第0章第二部分利息基礎(chǔ)

1、第二部分 利息基礎(chǔ)知識一.利息的度量二.確定年金 三.等值方程一.利息的度量1.基本概念在經(jīng)濟(jì)活動中，資金的周轉(zhuǎn)使用會帶來價值 的增值。資金周轉(zhuǎn)使用的時間越長，實現(xiàn)的價值增值就越大。同時，等額的貨幣在不同時間，由于受通貨膨脹的影響，其實際價值也不同。因此，借入或出讓資金都有相應(yīng)的代價或報酬。利息：利息是借入資本需要支付的使用代價，或者是出讓資本使用權(quán)得到的報酬。利息的計算與累積函數(shù)、計息方式、投資期長短有有關(guān)。本金：開始投資滋生利息的款項。終值（累積值）：本金經(jīng)過一定時期后形成的總金額稱為終值，也稱為累積值。累積函數(shù)a(t)：0時刻數(shù)量為1的本金在t時刻的累積值（終值），a(0)=1，a(t)

2、可連續(xù)或間斷，a(t)單調(diào)遞增，也可單調(diào)遞減，但我們總希望它單調(diào)遞增以保證存在正的利息。t表示1元本金投資使用的時間長度。時間長度可以用不同的單位來度量，如分鐘、小時、日、周、月、季、三個月、半年、一年等。用來度量時間的單位稱為“度量期”或“期”，其中最常用的期是年?？傤~函數(shù)A(t): 一定額度（K個單位）的本金在t時刻的累積值稱為總額函數(shù)，它是本金與利息之和，A(0)就是本金。以I(t)表示t時刻的利息, 則 I(t)=A(t)-A(0).A(t)與a(t)的關(guān)系：A(t)=A(0)a(t)。我們稱累積函數(shù)a(t)的倒數(shù)1/a(t)為t期貼現(xiàn)因子或貼現(xiàn)函數(shù),記為v(t).把1期貼現(xiàn)因子1/a

3、(1)簡稱貼現(xiàn)因子，記為v. t期貼現(xiàn)因子是為了使在t期期末的累積值為1而在開始時投入的本金金額. 即：A(0)=1/a(t)從而，A(t)=A(0)a(t)=1/a(t)a(t)=1.我們把為了在t期期末得到某個累積值而在開始時投入的本金金額稱為該累積值的現(xiàn)值。如：1/a(t)是在t期期末累積值1的現(xiàn)值，在t期期末累積值A(chǔ)(t)的現(xiàn)值是A(t)1/a(t)。在某種意義上，累積與貼現(xiàn)是相反的過程。a(t)為1單位本金在t期期末的累積值；而1/a(t)是t期期末1單位終值的現(xiàn)值。把從投資日起第n個度量期得到的利息金額記為 In,In=A(n)-A(n-1),n大于等于1. In為一個時間區(qū)間上所

4、得利息的量, A(n)為在一特定時刻的累積量。實際利率：某一度量期的實際利率是指該度量期內(nèi)得到的利息金額與此度量期開始時投資的本金金額之比，通常用字母i來表示。對于實際利率保持不變的情形，i=I1/A(0)；對于實際利率變動的情形，第n個度量期的實際利率in=In/A(n-1)=A(n)-A(n-1)/A(n-1)； 例1 某人到銀行存入1000元，第一年末他存折上的金額為1020元，第二年末他存折上的金額為1050元，問：第一年和第二年的實際利率分別是多少？解:顯然 A(0)=1000，A(1)=1020, A(2)=1050，因此，I1=A(1)-A(0)=20，I2=A(2)-A(1)=

5、30i1=20/1000=2%, i2=30/1020=2.941%.故第一年的實際利率2%，第2年的實際利率為2.941%。2.單利和復(fù)利前面討論的實際利率是針對某一個度量期而言的，若投資期為多個或非整數(shù)個度量期，那么如何進(jìn)行利息的度量呢？最重要的度量方式有單利和復(fù)利兩種?？紤]投資一單位本金。（1）如果其在t時刻的累積值為a(t)=1+it，則該筆投資以每期單利i計息，稱這樣產(chǎn)生的利息為單利；（2）如果其在t時刻的累積值為a(t)=(1+i)t，則稱該筆投資以每期復(fù)利i計息，這樣產(chǎn)生的利息為復(fù)利。由上述定義可知：（1）若以每期單利i計息,則在1元本金的投資期間，每一度量期產(chǎn)生的利息均為i。但

6、這并不意味著其實際利率為i。實際上，對n=1，第n期的實際利率為( )(1)(1)(1)(1(1)1(1).1(1)na na nia nini ni nii n顯然， i_n 關(guān)于n單調(diào)遞減。常數(shù)的單利意味著遞減的實際利率。（2）若以每期復(fù)利i計息 。則在投資期間的不同度量期將產(chǎn)生不同的利息。即，nin11( )(1)(1)(1)(1)(1).nnnIa na niiiiia nI_n關(guān)于n單調(diào)遞增。而對于每期實際利率，有i_n=a(n)-a(n-1)/a(n-1)=I_n/a(n-1)=i.常數(shù)的復(fù)利意味著實際利率為常數(shù) 。單利只在本金上計息，而復(fù)利是利上生利的計息方式。例 2 某銀行以單

