第0章第二部分利息基礎(chǔ)

1、第二部分 利息基礎(chǔ)知識(shí)一.利息的度量二.確定年金 三.等值方程一.利息的度量1.基本概念在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，資金的周轉(zhuǎn)使用會(huì)帶來(lái)價(jià)值 的增值。資金周轉(zhuǎn)使用的時(shí)間越長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)的價(jià)值增值就越大。同時(shí)，等額的貨幣在不同時(shí)間，由于受通貨膨脹的影響，其實(shí)際價(jià)值也不同。因此，借入或出讓資金都有相應(yīng)的代價(jià)或報(bào)酬。利息：利息是借入資本需要支付的使用代價(jià)，或者是出讓資本使用權(quán)得到的報(bào)酬。利息的計(jì)算與累積函數(shù)、計(jì)息方式、投資期長(zhǎng)短有有關(guān)。本金：開(kāi)始投資滋生利息的款項(xiàng)。終值（累積值）：本金經(jīng)過(guò)一定時(shí)期后形成的總金額稱為終值，也稱為累積值。累積函數(shù)a(t)：0時(shí)刻數(shù)量為1的本金在t時(shí)刻的累積值（終值），a(0)=1，a(t)

2、可連續(xù)或間斷，a(t)單調(diào)遞增，也可單調(diào)遞減，但我們總希望它單調(diào)遞增以保證存在正的利息。t表示1元本金投資使用的時(shí)間長(zhǎng)度。時(shí)間長(zhǎng)度可以用不同的單位來(lái)度量，如分鐘、小時(shí)、日、周、月、季、三個(gè)月、半年、一年等。用來(lái)度量時(shí)間的單位稱為“度量期”或“期”，其中最常用的期是年?？傤~函數(shù)A(t): 一定額度（K個(gè)單位）的本金在t時(shí)刻的累積值稱為總額函數(shù)，它是本金與利息之和，A(0)就是本金。以I(t)表示t時(shí)刻的利息, 則 I(t)=A(t)-A(0).A(t)與a(t)的關(guān)系：A(t)=A(0)a(t)。我們稱累積函數(shù)a(t)的倒數(shù)1/a(t)為t期貼現(xiàn)因子或貼現(xiàn)函數(shù),記為v(t).把1期貼現(xiàn)因子1/a

3、(1)簡(jiǎn)稱貼現(xiàn)因子，記為v. t期貼現(xiàn)因子是為了使在t期期末的累積值為1而在開(kāi)始時(shí)投入的本金金額. 即：A(0)=1/a(t)從而，A(t)=A(0)a(t)=1/a(t)a(t)=1.我們把為了在t期期末得到某個(gè)累積值而在開(kāi)始時(shí)投入的本金金額稱為該累積值的現(xiàn)值。如：1/a(t)是在t期期末累積值1的現(xiàn)值，在t期期末累積值A(chǔ)(t)的現(xiàn)值是A(t)1/a(t)。在某種意義上，累積與貼現(xiàn)是相反的過(guò)程。a(t)為1單位本金在t期期末的累積值；而1/a(t)是t期期末1單位終值的現(xiàn)值。把從投資日起第n個(gè)度量期得到的利息金額記為 In,In=A(n)-A(n-1),n大于等于1. In為一個(gè)時(shí)間區(qū)間上所

4、得利息的量, A(n)為在一特定時(shí)刻的累積量。實(shí)際利率：某一度量期的實(shí)際利率是指該度量期內(nèi)得到的利息金額與此度量期開(kāi)始時(shí)投資的本金金額之比，通常用字母i來(lái)表示。對(duì)于實(shí)際利率保持不變的情形，i=I1/A(0)；對(duì)于實(shí)際利率變動(dòng)的情形，第n個(gè)度量期的實(shí)際利率in=In/A(n-1)=A(n)-A(n-1)/A(n-1)； 例1 某人到銀行存入1000元，第一年末他存折上的金額為1020元，第二年末他存折上的金額為1050元，問(wèn)：第一年和第二年的實(shí)際利率分別是多少？解:顯然 A(0)=1000，A(1)=1020, A(2)=1050，因此，I1=A(1)-A(0)=20，I2=A(2)-A(1)=

5、30i1=20/1000=2%, i2=30/1020=2.941%.故第一年的實(shí)際利率2%，第2年的實(shí)際利率為2.941%。2.單利和復(fù)利前面討論的實(shí)際利率是針對(duì)某一個(gè)度量期而言的，若投資期為多個(gè)或非整數(shù)個(gè)度量期，那么如何進(jìn)行利息的度量呢？最重要的度量方式有單利和復(fù)利兩種?？紤]投資一單位本金。（1）如果其在t時(shí)刻的累積值為a(t)=1+it，則該筆投資以每期單利i計(jì)息，稱這樣產(chǎn)生的利息為單利；（2）如果其在t時(shí)刻的累積值為a(t)=(1+i)t，則稱該筆投資以每期復(fù)利i計(jì)息，這樣產(chǎn)生的利息為復(fù)利。由上述定義可知：（1）若以每期單利i計(jì)息,則在1元本金的投資期間，每一度量期產(chǎn)生的利息均為i。但

6、這并不意味著其實(shí)際利率為i。實(shí)際上，對(duì)n=1，第n期的實(shí)際利率為( )(1)(1)(1)(1(1)1(1).1(1)na na nia nini ni nii n顯然， i_n 關(guān)于n單調(diào)遞減。常數(shù)的單利意味著遞減的實(shí)際利率。（2）若以每期復(fù)利i計(jì)息 。則在投資期間的不同度量期將產(chǎn)生不同的利息。即，nin11( )(1)(1)(1)(1)(1).nnnIa na niiiiia nI_n關(guān)于n單調(diào)遞增。而對(duì)于每期實(shí)際利率，有i_n=a(n)-a(n-1)/a(n-1)=I_n/a(n-1)=i.常數(shù)的復(fù)利意味著實(shí)際利率為常數(shù) 。單利只在本金上計(jì)息，而復(fù)利是利上生利的計(jì)息方式。例 2 某銀行以單

