x5 ; money x1+ x2+

5、x3+ x4 +x54;credit 6*x1+ 6*x2-4*x3-4*x4 +36*x50;time 4*x1+10*x2-x3-2*x4 -3*x50 ;推薦精選end得到如下輸出:Global optimal solution found.Objective value: 0.2983636Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 5Variable Value Reduced CostX1 2.181818 0.000000X2 0.000000 0.3181818E-02X3 7.363636 0.000000X4 0.00

6、0000 0.6363636E-03X5 0.4545455 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.2983636 1.000000MONEY 0.000000 0.2983636E-01MUST 3.363636 0.000000CREDIT 0.000000 0.6181818E-03TIME 0.000000 0.2363636E-02Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable

7、 Coefficient Increase Decrease X1 0.4300000E-01 0.3500000E-02 0.1300000E-01 X2 0.2700000E-01 0.3018182E-01 INFINITY X3 0.2500000E-01 0.1733333E-01 0.5600000E-03 X4 0.2200000E-01 0.6363636E-03 INFINITY X5 0.4500000E-01 0.5200000E-01 0.1400000E-01 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable

8、RHS Increase DecreaseMONEY 10.00000 INFINITY 4.567901MUST 4.000000 3.363636 INFINITY推薦精選CREDIT 0.0 105.7143 20.00000TIME 0.0 10.00000 12.00000最優(yōu)解為x1=2.182,x2=0,x3=7.364,x4=0.454,x5=0;最優(yōu)值為Z=0.298;即證劵A,C,E分別投資2.182百萬元，7.364百萬元，0.454百萬元，最大稅后收益為0.298百萬元。結(jié)果分析：（1）由于輸出結(jié)果中的影子價(jià)格可知資金每增加100萬元，多獲收益0.0298百萬元。收差率

9、為2.98%大于2.75%所以應(yīng)進(jìn)行投資，在上面約束條件的（2）右端約束改為小于11，lingo求解結(jié)果如下：Global optimal solution found.Objective value: 0.3282000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 5 Variable Value Reduced Cost X1 2.400000 0.000000 X2 0.000000 0.3181818E-02 X3 8.100000 0.000000 X4 0.000000 0.6363636E-03 X5 0.5000000 0.

10、000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.3282000 1.000000 MONEY 0.000000 0.2983636E-01 MUST 4.100000 0.000000 CREDIT 0.000000 0.6181818E-03TIME 0.000000 0.2363636E-02由輸出結(jié)果可知，A,C,E分別投資2.4百萬元，8.1百萬元，0.5百萬元，最大收益為0.3282百萬元（2）由第一個(gè)輸出結(jié)果可知A的系數(shù)允許變化范圍，A得稅前收益可增加0.35% ，所以當(dāng)證券A的稅前收益增加到4.5%，不應(yīng)改變投資方案,由C的系數(shù)變化范圍可知C的稅前收益可減