7、利計息，年息為2%，某人存入5000元，問5年末的累積值是多少？解：A(5)=5000a(5)=5000*(1+5*2%)=5500.例 3 上例中若銀行以復(fù)利計息，其它條件不變，問5年末的累積值是多少？解：A(5)=5000*a(5)=5000*(1+2%)5=5520.4.即5年末的累積值為5520.4元。注意：在單利和復(fù)利下，也可用各期的實際利率計算累計函數(shù)和總額函數(shù)。設(shè)第t期的實際利率為i_t, 則在單利下，A(n)=A(0)(1+i_1+i_2+i_n);a(n)= 1+i_1+i_2+i_n.在復(fù)利下，A(n)=A(0)(1+i_1)*(1+i_2)*(1+i_n);a(n)= (

8、1+i_1)*(1+i_2)*(1+i_n).例4 以10000元本金進(jìn)行5年投資，前2年的利率為5%，后3年的利率為6%。以單利和復(fù)利計算5年后的累積資金。解：在單利下，有A(5)=10000*(1+2*5%+3*6%)=12800(元)。在復(fù)利下，有A(5)=10000*(1+5%)2*(1+6%)3=13130.95（元）。3. 實際貼現(xiàn)率一個度量期的實際貼現(xiàn)率為該度量期內(nèi)取得的利息金額與期末的投資可回收金額之比，通常用字母d來表示實際貼現(xiàn)率?？梢钥闯觯瑢嶋H貼現(xiàn)率d與實際利率i的定義十分類似。事實上，它們都是一個比例，而且都是利息除以投資金額。只不過實際利率i對應(yīng)的投資金額是在期初實際付

9、出的資金金額，即本金；而實際貼現(xiàn)率d對應(yīng)的投資金額是期末投資者可收回的資金金額。由定義可知，實際利率反映了單位貨幣在單位時間內(nèi)的利息額，而實際貼現(xiàn)率反映了單位貨幣在單位時間內(nèi)的貼現(xiàn)額。貼現(xiàn)額是指將應(yīng)該在將來某時期支付的金額提前到現(xiàn)在來支付時，在支付額中應(yīng)扣除的一部分金額，即扣除額。它相當(dāng)于資金投資在期初的預(yù)付利息。（貼現(xiàn)和利息的區(qū)別在于分析的出發(fā)點(diǎn)不同，利息是在本金基礎(chǔ)上的增值，貼現(xiàn)是在累積值基礎(chǔ)上的減少值，相當(dāng)于利率在每一復(fù)利計算期的起點(diǎn)時刻被計入）。類似于實際利率，也可以定義任意度量期的實際貼現(xiàn)率，令d_n為從投資日算起第n個時期的實際貼現(xiàn)率，根據(jù)定義，有( )(1),1,( )( )nn

10、IA nA ndnA nA n整數(shù)I_n為利息金額。一般而言，d_n也可能隨不同度量期而變化。然而，在復(fù)利情況下，若實際利率為常數(shù)，則實際貼現(xiàn)率也是常數(shù)。設(shè)每期實際利率為i,則1n()(1) ,()(1)(1)(1)()(1).1nnnna nia na niida niii與 n無 關(guān) 。例 5 某人到銀行存入1000元，第一年末他存折上的金額為1050元，第二年末他存折上的金額為1100元，問：第一年和第二年的實際貼現(xiàn)率分別是多少？解：A(0)=1000,A(1)=1050,A(2)=1100, d_1=A(1)-A(0)/A(1)=50/1050=4.762%,d_2=A(2)-A(1)

11、/A(2)=50/1100=4.545%實際利率和實際貼現(xiàn)率都是用來度量利息的，若某人以實際貼現(xiàn)率d借款1，則實際上的本金為1-d，而利息（貼現(xiàn)）金額為d，若這筆業(yè)務(wù)的實際利率為i，則按實際利率的定義，得 i=d/(1-d),這表明，與實際貼現(xiàn)率d等價的實際利率為d/(1-d)。同時，由上等式可以求得d=i/(1+i)，即與實際利率i等價的實際貼現(xiàn)率為i/(1+i).貼現(xiàn)率d與貼現(xiàn)因子v之間也存在著重要關(guān)系。由于v=1/a(1)=1/(1+i)，從而d=i/(1+i)=iv對于這個式子我們可以這樣理解：以貼現(xiàn)率d投資1賺得的（已在期初支付）利息是d,如果該筆業(yè)務(wù)以利率度量，且等價的實際利率為i

12、,也就是說，這筆業(yè)務(wù)如果投資1，將在期末賺得利息i，而i在期初的現(xiàn)值為iv，這個值顯然應(yīng)該等于d。此外，還可得關(guān)系式：111,1111,(1),.iidviiivddividiididid 總之，等價的利率i、貼現(xiàn)率d和貼現(xiàn)因子（折現(xiàn)因子）v之間關(guān)系如下：, (1),1111,1diidii ddivd div vididi 例6 已知某項投資在一年中能得到的利息金額為336元，而等價的貼現(xiàn)金額為300元，求本金額。解： 設(shè)本金為A(0). 假如他以貼現(xiàn)額300元投資A(0),則其實際本金為A(0)-300, 則實際利率為i=300/(A(0)-300), 同時，由題設(shè)A(0)*i=336于是