7、利計(jì)息，年息為2%，某人存入5000元，問(wèn)5年末的累積值是多少？解：A(5)=5000a(5)=5000*(1+5*2%)=5500.例 3 上例中若銀行以復(fù)利計(jì)息，其它條件不變，問(wèn)5年末的累積值是多少？解：A(5)=5000*a(5)=5000*(1+2%)5=5520.4.即5年末的累積值為5520.4元。注意：在單利和復(fù)利下，也可用各期的實(shí)際利率計(jì)算累計(jì)函數(shù)和總額函數(shù)。設(shè)第t期的實(shí)際利率為i_t, 則在單利下，A(n)=A(0)(1+i_1+i_2+i_n);a(n)= 1+i_1+i_2+i_n.在復(fù)利下，A(n)=A(0)(1+i_1)*(1+i_2)*(1+i_n);a(n)= (

8、1+i_1)*(1+i_2)*(1+i_n).例4 以10000元本金進(jìn)行5年投資，前2年的利率為5%，后3年的利率為6%。以單利和復(fù)利計(jì)算5年后的累積資金。解：在單利下，有A(5)=10000*(1+2*5%+3*6%)=12800(元)。在復(fù)利下，有A(5)=10000*(1+5%)2*(1+6%)3=13130.95（元）。3. 實(shí)際貼現(xiàn)率一個(gè)度量期的實(shí)際貼現(xiàn)率為該度量期內(nèi)取得的利息金額與期末的投資可回收金額之比，通常用字母d來(lái)表示實(shí)際貼現(xiàn)率?？梢钥闯?，實(shí)際貼現(xiàn)率d與實(shí)際利率i的定義十分類似。事實(shí)上，它們都是一個(gè)比例，而且都是利息除以投資金額。只不過(guò)實(shí)際利率i對(duì)應(yīng)的投資金額是在期初實(shí)際付

9、出的資金金額，即本金；而實(shí)際貼現(xiàn)率d對(duì)應(yīng)的投資金額是期末投資者可收回的資金金額。由定義可知，實(shí)際利率反映了單位貨幣在單位時(shí)間內(nèi)的利息額，而實(shí)際貼現(xiàn)率反映了單位貨幣在單位時(shí)間內(nèi)的貼現(xiàn)額。貼現(xiàn)額是指將應(yīng)該在將來(lái)某時(shí)期支付的金額提前到現(xiàn)在來(lái)支付時(shí)，在支付額中應(yīng)扣除的一部分金額，即扣除額。它相當(dāng)于資金投資在期初的預(yù)付利息。（貼現(xiàn)和利息的區(qū)別在于分析的出發(fā)點(diǎn)不同，利息是在本金基礎(chǔ)上的增值，貼現(xiàn)是在累積值基礎(chǔ)上的減少值，相當(dāng)于利率在每一復(fù)利計(jì)算期的起點(diǎn)時(shí)刻被計(jì)入）。類似于實(shí)際利率，也可以定義任意度量期的實(shí)際貼現(xiàn)率，令d_n為從投資日算起第n個(gè)時(shí)期的實(shí)際貼現(xiàn)率，根據(jù)定義，有( )(1),1,( )( )nn

10、IA nA ndnA nA n整數(shù)I_n為利息金額。一般而言，d_n也可能隨不同度量期而變化。然而，在復(fù)利情況下，若實(shí)際利率為常數(shù)，則實(shí)際貼現(xiàn)率也是常數(shù)。設(shè)每期實(shí)際利率為i,則1n()(1) ,()(1)(1)(1)()(1).1nnnna nia na niida niii與 n無(wú) 關(guān) 。例 5 某人到銀行存入1000元，第一年末他存折上的金額為1050元，第二年末他存折上的金額為1100元，問(wèn)：第一年和第二年的實(shí)際貼現(xiàn)率分別是多少？解：A(0)=1000,A(1)=1050,A(2)=1100, d_1=A(1)-A(0)/A(1)=50/1050=4.762%,d_2=A(2)-A(1)

11、/A(2)=50/1100=4.545%實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率都是用來(lái)度量利息的，若某人以實(shí)際貼現(xiàn)率d借款1，則實(shí)際上的本金為1-d，而利息（貼現(xiàn)）金額為d，若這筆業(yè)務(wù)的實(shí)際利率為i，則按實(shí)際利率的定義，得 i=d/(1-d),這表明，與實(shí)際貼現(xiàn)率d等價(jià)的實(shí)際利率為d/(1-d)。同時(shí)，由上等式可以求得d=i/(1+i)，即與實(shí)際利率i等價(jià)的實(shí)際貼現(xiàn)率為i/(1+i).貼現(xiàn)率d與貼現(xiàn)因子v之間也存在著重要關(guān)系。由于v=1/a(1)=1/(1+i)，從而d=i/(1+i)=iv對(duì)于這個(gè)式子我們可以這樣理解：以貼現(xiàn)率d投資1賺得的（已在期初支付）利息是d,如果該筆業(yè)務(wù)以利率度量，且等價(jià)的實(shí)際利率為i

12、,也就是說(shuō)，這筆業(yè)務(wù)如果投資1，將在期末賺得利息i，而i在期初的現(xiàn)值為iv，這個(gè)值顯然應(yīng)該等于d。此外，還可得關(guān)系式：111,1111,(1),.iidviiivddividiididid 總之，等價(jià)的利率i、貼現(xiàn)率d和貼現(xiàn)因子（折現(xiàn)因子）v之間關(guān)系如下：, (1),1111,1diidii ddivd div vididi 例6 已知某項(xiàng)投資在一年中能得到的利息金額為336元，而等價(jià)的貼現(xiàn)金額為300元，求本金額。解： 設(shè)本金為A(0). 假如他以貼現(xiàn)額300元投資A(0),則其實(shí)際本金為A(0)-300, 則實(shí)際利率為i=300/(A(0)-300), 同時(shí)，由題設(shè)A(0)*i=336于是