13、，得， 300/(A(0)-300) =336/A(0),可解出A(0)=2800(元)。4.名義利率和名義貼現(xiàn)率前面討論了實際利率和實際貼現(xiàn)率，“實際”一詞的主要含義在于，利息為每個度量期支付一次，或在期初，或在期末，視具體情況而定。然而，實際中往往有很多在一個度量期中利息支付不止一次或多個度量期才支付一次的情形。這時，我們稱相應(yīng)的一個度量期的利率和貼現(xiàn)率為“名義”的。例如，銀行的存款年利率為3%，但假如規(guī)定一年中可以結(jié)算4次利息，則實際年終累積值肯定會超過年利率下的累積值。這時，這個年利率3%就是名義上的利率，即名義利率。再如，銀行存款年利率4%，但至少3.5年才可結(jié)算利息，這時，該年利率

14、也是名義利率。我們用 表示每一度量期支付m次利息的名義利率，這里的m可以不是整數(shù)也可以小于1。 ()mi()mi()mi()mi所謂名義利率 是指每1/m個度量期支付利息一次，而在每1/m個度量期的實際利率為 。由此可知，與 等價的實際利率I之間的關(guān)系：()1(1/)mmiim ( )/mim()mi同樣的，我們還可以定義名義貼現(xiàn)率 ，它是指每1/m個度量期支付利息一次，而在每1/m個度量期的實際貼現(xiàn)率為 。 類似的，我們也可以推導(dǎo)出名義利率與名義貼現(xiàn)之間的關(guān)系： ( )md()mdm()1(1/)mmddm()()()()mmmmididmmmm值得注意的是關(guān)于利率的描述，因為實務(wù)中有關(guān)利率

15、的術(shù)語不統(tǒng)一， 而且有些術(shù)語存在多重含義。我們這里稱i(m)為每年計息m次的年名義利率（各計息期長度相同）；d(m)為每年計息m次的年名義貼現(xiàn)率，如i(2)=6%表示每年計息2次的年名義利率為6%，也即每半年的實際利率為3%。而i(1/2)=6%表示每兩年計息一次的年名義利率為6%。例7 （1）求與實際利率8%等價的每年計息2次的年名義利率以及每年計息4次的年貼現(xiàn)率（2）已知每年計息12次的年名義貼現(xiàn)率為8%，求等價的實際利率。解：（1） (2)118%,2ii 2（1+）1(2)2(1 8%)1 27.85%.i 144 1 1.087.623%.(4)-4(4)d（1-）=1+i=1.08

16、,4d120.08(1)121.0836,8.36%.i(12)-12d（2） 1+i=(1-)12例8 求1萬元按每年計息4次的年名義利率6%投資3年的累積值。解：34 312(3)10000(3)10000(1)10000(1).010000100001.01511956.2Aaii（ 4）12406（ 1+）4（ 元 ）5.利息力（利息強(qiáng)度）前面定義的各種利息度量方式都是用來在規(guī)定的時間區(qū)間內(nèi)的利息的。實際利率和實際貼現(xiàn)率度量的是一個度量期內(nèi)的利息，而名義利率和名義貼現(xiàn)率則用來度量在1/m個度量期內(nèi)的利息。在很多情況下，我們還希望能度量在每一時間點(diǎn)上的利息， 也就是在無窮小時間區(qū)間上的利

17、息。這種對利息在各個時間點(diǎn)上的度量稱為利息力或利息強(qiáng)度。這相當(dāng)于度量當(dāng)m趨于正無窮大時的1/m度量期內(nèi)的極限利息。即 考慮投資一筆資金，設(shè)在時刻t的資金金額由總額函數(shù)A(t)給出，這筆資金的變化完全由于利息的原因，即本金既不增加也不撤回。 定義 ()lim.mmi( )( )( )( )tA ta tA ta t式中， 是該投資額在時刻t的利息力（利息強(qiáng)度），即它是利息在點(diǎn)（時刻t）處的一種度量，是t時每一單位資金的變化率,或說是資金的瞬時利率。將定義式變形：tln ( )ln ( )tdA tda tdtdt用r代替t， 然后將上式兩端在0t 上積分，得 從而， 另外，由定義式，還可得000

18、( )ln ( )ln ( )|ln,(0)tttrdA tdrA r drA rdrA0( )( )( ).(0)(0)trdrA ta tea tAa( )( ),tA tAt上式兩端在0n上積分，可得 此式解釋如下：A(n)-A(0)為度量期內(nèi)獲得的利息。微分表達(dá)式 則看成利息力為 的情況下資金A(t)在t時刻獲得的利息，將此表達(dá)式在0n上積分，即得n各度量期內(nèi)獲得的利息總額。( )tA tdt000( )( )( ) |( )(0),nnntA tdtA t dtA tA nAt例 如果 =0.01t (0=t=2),確定投資1000元在第1年末的累計值和第2年內(nèi)的利息金額。解：t10

19、200.010.0120.0120.012 0.012(1)1000 (1)100010001005.(2)(1)1000(1)1000()15.2.tdttdtAaeeIAAeAee理論上，利息強(qiáng)度可以隨時間變量的變化而變化。但是，實際上它經(jīng)常保持為常數(shù)或在各個度量期上保持為常數(shù)。如果利息力在某時間區(qū)間上為常數(shù)，那么該時間區(qū)間上的實際利率也為常數(shù)。事實上，若在n-1n之間 為常數(shù)，則有t(1)(1)( )(1)1.(1)nnnna na neeieia ne 由后一等式，可得 在復(fù)利下，也可直接利用利息力的定義求得上式： 1ln(1).eii ( )(1) (1) ln(1)( )(1)(1

20、)ln(1).ttttta tiiia tiii于是，我們得到利息力、利率、貼現(xiàn)因子之間的常用關(guān)系式如下：()1()111(1)1mmppiivmddpe 二二. .確定年金確定年金所謂的年金是指按照相等時間間隔支付的一系列款項。住房按揭還款、購物分期付款及保險業(yè)中的養(yǎng)老金給付、分期交付保費(fèi)等，都屬于年金的形式。年金的最初形式是以1年為時間間隔支付的一系列款項，隨著年金在實際生活中的運(yùn)用以及理論研究的不斷深入和擴(kuò)展，時間間隔突破了以1年為期的限制，變得可長可短理論上甚至可以是連續(xù)付款，沒有時間間隔。2.1 期末（付）年金 在每個付款期間末付款的年金為期末付年金。假設(shè)一筆年金，付款期限為 期，每

21、期期末付款額為1，每期利率為 ，各期付款如圖2.1.1所示。 圖2.1.1ni（付款額）（時間） 付款期從0開始直到 。時間1上方的付款額1為第一期付款額，可以看出，這一付款發(fā)生在首付款期 的期末。時間2上方的付款額1發(fā)生在第二付款期 的期末，依次類推，個付款期內(nèi)，都在期末付款1。所有付款在時間0時的現(xiàn)值之和之和用符號 表示，所有付款在時間 時的積累值之和之和用符號 表示。 將每期期末的付款都按利率 折現(xiàn)到時間0，再求和，算出 的值，即首期付款值1在0時刻的現(xiàn)值為 ，第二期付款值1在0時刻的現(xiàn)值為 ， ，n(01)(12)nnnainsnav2v第 期付款值 在0時刻的現(xiàn)值為 ，則有求和，可得

22、nnnv21nnnavvvv11nnvavv 1nvviv 1nvi(2.1.1)(2.1.2) 將每期期末的付款都按利率 積累到時間 ，求和，就可計算出 的值，即第 期期末付款值1在時刻 時的積累值為1，第 期期末付款值1在時刻 時的積累值為 ， ，第一期期末付款值1在時刻 時的積累值為 ， 為各積累值之和，有nnsnni1n n(1) in1(1)nins12(1)(1)(1) 1nnnsiii211 (1)(1)(1)nniii (2.1.3)簡化上式，可得簡式如下：式 可以寫作1(1)1(1)nnisi(1)1nii(2.1.4)(2.1.2)1nniav(2.1.5) 式 有明顯的經(jīng)

23、濟(jì)意義：公式左側(cè)表示在時刻0進(jìn)行投資，投資本金為1，公式右側(cè)表示投資的回收方式。在時刻0投資額為1，則每期期末都可獲得利息 ， 期利息的現(xiàn)值之和為 ，到 期期末，即時刻 時，即投資本金1收回，折現(xiàn)到時刻0時現(xiàn)值為 。在利率為 時，投資額與投資回報本利和的現(xiàn)值是相等的。因而，式 左右兩端相等。如圖 所示。(2.1.5)inniannnvi(2.1.5)2.1.2圖 2.1.2 圖中，時刻0下方的1為投資本金；時間軸上方的數(shù)字表示投資回收額，各期期末可得利息 ，在 期期末還可收回本金1。 各期利息及本金在時刻0的現(xiàn)值分別為（每年得到的利息）（時間)ni2321,nnnni vi vi vi vi

24、vi vv 所以 式 可以寫作 式 也有明顯的經(jīng)濟(jì)意義:將1單位本金投資 期,每期按復(fù)利 計算,在 期期末,投資積累值即本利和為 ,這是等式左邊項的含義。等式右邊項的含義是投資本金為1，每期期末產(chǎn)生利息 而每期所產(chǎn)生在利息又以利率 再投資,這樣到 期期末各積累值之和為 ,這部分是所生利息之231nnnni vi vi vi vviav(2.1.4)(1)1nniis (2.1.6)(2.1.6)nni(1)niiinnis 積累值,再加上投資本金,即為全部本利和.等式左右兩邊是一種投資結(jié)果的兩種計算方法,實質(zhì)上是相等的.如圖 所示. 與 之間有明顯的關(guān)系,式 兩端同乘以 ,可得 等式右邊即為式

25、 的表達(dá)式,因而有(2.1.3)nans(2.1.1)(1)ni12(1)(1)(1)(1) 1nnnniaiii(2.1.3)nsiiii0121nn1(1)nii2(1)nii(1)ii0(1)1ii1(到n期末積累值)(每期利息)(投資本金)1為本金圖2.1.3 式 也可由 以及式 導(dǎo)出.該式可解釋為,各期期末投資本金為1的年金積累值有兩種算法.一種是各期期末投資本金為1,直接積累到 期期末,求和即為 ,如公式左端所示.一種是先求出各期期末投資本金為1在年金現(xiàn)值,即為 ,作為時刻0時的一次投資,以復(fù)利 計算,求出 期期末的積累值即 ,如右端所示.兩種計算結(jié)果相等.(1)nnnsai(2.