13、，得， 300/(A(0)-300) =336/A(0),可解出A(0)=2800(元)。4.名義利率和名義貼現(xiàn)率前面討論了實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率，“實(shí)際”一詞的主要含義在于，利息為每個(gè)度量期支付一次，或在期初，或在期末，視具體情況而定。然而，實(shí)際中往往有很多在一個(gè)度量期中利息支付不止一次或多個(gè)度量期才支付一次的情形。這時(shí)，我們稱相應(yīng)的一個(gè)度量期的利率和貼現(xiàn)率為“名義”的。例如，銀行的存款年利率為3%，但假如規(guī)定一年中可以結(jié)算4次利息，則實(shí)際年終累積值肯定會(huì)超過(guò)年利率下的累積值。這時(shí)，這個(gè)年利率3%就是名義上的利率，即名義利率。再如，銀行存款年利率4%，但至少3.5年才可結(jié)算利息，這時(shí)，該年利率

14、也是名義利率。我們用 表示每一度量期支付m次利息的名義利率，這里的m可以不是整數(shù)也可以小于1。 ()mi()mi()mi()mi所謂名義利率 是指每1/m個(gè)度量期支付利息一次，而在每1/m個(gè)度量期的實(shí)際利率為 。由此可知，與 等價(jià)的實(shí)際利率I之間的關(guān)系：()1(1/)mmiim ( )/mim()mi同樣的，我們還可以定義名義貼現(xiàn)率 ，它是指每1/m個(gè)度量期支付利息一次，而在每1/m個(gè)度量期的實(shí)際貼現(xiàn)率為 。 類似的，我們也可以推導(dǎo)出名義利率與名義貼現(xiàn)之間的關(guān)系： ( )md()mdm()1(1/)mmddm()()()()mmmmididmmmm值得注意的是關(guān)于利率的描述，因?yàn)閷?shí)務(wù)中有關(guān)利率

15、的術(shù)語(yǔ)不統(tǒng)一， 而且有些術(shù)語(yǔ)存在多重含義。我們這里稱i(m)為每年計(jì)息m次的年名義利率（各計(jì)息期長(zhǎng)度相同）；d(m)為每年計(jì)息m次的年名義貼現(xiàn)率，如i(2)=6%表示每年計(jì)息2次的年名義利率為6%，也即每半年的實(shí)際利率為3%。而i(1/2)=6%表示每?jī)赡暧?jì)息一次的年名義利率為6%。例7 （1）求與實(shí)際利率8%等價(jià)的每年計(jì)息2次的年名義利率以及每年計(jì)息4次的年貼現(xiàn)率（2）已知每年計(jì)息12次的年名義貼現(xiàn)率為8%，求等價(jià)的實(shí)際利率。解：（1） (2)118%,2ii 2（1+）1(2)2(1 8%)1 27.85%.i 144 1 1.087.623%.(4)-4(4)d（1-）=1+i=1.08

16、,4d120.08(1)121.0836,8.36%.i(12)-12d（2） 1+i=(1-)12例8 求1萬(wàn)元按每年計(jì)息4次的年名義利率6%投資3年的累積值。解：34 312(3)10000(3)10000(1)10000(1).010000100001.01511956.2Aaii（ 4）12406（ 1+）4（ 元 ）5.利息力（利息強(qiáng)度）前面定義的各種利息度量方式都是用來(lái)在規(guī)定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)的利息的。實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率度量的是一個(gè)度量期內(nèi)的利息，而名義利率和名義貼現(xiàn)率則用來(lái)度量在1/m個(gè)度量期內(nèi)的利息。在很多情況下，我們還希望能度量在每一時(shí)間點(diǎn)上的利息， 也就是在無(wú)窮小時(shí)間區(qū)間上的利

17、息。這種對(duì)利息在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的度量稱為利息力或利息強(qiáng)度。這相當(dāng)于度量當(dāng)m趨于正無(wú)窮大時(shí)的1/m度量期內(nèi)的極限利息。即 考慮投資一筆資金，設(shè)在時(shí)刻t的資金金額由總額函數(shù)A(t)給出，這筆資金的變化完全由于利息的原因，即本金既不增加也不撤回。 定義 ()lim.mmi( )( )( )( )tA ta tA ta t式中， 是該投資額在時(shí)刻t的利息力（利息強(qiáng)度），即它是利息在點(diǎn)（時(shí)刻t）處的一種度量，是t時(shí)每一單位資金的變化率,或說(shuō)是資金的瞬時(shí)利率。將定義式變形：tln ( )ln ( )tdA tda tdtdt用r代替t， 然后將上式兩端在0t 上積分，得 從而， 另外，由定義式，還可得000

18、( )ln ( )ln ( )|ln,(0)tttrdA tdrA r drA rdrA0( )( )( ).(0)(0)trdrA ta tea tAa( )( ),tA tAt上式兩端在0n上積分，可得 此式解釋如下：A(n)-A(0)為度量期內(nèi)獲得的利息。微分表達(dá)式 則看成利息力為 的情況下資金A(t)在t時(shí)刻獲得的利息，將此表達(dá)式在0n上積分，即得n各度量期內(nèi)獲得的利息總額。( )tA tdt000( )( )( ) |( )(0),nnntA tdtA t dtA tA nAt例 如果 =0.01t (0=t=2),確定投資1000元在第1年末的累計(jì)值和第2年內(nèi)的利息金額。解：t10

19、200.010.0120.0120.012 0.012(1)1000 (1)100010001005.(2)(1)1000(1)1000()15.2.tdttdtAaeeIAAeAee理論上，利息強(qiáng)度可以隨時(shí)間變量的變化而變化。但是，實(shí)際上它經(jīng)常保持為常數(shù)或在各個(gè)度量期上保持為常數(shù)。如果利息力在某時(shí)間區(qū)間上為常數(shù)，那么該時(shí)間區(qū)間上的實(shí)際利率也為常數(shù)。事實(shí)上，若在n-1n之間 為常數(shù)，則有t(1)(1)( )(1)1.(1)nnnna na neeieia ne 由后一等式，可得 在復(fù)利下，也可直接利用利息力的定義求得上式： 1ln(1).eii ( )(1) (1) ln(1)( )(1)(1

20、)ln(1).ttttta tiiia tiii于是，我們得到利息力、利率、貼現(xiàn)因子之間的常用關(guān)系式如下：()1()111(1)1mmppiivmddpe 二二. .確定年金確定年金所謂的年金是指按照相等時(shí)間間隔支付的一系列款項(xiàng)。住房按揭還款、購(gòu)物分期付款及保險(xiǎn)業(yè)中的養(yǎng)老金給付、分期交付保費(fèi)等，都屬于年金的形式。年金的最初形式是以1年為時(shí)間間隔支付的一系列款項(xiàng)，隨著年金在實(shí)際生活中的運(yùn)用以及理論研究的不斷深入和擴(kuò)展，時(shí)間間隔突破了以1年為期的限制，變得可長(zhǎng)可短理論上甚至可以是連續(xù)付款，沒(méi)有時(shí)間間隔。2.1 期末（付）年金 在每個(gè)付款期間末付款的年金為期末付年金。假設(shè)一筆年金，付款期限為 期，每

21、期期末付款額為1，每期利率為 ，各期付款如圖2.1.1所示。 圖2.1.1ni（付款額）（時(shí)間） 付款期從0開(kāi)始直到 。時(shí)間1上方的付款額1為第一期付款額，可以看出，這一付款發(fā)生在首付款期 的期末。時(shí)間2上方的付款額1發(fā)生在第二付款期 的期末，依次類推，個(gè)付款期內(nèi)，都在期末付款1。所有付款在時(shí)間0時(shí)的現(xiàn)值之和之和用符號(hào) 表示，所有付款在時(shí)間 時(shí)的積累值之和之和用符號(hào) 表示。 將每期期末的付款都按利率 折現(xiàn)到時(shí)間0，再求和，算出 的值，即首期付款值1在0時(shí)刻的現(xiàn)值為 ，第二期付款值1在0時(shí)刻的現(xiàn)值為 ， ，n(01)(12)nnnainsnav2v第 期付款值 在0時(shí)刻的現(xiàn)值為 ，則有求和，可得

22、nnnv21nnnavvvv11nnvavv 1nvviv 1nvi(2.1.1)(2.1.2) 將每期期末的付款都按利率 積累到時(shí)間 ，求和，就可計(jì)算出 的值，即第 期期末付款值1在時(shí)刻 時(shí)的積累值為1，第 期期末付款值1在時(shí)刻 時(shí)的積累值為 ， ，第一期期末付款值1在時(shí)刻 時(shí)的積累值為 ， 為各積累值之和，有nnsnni1n n(1) in1(1)nins12(1)(1)(1) 1nnnsiii211 (1)(1)(1)nniii (2.1.3)簡(jiǎn)化上式，可得簡(jiǎn)式如下：式 可以寫作1(1)1(1)nnisi(1)1nii(2.1.4)(2.1.2)1nniav(2.1.5) 式 有明顯的經(jīng)

23、濟(jì)意義：公式左側(cè)表示在時(shí)刻0進(jìn)行投資，投資本金為1，公式右側(cè)表示投資的回收方式。在時(shí)刻0投資額為1，則每期期末都可獲得利息 ， 期利息的現(xiàn)值之和為 ，到 期期末，即時(shí)刻 時(shí)，即投資本金1收回，折現(xiàn)到時(shí)刻0時(shí)現(xiàn)值為 。在利率為 時(shí)，投資額與投資回報(bào)本利和的現(xiàn)值是相等的。因而，式 左右兩端相等。如圖 所示。(2.1.5)inniannnvi(2.1.5)2.1.2圖 2.1.2 圖中，時(shí)刻0下方的1為投資本金；時(shí)間軸上方的數(shù)字表示投資回收額，各期期末可得利息 ，在 期期末還可收回本金1。 各期利息及本金在時(shí)刻0的現(xiàn)值分別為（每年得到的利息）（時(shí)間)ni2321,nnnni vi vi vi vi

24、vi vv 所以 式 可以寫作 式 也有明顯的經(jīng)濟(jì)意義:將1單位本金投資 期,每期按復(fù)利 計(jì)算,在 期期末,投資積累值即本利和為 ,這是等式左邊項(xiàng)的含義。等式右邊項(xiàng)的含義是投資本金為1，每期期末產(chǎn)生利息 而每期所產(chǎn)生在利息又以利率 再投資,這樣到 期期末各積累值之和為 ,這部分是所生利息之231nnnni vi vi vi vviav(2.1.4)(1)1nniis (2.1.6)(2.1.6)nni(1)niiinnis 積累值,再加上投資本金,即為全部本利和.等式左右兩邊是一種投資結(jié)果的兩種計(jì)算方法,實(shí)質(zhì)上是相等的.如圖 所示. 與 之間有明顯的關(guān)系,式 兩端同乘以 ,可得 等式右邊即為式

25、 的表達(dá)式,因而有(2.1.3)nans(2.1.1)(1)ni12(1)(1)(1)(1) 1nnnniaiii(2.1.3)nsiiii0121nn1(1)nii2(1)nii(1)ii0(1)1ii1(到n期末積累值)(每期利息)(投資本金)1為本金圖2.1.3 式 也可由 以及式 導(dǎo)出.該式可解釋為,各期期末投資本金為1的年金積累值有兩種算法.一種是各期期末投資本金為1,直接積累到 期期末,求和即為 ,如公式左端所示.一種是先求出各期期末投資本金為1在年金現(xiàn)值,即為 ,作為時(shí)刻0時(shí)的一次投資,以復(fù)利 計(jì)算,求出 期期末的積累值即 ,如右端所示.兩種計(jì)算結(jié)果相等.(1)nnnsai(2.