26、1.7)(2.1.7)(2.1.2)(2.1.4)nnsnain(1)nnai 與 的另一種關(guān)系為式 的數(shù)學(xué)推導(dǎo)如下:nans11nnias(2.1.8)(2.1.8)1(1)1nniiisi (1)(1)1nniiiii(1)(1)1nniii1niv1na 此公式的經(jīng)濟(jì)意義為,設(shè)每期期末投資本金為 ,投資 期的本利和現(xiàn)值為1,則 .而其積累值相當(dāng)于在時刻0投資本金為1,則 期期末本利和為 ,由式 可知本利積累值的又一種表達(dá)式,即 ,這與每期期末投資 的 期積累值是等價的,即由此可得Pn1nPan(1)ni(2.1.6)1nispn1nnisP s1nPis 因此 通常 , 符號中不必標(biāo)出計

27、算所依據(jù)的利率,在一個問題中涉及多個利率時,為避免引起混淆,可寫作 , 的形式,如 等. 計算年利率為 的條件下,每年年末投資 元,投資 年的現(xiàn)值及積累值. 解解 年金現(xiàn)值為: 11nnPiasnansn ianis0.060.080.07,nnnaas例例2.1.1610001010 0.0610001000 7.360097360.9a(元) 年金積累值為: 某銀行客戶想通過零存整取方式在1年后可得 元,在月復(fù)利為 的情況下,問每月需存入多少錢才能達(dá)到其目的. 解解 設(shè)每月需存入 元,有10 0.061000100013.1808013180.80s(元)例例2.1.2100000.5D1

28、2 0.00510000Ds1 2 0 .0 0 51 0 0 0 0Ds1000012.3356810.66(元) 客戶每月需存入 元, 年后可取得10000元. 甲在銀行存入20000元,計劃4年支取完 ,每半年支取一次,每半年計息一次的年名義利率為 .試計算每次的支取額度. 解解 由于年名義利率為 ,則半年實際利率為 . 設(shè) 為每次支取額度,有 810.661例例2.1.3773.5R8 0.03520000Ra8 0.03520000200006.8740Ra2909.51(元) 甲每次支取額度為2909.51元. 已知年實際利率為8,乙向銀行貸款10 000元 ,期限為5年,計算下面

29、三種還款方式中利息所占的額度. 貸款的本金及利息積累值在第5年末一次還清. 每年末支付貸款利息,第5年年末歸還本金. 貸款,每年均衡償還(即采用年金方式).8例例2.1.4(1)(2)(3) 解解 方式 中,還款本利和為 其中利息額為: 方式 中,每年支付利息為5年共支付利息 方式 中,每期償還額為 (1)510000 (1.08)14693.28(元)14693.28 10000 4693.28(元)(2)10000 0.08800(元)800 54000(元)(3)5年還款其中,利息額為100003.99275 0.0810000Ra2504.56(元)2504.56 5 12522.80

30、 (元)12522.80 10000 2522.80(元)2.2 期初（付）年金期初（付）年金 上一節(jié)介紹了期末付年金,與之相對應(yīng),在每個付款期間開始時付款的年金為期初付年金.假設(shè)一個 期年金,每期期初付款額為1,每期利率為 ,各期付款如圖 所示.圖2.1.2 付款期從0時起,每期期初付款,直到第 期,各期ni2.1.211111102132n1nn(付款額)(時間)n 付款在時間0的現(xiàn)值依次為: 各現(xiàn)值和即為期初付年金現(xiàn)值,記為 ,對應(yīng)于式 ,有 求和,得相應(yīng)地,各期付款在第 期期末的積累值記為 ,且有2211, ,nnv vvvna (2.1.1)2211nnnav vvv (2.2.1)

31、1111nnnnvvvavivd(2.2.2)nns 12(1)(1)(1)(1)nnnsiiii(2.2.3) 式 與 相比,分子不同,差別在于式 分母為 ,而式 分母為 .期末付年金公式中 是利息在每期期末支付的度量標(biāo)準(zhǔn),見式 的解釋. 期初付年金公式中 是利息在每期期初支付的度量 21(1)(1)(1)(1)nniiii(1)1(1)(1) 1niii(1)1niiv(1)1nid(2.1.2)(2.2.2)(2.1.2)i(2.2.2)di(2.1.5)d(2.2.4)標(biāo)準(zhǔn)如下式:即 式 表明期初投資額為1,且每期期初獲得利息為,共 期,所有利息在0時刻的現(xiàn)值之和為 為 時刻初收回本金

32、1在0時刻的現(xiàn)值.如圖2.2.2所示.1nndav 1nndav(2.2.5)(2.2.5)dn,nnda vndd1dddd10d2312n1nndv2dv2ndv3dvdv1ndvnv(投資回收)(期初投資額)(各期回收0時刻現(xiàn)值，1為投資本金)圖圖2.2.2類似地,有很明顯地, 與 及 與 之間存在著一定的聯(lián)系,由式 推導(dǎo)可得(1)1nnids(1)nnnsai11nndas(2.2.8)(2.2.6)(2.2.7)nana ns ns(2.2.1)2211nnnav vvv 231nnv vvvvv 同理,由式 可得 由式 及式 ,可得 nav(1)nai(2.2.9)(2.2.3)(

33、1 )nnssi(2.2.10)(2.1.5)(2.2.1)231nnnv vvvvav1nnavv11(1)nni av同理,由式 以及 ,可得式 以及 的關(guān)系如圖 所示.111nnnaiav11na(2.2.11)(2.1.6)(2.2.3)11nnss(2.2.12)2.2.3(2.2.12)(2.2.9)11111n101nn2nana ns ns圖圖2.2.3(給付額)(時間) 圖中將時刻 的付款值看作以時刻0為起點(diǎn),就是期末付 期年金,各期付款在時刻0的現(xiàn)值就是 ;若以時刻1為起點(diǎn),就是期初付 期年金,各付款現(xiàn)值之和為 , 再向前貼現(xiàn)一期或 向后積累一期,二者即相等,如式 所示,同