26、1.7)(2.1.7)(2.1.2)(2.1.4)nnsnain(1)nnai 與 的另一種關(guān)系為式 的數(shù)學(xué)推導(dǎo)如下:nans11nnias(2.1.8)(2.1.8)1(1)1nniiisi (1)(1)1nniiiii(1)(1)1nniii1niv1na 此公式的經(jīng)濟(jì)意義為,設(shè)每期期末投資本金為 ,投資 期的本利和現(xiàn)值為1,則 .而其積累值相當(dāng)于在時(shí)刻0投資本金為1,則 期期末本利和為 ,由式 可知本利積累值的又一種表達(dá)式,即 ,這與每期期末投資 的 期積累值是等價(jià)的,即由此可得Pn1nPan(1)ni(2.1.6)1nispn1nnisP s1nPis 因此 通常 , 符號(hào)中不必標(biāo)出計(jì)

27、算所依據(jù)的利率,在一個(gè)問(wèn)題中涉及多個(gè)利率時(shí),為避免引起混淆,可寫作 , 的形式,如 等. 計(jì)算年利率為 的條件下,每年年末投資 元,投資 年的現(xiàn)值及積累值. 解解 年金現(xiàn)值為: 11nnPiasnansn ianis0.060.080.07,nnnaas例例2.1.1610001010 0.0610001000 7.360097360.9a(元) 年金積累值為: 某銀行客戶想通過(guò)零存整取方式在1年后可得 元,在月復(fù)利為 的情況下,問(wèn)每月需存入多少錢才能達(dá)到其目的. 解解 設(shè)每月需存入 元,有10 0.061000100013.1808013180.80s(元)例例2.1.2100000.5D1

28、2 0.00510000Ds1 2 0 .0 0 51 0 0 0 0Ds1000012.3356810.66(元) 客戶每月需存入 元, 年后可取得10000元. 甲在銀行存入20000元,計(jì)劃4年支取完 ,每半年支取一次,每半年計(jì)息一次的年名義利率為 .試計(jì)算每次的支取額度. 解解 由于年名義利率為 ,則半年實(shí)際利率為 . 設(shè) 為每次支取額度,有 810.661例例2.1.3773.5R8 0.03520000Ra8 0.03520000200006.8740Ra2909.51(元) 甲每次支取額度為2909.51元. 已知年實(shí)際利率為8,乙向銀行貸款10 000元 ,期限為5年,計(jì)算下面

29、三種還款方式中利息所占的額度. 貸款的本金及利息積累值在第5年末一次還清. 每年末支付貸款利息,第5年年末歸還本金. 貸款,每年均衡償還(即采用年金方式).8例例2.1.4(1)(2)(3) 解解 方式 中,還款本利和為 其中利息額為: 方式 中,每年支付利息為5年共支付利息 方式 中,每期償還額為 (1)510000 (1.08)14693.28(元)14693.28 10000 4693.28(元)(2)10000 0.08800(元)800 54000(元)(3)5年還款其中,利息額為100003.99275 0.0810000Ra2504.56(元)2504.56 5 12522.80

30、 (元)12522.80 10000 2522.80(元)2.2 期初（付）年金期初（付）年金 上一節(jié)介紹了期末付年金,與之相對(duì)應(yīng),在每個(gè)付款期間開(kāi)始時(shí)付款的年金為期初付年金.假設(shè)一個(gè) 期年金,每期期初付款額為1,每期利率為 ,各期付款如圖 所示.圖2.1.2 付款期從0時(shí)起,每期期初付款,直到第 期,各期ni2.1.211111102132n1nn(付款額)(時(shí)間)n 付款在時(shí)間0的現(xiàn)值依次為: 各現(xiàn)值和即為期初付年金現(xiàn)值,記為 ,對(duì)應(yīng)于式 ,有 求和,得相應(yīng)地,各期付款在第 期期末的積累值記為 ,且有2211, ,nnv vvvna (2.1.1)2211nnnav vvv (2.2.1)

31、1111nnnnvvvavivd(2.2.2)nns 12(1)(1)(1)(1)nnnsiiii(2.2.3) 式 與 相比,分子不同,差別在于式 分母為 ,而式 分母為 .期末付年金公式中 是利息在每期期末支付的度量標(biāo)準(zhǔn),見(jiàn)式 的解釋. 期初付年金公式中 是利息在每期期初支付的度量 21(1)(1)(1)(1)nniiii(1)1(1)(1) 1niii(1)1niiv(1)1nid(2.1.2)(2.2.2)(2.1.2)i(2.2.2)di(2.1.5)d(2.2.4)標(biāo)準(zhǔn)如下式:即 式 表明期初投資額為1,且每期期初獲得利息為,共 期,所有利息在0時(shí)刻的現(xiàn)值之和為 為 時(shí)刻初收回本金

32、1在0時(shí)刻的現(xiàn)值.如圖2.2.2所示.1nndav 1nndav(2.2.5)(2.2.5)dn,nnda vndd1dddd10d2312n1nndv2dv2ndv3dvdv1ndvnv(投資回收)(期初投資額)(各期回收0時(shí)刻現(xiàn)值，1為投資本金)圖圖2.2.2類似地,有很明顯地, 與 及 與 之間存在著一定的聯(lián)系,由式 推導(dǎo)可得(1)1nnids(1)nnnsai11nndas(2.2.8)(2.2.6)(2.2.7)nana ns ns(2.2.1)2211nnnav vvv 231nnv vvvvv 同理,由式 可得 由式 及式 ,可得 nav(1)nai(2.2.9)(2.2.3)(

33、1 )nnssi(2.2.10)(2.1.5)(2.2.1)231nnnv vvvvav1nnavv11(1)nni av同理,由式 以及 ,可得式 以及 的關(guān)系如圖 所示.111nnnaiav11na(2.2.11)(2.1.6)(2.2.3)11nnss(2.2.12)2.2.3(2.2.12)(2.2.9)11111n101nn2nana ns ns圖圖2.2.3(給付額)(時(shí)間) 圖中將時(shí)刻 的付款值看作以時(shí)刻0為起點(diǎn),就是期末付 期年金,各期付款在時(shí)刻0的現(xiàn)值就是 ;若以時(shí)刻1為起點(diǎn),就是期初付 期年金,各付款現(xiàn)值之和為 , 再向前貼現(xiàn)一期或 向后積累一期,二者即相等,如式 所示,同

34、理可解釋式 .若以時(shí)刻0為起點(diǎn),每期期末付1,共付 期,即時(shí)刻 不付款,則各期付款的現(xiàn)值為 ,而這時(shí)假設(shè)在時(shí)刻0多1單位付款,則全部付款的現(xiàn)值為 . 及 都是以時(shí)刻0為起點(diǎn)的年金現(xiàn)值,區(qū)別是 少1,2,1,nnnnanna na na(2.2.9)(2.2.10)1nn1nana 1nana 1na 一個(gè)時(shí)刻0時(shí)的單位付款額1,而這一付款的現(xiàn)值為1,因而有式 . 在例2.1.2中,若存款該為每月月初進(jìn)行, 其他條件不變,計(jì)算每月需存入的款項(xiàng). 解解 由題設(shè)知,每月存入的款項(xiàng)構(gòu)成期初付年金,設(shè)每月月初存款額為 ,有(2.2.11)例例2.2.1D12 0.0510000Ds12 0.051000

35、0Ds1000012.3972806.63(元) 客戶每月月初需存入 元,才可以在1年后獲10000元. 例2.2.1中, 是直接計(jì)算的,也可以通過(guò) 計(jì)算,結(jié)果相同.806.6312 0.05s 12 0.0512 0.05(1.005)ss2.3 任意時(shí)刻的年金值 前兩節(jié)對(duì)時(shí)刻0的年金現(xiàn)值及時(shí)刻 的年金積累值進(jìn)行了計(jì)算(包括期末付年金與期初付年金).不論在理論上還是在實(shí)務(wù)中,都會(huì)遇到要求計(jì)算任意時(shí)刻年金值 的問(wèn)題( 時(shí)為年金現(xiàn)值, 時(shí)為年金終值 ),如延期年金的現(xiàn)值.所謂延期年金現(xiàn)值,就是以當(dāng)前時(shí)刻為0時(shí)刻點(diǎn),在0時(shí)刻以后若干時(shí)期后開(kāi)始按期支付的年金.相當(dāng)于支付前向后推移若干期間,而計(jì)算現(xiàn)值

36、的時(shí)刻不變.一般而言,有三種時(shí)刻的年金值需要計(jì)算(1) 首期付款前某時(shí)刻的年金現(xiàn)值.(2) 最后一期付款后某時(shí)刻的年金積累值;n( )V t0t tn (3) 付款期間某時(shí)刻的年金當(dāng)前值.這里假定各計(jì)算年金現(xiàn)值時(shí)刻都是整數(shù)時(shí)刻,即距各付款時(shí)刻的距離為付款期間的整數(shù)倍.這些時(shí)刻的年金現(xiàn)值或積累值都可以通過(guò)計(jì)算每次付款在該時(shí)刻的現(xiàn)值或積累值的方法來(lái)進(jìn)行,但較為復(fù)雜,應(yīng)該通過(guò)已有的公式,尋找較為簡(jiǎn)便的方法. 下面通過(guò)一個(gè)例子(見(jiàn)圖2.3.1)說(shuō)明這三種時(shí)刻的年金值(現(xiàn)值或積累值). 圖中,付款次數(shù) ,首次付款發(fā)生在時(shí)刻 ,末次付款發(fā)生在時(shí)刻 ,則時(shí)刻0時(shí)的年金現(xiàn)值就是延期年金現(xiàn)值,相當(dāng)于第(1)種;

37、時(shí)刻10時(shí)的年金積累值相當(dāng)于第(2)種;時(shí)刻4時(shí)的年金當(dāng)前值相當(dāng)于第(3)種.另外這5次付款在時(shí)刻0時(shí)的年金現(xiàn)值是一個(gè)5期的期末付款額為1的年金現(xiàn)值即 ;在時(shí)刻1的年金現(xiàn)51111110123456789105a（時(shí)間）(給付額)5a 5s5s 圖圖2.3.155a 值是 ,在時(shí)刻5的年金積累值為 ,在時(shí)刻6的年金積累值為 . 2.3.1 在首期付款前某時(shí)刻的年金現(xiàn)值在首期付款前某時(shí)刻的年金現(xiàn)值 如時(shí)刻0時(shí)的年金現(xiàn)值,以 表示.在圖2.3.1中,可以通過(guò)時(shí)刻1或2的年金現(xiàn)值折現(xiàn)來(lái)計(jì)算,即 或 也可通過(guò)年金現(xiàn)值間加減的方法(即不通過(guò)年金的折現(xiàn))來(lái)計(jì)算.假設(shè)時(shí)刻1有1單位付款,則0時(shí)刻包含這一付款

38、的年金現(xiàn)值為 ,而這一付款在0時(shí)刻的年5a 5s5s (0)V5(0)Vva 5a6a 金現(xiàn)值為 ,這樣,已知的5次付款在時(shí)刻0時(shí)的年金現(xiàn)值為 ;另外,設(shè)是時(shí)刻0還有1單位的付款,則0時(shí)刻包含這兩個(gè)假設(shè)付款的年金現(xiàn)值為 ,而這兩個(gè)付款的年金現(xiàn)值為 ,因此 根據(jù)年金折現(xiàn)法及年金加減的方法計(jì)算出的同一時(shí)刻的年金現(xiàn)值應(yīng)該是相等的,即有及將上式一般化,有1a61aa7a 2a 72(0).Vaa5612572vaaav aaa 及 2.3.2 在最后一期付款后某時(shí)刻的年金積累值在最后一期付款后某時(shí)刻的年金積累值 如在時(shí)刻10時(shí)的年金積累值,以 表示.在這種情況下, 相當(dāng)于將時(shí)刻6的期末付5期年金積累值

39、視為一次性投資,再經(jīng)過(guò)4期積累,所得的本利和為 也可視為時(shí)刻7時(shí)的期初付5期年金的積累值,mnm nmmnm nmv aaav aaa(2.3.1)(2.3.2)(10)V(10)V45(10)(1)Vsi(10)V再經(jīng)過(guò)3期復(fù)利積累所得的本利和.即根據(jù)式 ,說(shuō)明上式與通過(guò)期末付款法計(jì)算結(jié)果相同. 另外,時(shí)刻10時(shí)的年金積累值也可由兩個(gè)年金的加減計(jì)算,不通過(guò)年金再積累.假設(shè)在時(shí)刻7 時(shí)刻10各有一個(gè)單位付款,則這幾個(gè)付款在時(shí)刻10時(shí)的年金積累值為 ,包括這幾個(gè)付款已知的5個(gè)付款在時(shí)刻1035(10)(1)Vsi(2.2.10)(1)nnssi4s時(shí)的年金積累值為 ,因此該值也可通過(guò)假設(shè)在時(shí)刻7