34、理可解釋式 .若以時刻0為起點(diǎn),每期期末付1,共付 期,即時刻 不付款,則各期付款的現(xiàn)值為 ,而這時假設(shè)在時刻0多1單位付款,則全部付款的現(xiàn)值為 . 及 都是以時刻0為起點(diǎn)的年金現(xiàn)值,區(qū)別是 少1,2,1,nnnnanna na na(2.2.9)(2.2.10)1nn1nana 1nana 1na 一個時刻0時的單位付款額1,而這一付款的現(xiàn)值為1,因而有式 . 在例2.1.2中,若存款該為每月月初進(jìn)行, 其他條件不變,計算每月需存入的款項. 解解 由題設(shè)知,每月存入的款項構(gòu)成期初付年金,設(shè)每月月初存款額為 ,有(2.2.11)例例2.2.1D12 0.0510000Ds12 0.051000

35、0Ds1000012.3972806.63(元) 客戶每月月初需存入 元,才可以在1年后獲10000元. 例2.2.1中, 是直接計算的,也可以通過 計算,結(jié)果相同.806.6312 0.05s 12 0.0512 0.05(1.005)ss2.3 任意時刻的年金值 前兩節(jié)對時刻0的年金現(xiàn)值及時刻 的年金積累值進(jìn)行了計算(包括期末付年金與期初付年金).不論在理論上還是在實務(wù)中,都會遇到要求計算任意時刻年金值 的問題( 時為年金現(xiàn)值, 時為年金終值 ),如延期年金的現(xiàn)值.所謂延期年金現(xiàn)值,就是以當(dāng)前時刻為0時刻點(diǎn),在0時刻以后若干時期后開始按期支付的年金.相當(dāng)于支付前向后推移若干期間,而計算現(xiàn)值

36、的時刻不變.一般而言,有三種時刻的年金值需要計算(1) 首期付款前某時刻的年金現(xiàn)值.(2) 最后一期付款后某時刻的年金積累值;n( )V t0t tn (3) 付款期間某時刻的年金當(dāng)前值.這里假定各計算年金現(xiàn)值時刻都是整數(shù)時刻,即距各付款時刻的距離為付款期間的整數(shù)倍.這些時刻的年金現(xiàn)值或積累值都可以通過計算每次付款在該時刻的現(xiàn)值或積累值的方法來進(jìn)行,但較為復(fù)雜,應(yīng)該通過已有的公式,尋找較為簡便的方法. 下面通過一個例子(見圖2.3.1)說明這三種時刻的年金值(現(xiàn)值或積累值). 圖中,付款次數(shù) ,首次付款發(fā)生在時刻 ,末次付款發(fā)生在時刻 ,則時刻0時的年金現(xiàn)值就是延期年金現(xiàn)值,相當(dāng)于第(1)種;

37、時刻10時的年金積累值相當(dāng)于第(2)種;時刻4時的年金當(dāng)前值相當(dāng)于第(3)種.另外這5次付款在時刻0時的年金現(xiàn)值是一個5期的期末付款額為1的年金現(xiàn)值即 ;在時刻1的年金現(xiàn)51111110123456789105a（時間）(給付額)5a 5s5s 圖圖2.3.155a 值是 ,在時刻5的年金積累值為 ,在時刻6的年金積累值為 . 2.3.1 在首期付款前某時刻的年金現(xiàn)值在首期付款前某時刻的年金現(xiàn)值 如時刻0時的年金現(xiàn)值,以 表示.在圖2.3.1中,可以通過時刻1或2的年金現(xiàn)值折現(xiàn)來計算,即 或 也可通過年金現(xiàn)值間加減的方法(即不通過年金的折現(xiàn))來計算.假設(shè)時刻1有1單位付款,則0時刻包含這一付款

38、的年金現(xiàn)值為 ,而這一付款在0時刻的年5a 5s5s (0)V5(0)Vva 5a6a 金現(xiàn)值為 ,這樣,已知的5次付款在時刻0時的年金現(xiàn)值為 ;另外,設(shè)是時刻0還有1單位的付款,則0時刻包含這兩個假設(shè)付款的年金現(xiàn)值為 ,而這兩個付款的年金現(xiàn)值為 ,因此 根據(jù)年金折現(xiàn)法及年金加減的方法計算出的同一時刻的年金現(xiàn)值應(yīng)該是相等的,即有及將上式一般化,有1a61aa7a 2a 72(0).Vaa5612572vaaav aaa 及 2.3.2 在最后一期付款后某時刻的年金積累值在最后一期付款后某時刻的年金積累值 如在時刻10時的年金積累值,以 表示.在這種情況下, 相當(dāng)于將時刻6的期末付5期年金積累值

39、視為一次性投資,再經(jīng)過4期積累,所得的本利和為 也可視為時刻7時的期初付5期年金的積累值,mnm nmmnm nmv aaav aaa(2.3.1)(2.3.2)(10)V(10)V45(10)(1)Vsi(10)V再經(jīng)過3期復(fù)利積累所得的本利和.即根據(jù)式 ,說明上式與通過期末付款法計算結(jié)果相同. 另外,時刻10時的年金積累值也可由兩個年金的加減計算,不通過年金再積累.假設(shè)在時刻7 時刻10各有一個單位付款,則這幾個付款在時刻10時的年金積累值為 ,包括這幾個付款已知的5個付款在時刻1035(10)(1)Vsi(2.2.10)(1)nnssi4s時的年金積累值為 ,因此該值也可通過假設(shè)在時刻7

40、 時刻9各有1單位付款,則可按期初付年金積累值算法得 上面的兩個結(jié)果與通過年金積累值再積累的結(jié)果是等價的,因此有及9s94(10)Vss83(10)Vss45943583(1 )(1 )sisssiss(2.3.3)(2.3.4)將上面兩式一般化,有及 2.3.3 付款期間某時刻的年金當(dāng)前值付款期間某時刻的年金當(dāng)前值 如在時刻4時的年金當(dāng)前值以 表示.這種情形下可以通過計算所有付款在時刻1或時刻2時年金當(dāng)前值經(jīng)過3期或2期的積累所得的本利和獲得.即有或(1)(1)mnm nmmnm nmsisssiss(2.3.3)(2.3.4)(4)V3525(4)(1)(1)Vaiai 也可通過計算所有付

41、款在時刻6或時刻7時的年金積累經(jīng)過2期或3期折現(xiàn)的現(xiàn)值獲得或 同樣時刻4的年金當(dāng)前值也可通過單純的年金現(xiàn)值或積累值之間的加減算得,而不通過現(xiàn)值的積累或積累值的折現(xiàn).該時刻的年金當(dāng)前值可以視為3期期末付年金積累值與2期期末年金現(xiàn)值之和,即(4)V25(4)Vv s35v s 32(4)Vsa或2期期初付年金積累值與3期期初付年金值之和,即 我們可以看出,關(guān)于時刻4的年金當(dāng)前值的各種算法是等價的.將上面的范例一般化,假定付款期限為 ,其中第 次付款時所有付款的當(dāng)前值及23(4)Vsan()m mn(1)(1)mn mnnmn mmn mnnmn maivssaaivssa(2.3.5)(2.3.6

42、)2.4 永續(xù)年金永續(xù)年金 前面所講述的年金都是假定期限為 , 為有限數(shù),付款次數(shù)為有限次( 是整數(shù)).付款次數(shù)沒有限制,永遠(yuǎn)持續(xù)的年金稱為永續(xù)年金.永續(xù)年金在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中也有應(yīng)用,如公司股票中不能贖回的優(yōu)先股,其固定紅利的給付就是永續(xù)年金的形式.又如某基金會的利息從一某種事業(yè),則每期利息的支取會永遠(yuǎn)持續(xù)下去,也是一種永續(xù)年金的形式. 期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值記為 ,則有n n1n a 也可通過求 在 時的極限值獲得,即 式 可以解釋為在利率為 時,首期期初投資 ,且不收回本金,則每期期末可獲得數(shù)額為 的利息,一直持續(xù)下去. 相應(yīng)的期初付永續(xù)年金記為 ,則有23avvv11,0vvvii via(2

43、.4.1)nan 1limlim,1nnnnvaaii(2.4.1)i1i11()iia 永續(xù)年金的最終積累值不存在,因為給付沒有終點(diǎn)時刻,且無窮的均衡給付導(dǎo)致積累值變?yōu)闊o窮大. 對式 略作變換,有 ,而當(dāng) 時, 可以看做兩個永續(xù)年金的組合,如 21avv 1d(2.4.2)(2.3.1)nnnmmaavam na111nnnvaviiinav a(2.4.3) 即 為0時刻起,每期期末付款額為1的永續(xù)年金與延付 期的期末永續(xù)年金的差. 將式 略作變換,有 此式可通過下面人經(jīng)濟(jì)學(xué)行為解釋;某人投資 購買永續(xù)年金,投資利率為 ,則每年年末可獲得數(shù)額為1的利息,在 年年末已獲得的利息在時刻0的現(xiàn)值

44、為 .該投資人想收回投資,則收回的投資額為 時起的永續(xù)年金現(xiàn)值 ,即投資本金,然后折現(xiàn)到0nan(2.4.3)nnaav a(2.4.4)1iinnana 時刻為 . 某人去世后,保險公司將支付 元的保險金,其三個受益人經(jīng)協(xié)商,決定按永續(xù)年金方式領(lǐng)取該筆款項,受益人A領(lǐng)取前8年的年金,受益人B領(lǐng)取以后10年的年金,然后由受益人C領(lǐng)取以后的所有年金.所有的年金領(lǐng)取都在年初發(fā)生.保險公司的預(yù)定利率為 .計算A,B,C各自所領(lǐng)取的保險金份額. 解解 每年可領(lǐng)取的年金數(shù)額為nv a例例2.4.11000006.51000006103.29Ra(元)A的份額為B的份額為C的份額為 個人所得的保險金份額之

45、和為100000元,若A,B,C計劃領(lǐng)取期末付年金,則沒年支付額恰好為6500元 .三人領(lǐng)取份額之和仍為100000元.86103.2939576.88a(元)1886103.29 () 28234.15aa(元)186103.29 () 32188.97aa(元)(100000 6.52.5 連續(xù)年金 付款頻率無限大(即連續(xù)付款)的年金叫連續(xù)年金,這是付款頻率大于計息頻率的特例.雖然這種年金在實務(wù)中是不存在的,但它在年金的理論分析以及其他方面如精算數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛. 連續(xù)付款 個計息期,每個計息期的付款額之和為1的年金現(xiàn)值記為 ,則式中, 為時刻 到時刻0的折現(xiàn)因子; 為 時刻的付nna