40、 時(shí)刻9各有1單位付款,則可按期初付年金積累值算法得 上面的兩個(gè)結(jié)果與通過(guò)年金積累值再積累的結(jié)果是等價(jià)的,因此有及9s94(10)Vss83(10)Vss45943583(1 )(1 )sisssiss(2.3.3)(2.3.4)將上面兩式一般化,有及 2.3.3 付款期間某時(shí)刻的年金當(dāng)前值付款期間某時(shí)刻的年金當(dāng)前值 如在時(shí)刻4時(shí)的年金當(dāng)前值以 表示.這種情形下可以通過(guò)計(jì)算所有付款在時(shí)刻1或時(shí)刻2時(shí)年金當(dāng)前值經(jīng)過(guò)3期或2期的積累所得的本利和獲得.即有或(1)(1)mnm nmmnm nmsisssiss(2.3.3)(2.3.4)(4)V3525(4)(1)(1)Vaiai 也可通過(guò)計(jì)算所有付

41、款在時(shí)刻6或時(shí)刻7時(shí)的年金積累經(jīng)過(guò)2期或3期折現(xiàn)的現(xiàn)值獲得或 同樣時(shí)刻4的年金當(dāng)前值也可通過(guò)單純的年金現(xiàn)值或積累值之間的加減算得,而不通過(guò)現(xiàn)值的積累或積累值的折現(xiàn).該時(shí)刻的年金當(dāng)前值可以視為3期期末付年金積累值與2期期末年金現(xiàn)值之和,即(4)V25(4)Vv s35v s 32(4)Vsa或2期期初付年金積累值與3期期初付年金值之和,即 我們可以看出,關(guān)于時(shí)刻4的年金當(dāng)前值的各種算法是等價(jià)的.將上面的范例一般化,假定付款期限為 ,其中第 次付款時(shí)所有付款的當(dāng)前值及23(4)Vsan()m mn(1)(1)mn mnnmn mmn mnnmn maivssaaivssa(2.3.5)(2.3.6

42、)2.4 永續(xù)年金永續(xù)年金 前面所講述的年金都是假定期限為 , 為有限數(shù),付款次數(shù)為有限次( 是整數(shù)).付款次數(shù)沒(méi)有限制,永遠(yuǎn)持續(xù)的年金稱為永續(xù)年金.永續(xù)年金在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中也有應(yīng)用,如公司股票中不能贖回的優(yōu)先股,其固定紅利的給付就是永續(xù)年金的形式.又如某基金會(huì)的利息從一某種事業(yè),則每期利息的支取會(huì)永遠(yuǎn)持續(xù)下去,也是一種永續(xù)年金的形式. 期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值記為 ,則有n n1n a 也可通過(guò)求 在 時(shí)的極限值獲得,即 式 可以解釋為在利率為 時(shí),首期期初投資 ,且不收回本金,則每期期末可獲得數(shù)額為 的利息,一直持續(xù)下去. 相應(yīng)的期初付永續(xù)年金記為 ,則有23avvv11,0vvvii via(2

43、.4.1)nan 1limlim,1nnnnvaaii(2.4.1)i1i11()iia 永續(xù)年金的最終積累值不存在,因?yàn)榻o付沒(méi)有終點(diǎn)時(shí)刻,且無(wú)窮的均衡給付導(dǎo)致積累值變?yōu)闊o(wú)窮大. 對(duì)式 略作變換,有 ,而當(dāng) 時(shí), 可以看做兩個(gè)永續(xù)年金的組合,如 21avv 1d(2.4.2)(2.3.1)nnnmmaavam na111nnnvaviiinav a(2.4.3) 即 為0時(shí)刻起,每期期末付款額為1的永續(xù)年金與延付 期的期末永續(xù)年金的差. 將式 略作變換,有 此式可通過(guò)下面人經(jīng)濟(jì)學(xué)行為解釋;某人投資 購(gòu)買永續(xù)年金,投資利率為 ,則每年年末可獲得數(shù)額為1的利息,在 年年末已獲得的利息在時(shí)刻0的現(xiàn)值

44、為 .該投資人想收回投資,則收回的投資額為 時(shí)起的永續(xù)年金現(xiàn)值 ,即投資本金,然后折現(xiàn)到0nan(2.4.3)nnaav a(2.4.4)1iinnana 時(shí)刻為 . 某人去世后,保險(xiǎn)公司將支付 元的保險(xiǎn)金,其三個(gè)受益人經(jīng)協(xié)商,決定按永續(xù)年金方式領(lǐng)取該筆款項(xiàng),受益人A領(lǐng)取前8年的年金,受益人B領(lǐng)取以后10年的年金,然后由受益人C領(lǐng)取以后的所有年金.所有的年金領(lǐng)取都在年初發(fā)生.保險(xiǎn)公司的預(yù)定利率為 .計(jì)算A,B,C各自所領(lǐng)取的保險(xiǎn)金份額. 解解 每年可領(lǐng)取的年金數(shù)額為nv a例例2.4.11000006.51000006103.29Ra(元)A的份額為B的份額為C的份額為 個(gè)人所得的保險(xiǎn)金份額之

45、和為100000元,若A,B,C計(jì)劃領(lǐng)取期末付年金,則沒(méi)年支付額恰好為6500元 .三人領(lǐng)取份額之和仍為100000元.86103.2939576.88a(元)1886103.29 () 28234.15aa(元)186103.29 () 32188.97aa(元)(100000 6.52.5 連續(xù)年金 付款頻率無(wú)限大(即連續(xù)付款)的年金叫連續(xù)年金,這是付款頻率大于計(jì)息頻率的特例.雖然這種年金在實(shí)務(wù)中是不存在的,但它在年金的理論分析以及其他方面如精算數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛. 連續(xù)付款 個(gè)計(jì)息期,每個(gè)計(jì)息期的付款額之和為1的年金現(xiàn)值記為 ,則式中, 為時(shí)刻 到時(shí)刻0的折現(xiàn)因子; 為 時(shí)刻的付nna