46、0ntnav dt(2.5.1)tvtdtt 款額; 為時刻 的付款額在時刻0的折現(xiàn)值.這些連續(xù)付款的現(xiàn)值之和即 的積分值為其年金現(xiàn)值,簡化式 .有 連續(xù)年金的積累值記為 ,有 ttv dt0n(2.5.1)0ntnav dt0ln1tnnvvv|(2.5.2)ns0(1)nn tnsidt(2.5.3) 通過積分變換 ,得 在式 中,以積分上限 為變量,對其進(jìn)行微分,并且在結(jié)果中以 替換 ,則有 snt0(1)nsnsi ds(2.5.4)0(1)|ln(1)(1)1snniii(2.5.5)(2.5.4)ntn(1)1tttsist dd(2.5.6) 式 中等式左邊表示 的變化率,等式右

47、邊則解釋了這種變化的構(gòu)成.即以連續(xù)的方式在每個計息期存款1單位, 時刻的年金積累值為 , 的變化率為 .這一變化率由兩部分組成,一部分是每個計息期連續(xù)存入的1單位存款;另一部分是 時刻的積累值 所獲得的利息 . 以 的形式表示 , . 解解 根據(jù)已知(2.5.6)tstststtstddttsts例例2.5.1nsna(1)nnnnveie 代入式 及式 ,有 有兩個連續(xù)還款模型A,B.A每期還款額為2，還款期限為20年,B每期還款額為3，還款期限為10年.求使A,B模型等效的 . 解解 根據(jù)式 ,有(2.5.2)(2.5.5)11nnnneaes(2.5.8)(2.5.7)例例2.5.1(2

48、.5.7)20101123,0ee 而由 可得 ,顯然是不可是本題的解. 由 可得 因此 時,A.B模型等效. 102010101 320(1)(21)0eeee1010e 01012e6.936.93三 等值方程1.基本概念基本概念 在債務(wù)償還中基本的問題是借出資本要連本帶息歸還借出方，遵循的原則是：借出的資本在時刻0（本金）時的現(xiàn)值應(yīng)與償還的資本在時刻0時的現(xiàn)值相等，亦即，借出的資本在債務(wù)到期時的終值應(yīng)與償還資本在債務(wù)到期時的終值相等，這即是等值方等值方程。程。2. 等值方程在債務(wù)償還中的應(yīng)用2.1 分期償還分期償還是指借款人按一定的周期分期清償貸款，每次償還當(dāng)期應(yīng)支付的利息和部分本金。這

49、里需要計算每次需要償還的總金額、每次償還金額中包含的本金和利息金額、一定時期尚未償還的借款本金余額等。 （1）等額分期償還等額分期償還債務(wù)的方法是在規(guī)定的還款期內(nèi)每次償還相等金額的還款方式。設(shè)貸款本金為B_0,還款期限為n年， 每年還款一次并在還款年度末進(jìn)行，年實際利率為I, 作為每次償還金額R滿足等值方程：0n iBRa在每期償還的金額R中， 既包括當(dāng)期應(yīng)償還的利息，也包括部分本金。償還的利息等于期初未償還本金余額與當(dāng)期實際利率的乘積。未償還本金余額就是計算日尚未償還的借款本金。 用B_k(k=1,2,n)表示第k期末的未償還本金余額，也就是第k次還款后需要再以后償還的剩余還款額。這樣，借款

50、期初未償還本金余額為B_0, 經(jīng)過n期還款，還清全部借款，即B_n=0. 在中間任何點(diǎn)，未償還本金余額可以采取“過去法”和“將來法”計算。在過去法下，未償還本金余額等于借款本金扣減過去已償還本金的差額。設(shè)每期期初的本金余額分別為B_0,B_1,B_n,則每期的利息分別為iB_0,iB_1,iB_n,各期償還的本金額為R-iB_0,R-iB_1,R-iB_n,則各期末未償還的本金余額為：第一期末：B_1=B_0-(R-iB_0)=B_0(1+i)-R,第二期末：B_2=B_1-(R-iB_1)=B_1(1+i)-R =B_0(1+i)2-Rs_2,.以此類推，得第k期末未償還本金余額為：B_k=

51、B_0(1+i)k Rs_k， 由此可知，第k期末未償還本金余額等于原始本金在k期末的累積值 B_0(1+i)k與過去所有已支付的款項R在k期末的累積值Rs_k的差額.將來法下，未償還本金余額是將來需要償還的總金額在計算時點(diǎn)的現(xiàn)值，即 可證，兩種方法計算的未償還本金余額是相等的。 B,1,kn k iRakn證明：0(1)(1)(1)1(1)1(1)1,1,.kkkk in ik ikn ik inkknknk iBBiRsRaiRsR aisviRiiivRRakni在每期未償還本金余額的基礎(chǔ)上，容易計算每期需支付的利息額：1111()=(1),1, .kkknkinkIiBBkiRaRvk

52、n這里可看做 期初余額令第k期償還的本金為P_k,則可將上述結(jié)果歸納成表格“等額分期償還表”：1110|(1),1, .n kkkn kn kn iPRIRRvBRvvkna 時期付款金額支付利息償還本金 未還貸款額01Kn-.R.R-.R(1-v)-.Rv .0總計nR-|n iRaR(1)nRvnRv1|niRa1(1)n kRv 1n kRv |nk iRa| ninR Ra|0niRaB從表中可以看出，每期償還的本金金額是一個等比遞增數(shù)列，意味著借款人在初期償還的本金較少，而在后期償還的本金較多，相應(yīng)地，由于每期支付的總金額R是固定的，借款人支付的利息金額是逐期遞減的。同時，每期償還的本金金額之和等于原始本金。例 設(shè)甲向乙