46、0ntnav dt(2.5.1)tvtdtt 款額; 為時(shí)刻 的付款額在時(shí)刻0的折現(xiàn)值.這些連續(xù)付款的現(xiàn)值之和即 的積分值為其年金現(xiàn)值,簡(jiǎn)化式 .有 連續(xù)年金的積累值記為 ,有 ttv dt0n(2.5.1)0ntnav dt0ln1tnnvvv|(2.5.2)ns0(1)nn tnsidt(2.5.3) 通過(guò)積分變換 ,得 在式 中,以積分上限 為變量,對(duì)其進(jìn)行微分,并且在結(jié)果中以 替換 ,則有 snt0(1)nsnsi ds(2.5.4)0(1)|ln(1)(1)1snniii(2.5.5)(2.5.4)ntn(1)1tttsist dd(2.5.6) 式 中等式左邊表示 的變化率,等式右

47、邊則解釋了這種變化的構(gòu)成.即以連續(xù)的方式在每個(gè)計(jì)息期存款1單位, 時(shí)刻的年金積累值為 , 的變化率為 .這一變化率由兩部分組成,一部分是每個(gè)計(jì)息期連續(xù)存入的1單位存款;另一部分是 時(shí)刻的積累值 所獲得的利息 . 以 的形式表示 , . 解解 根據(jù)已知(2.5.6)tstststtstddttsts例例2.5.1nsna(1)nnnnveie 代入式 及式 ,有 有兩個(gè)連續(xù)還款模型A,B.A每期還款額為2，還款期限為20年,B每期還款額為3，還款期限為10年.求使A,B模型等效的 . 解解 根據(jù)式 ,有(2.5.2)(2.5.5)11nnnneaes(2.5.8)(2.5.7)例例2.5.1(2

48、.5.7)20101123,0ee 而由 可得 ,顯然是不可是本題的解. 由 可得 因此 時(shí),A.B模型等效. 102010101 320(1)(21)0eeee1010e 01012e6.936.93三 等值方程1.基本概念基本概念 在債務(wù)償還中基本的問(wèn)題是借出資本要連本帶息歸還借出方，遵循的原則是：借出的資本在時(shí)刻0（本金）時(shí)的現(xiàn)值應(yīng)與償還的資本在時(shí)刻0時(shí)的現(xiàn)值相等，亦即，借出的資本在債務(wù)到期時(shí)的終值應(yīng)與償還資本在債務(wù)到期時(shí)的終值相等，這即是等值方等值方程。程。2. 等值方程在債務(wù)償還中的應(yīng)用2.1 分期償還分期償還是指借款人按一定的周期分期清償貸款，每次償還當(dāng)期應(yīng)支付的利息和部分本金。這

49、里需要計(jì)算每次需要償還的總金額、每次償還金額中包含的本金和利息金額、一定時(shí)期尚未償還的借款本金余額等。 （1）等額分期償還等額分期償還債務(wù)的方法是在規(guī)定的還款期內(nèi)每次償還相等金額的還款方式。設(shè)貸款本金為B_0,還款期限為n年， 每年還款一次并在還款年度末進(jìn)行，年實(shí)際利率為I, 作為每次償還金額R滿足等值方程：0n iBRa在每期償還的金額R中， 既包括當(dāng)期應(yīng)償還的利息，也包括部分本金。償還的利息等于期初未償還本金余額與當(dāng)期實(shí)際利率的乘積。未償還本金余額就是計(jì)算日尚未償還的借款本金。 用B_k(k=1,2,n)表示第k期末的未償還本金余額，也就是第k次還款后需要再以后償還的剩余還款額。這樣，借款

50、期初未償還本金余額為B_0, 經(jīng)過(guò)n期還款，還清全部借款，即B_n=0. 在中間任何點(diǎn)，未償還本金余額可以采取“過(guò)去法”和“將來(lái)法”計(jì)算。在過(guò)去法下，未償還本金余額等于借款本金扣減過(guò)去已償還本金的差額。設(shè)每期期初的本金余額分別為B_0,B_1,B_n,則每期的利息分別為iB_0,iB_1,iB_n,各期償還的本金額為R-iB_0,R-iB_1,R-iB_n,則各期末未償還的本金余額為：第一期末：B_1=B_0-(R-iB_0)=B_0(1+i)-R,第二期末：B_2=B_1-(R-iB_1)=B_1(1+i)-R =B_0(1+i)2-Rs_2,.以此類推，得第k期末未償還本金余額為：B_k=

51、B_0(1+i)k Rs_k， 由此可知，第k期末未償還本金余額等于原始本金在k期末的累積值 B_0(1+i)k與過(guò)去所有已支付的款項(xiàng)R在k期末的累積值Rs_k的差額.將來(lái)法下，未償還本金余額是將來(lái)需要償還的總金額在計(jì)算時(shí)點(diǎn)的現(xiàn)值，即 可證，兩種方法計(jì)算的未償還本金余額是相等的。 B,1,kn k iRakn證明：0(1)(1)(1)1(1)1(1)1,1,.kkkk in ik ikn ik inkknknk iBBiRsRaiRsR aisviRiiivRRakni在每期未償還本金余額的基礎(chǔ)上，容易計(jì)算每期需支付的利息額：1111()=(1),1, .kkknkinkIiBBkiRaRvk

52、n這里可看做 期初余額令第k期償還的本金為P_k,則可將上述結(jié)果歸納成表格“等額分期償還表”：1110|(1),1, .n kkkn kn kn iPRIRRvBRvvkna 時(shí)期付款金額支付利息償還本金 未還貸款額01Kn-.R.R-.R(1-v)-.Rv .0總計(jì)nR-|n iRaR(1)nRvnRv1|niRa1(1)n kRv 1n kRv |nk iRa| ninR Ra|0niRaB從表中可以看出，每期償還的本金金額是一個(gè)等比遞增數(shù)列，意味著借款人在初期償還的本金較少，而在后期償還的本金較多，相應(yīng)地，由于每期支付的總金額R是固定的，借款人支付的利息金額是逐期遞減的。同時(shí)，每期償還的本金金額之和等于原始本金。例 設(shè)甲向乙