概率論教學課件ch4習題課張穎

1、假設檢驗習題課x t(n)t(n)分位點：分位點：設設0 單個總體還是多個總體單個總體還是多個總體? ? 2 檢驗均值還是檢驗方差檢驗均值還是檢驗方差? ?3 單邊檢驗還是雙邊檢驗單邊檢驗還是雙邊檢驗? ?應用舉例應用舉例例例1 一臺車床生產某一型號的滾珠一臺車床生產某一型號的滾珠. .已知滾珠的直徑服從正態(tài)已知滾珠的直徑服從正態(tài)分布分布, ,規(guī)定直徑的標準值為規(guī)定直徑的標準值為1( (cm),),均方差不能超過均方差不能超過0.02( (cm).).現(xiàn)從這臺車床生產的滾珠中抽出現(xiàn)從這臺車床生產的滾珠中抽出9個個, ,測得其直徑為測得其直徑為: : 0.994，1.014，1.02，0.95，

2、1.03，0.988，0.979，1.023，0.982，問這臺車床工作是否正常？問這臺車床工作是否正常？( (取檢驗水平取檢驗水平 =0.05) )分析：分析：（2）對對期望期望 的假設檢驗，單邊還是雙邊的假設檢驗，單邊還是雙邊? ? （3）對對方差方差的檢驗假設，單邊還是雙邊的檢驗假設，單邊還是雙邊? ? （1）要判斷工作是否正常，需檢驗什么？要判斷工作是否正常，需檢驗什么？備擇假設備擇假設h1應取作什么？應取作什么？ 檢驗統(tǒng)計量用哪一個？檢驗統(tǒng)計量用哪一個？備擇假設備擇假設h1應取作什么？應取作什么？檢驗統(tǒng)計量用哪一個？檢驗統(tǒng)計量用哪一個？設滾珠的直徑為設滾珠的直徑為x，計算其樣本均值為

3、計算其樣本均值為 x = 0.998，樣本均方差為樣本均方差為s=0.026。（1）先在水平先在水平 =0.05下檢驗假設下檢驗假設 h0: = 0=1 h1: 0=1。 設滾珠的直徑為設滾珠的直徑為x，計算其樣本均值為，計算其樣本均值為 x = 0.998，樣本均方差為樣本均方差為 s=0.026。取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量310sxnsxt 則則 tt(9- -1)由由 p|t|t0.025(8)=0.05， 查查t 分布表得分布表得:t0.025(8)=2.306，即拒絕域為即拒絕域為 ( ,2.3062.306，+ )，3026. 01998. 0 t= 0.23 02 =0.022 取統(tǒng)計量取

4、統(tǒng)計量2220202. 08)1(ssny 則則y 2（8）由由 py 20.05(8)=0.05, 查查 2分布表分布表得得: 20.05(8)=15.507,從而拒絕域為從而拒絕域為15.507,+ )而而y的數值的數值 y=(8 0.022) 0.0262 = 9.69 15.507, 故故接受接受h0。綜合綜合（1）和和（2）可以認為車床工作正常?？梢哉J為車床工作正常。例例1 一臺車床生產某一型號的滾珠一臺車床生產某一型號的滾珠. .已知滾珠的直徑服從正態(tài)已知滾珠的直徑服從正態(tài)分布分布, ,規(guī)定直徑的標準值為規(guī)定直徑的標準值為1( (cm),),均方差不能超過均方差不能超過0.02(

5、(cm).).現(xiàn)從這臺車床生產的滾珠中抽出現(xiàn)從這臺車床生產的滾珠中抽出9個個, ,測得其直徑為測得其直徑為: : 0.994，1.014，1.02，0.95，1.03，0.988，0.979，1.023，0.982，問這臺車床工作是否正常？問這臺車床工作是否正常？( (取檢驗水平取檢驗水平 =0.05) )例例2 在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的革新是否會在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的革新是否會增加鋼的得率?，F(xiàn)在同一平爐上分別用標準方法和革新的方法交增加鋼的得率。現(xiàn)在同一平爐上分別用標準方法和革新的方法交替各煉了替各煉了10 爐，其得率分別為爐，其得率分別為: :標準方法標準

6、方法 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3新方法新方法 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1設這兩個樣本相互獨立，都來自正態(tài)總體，且二總體的方差相同。設這兩個樣本相互獨立，都來自正態(tài)總體，且二總體的方差相同。問革新的方法能否提高得率？取問革新的方法能否提高得率？取 =0.005. 設用標準方法煉一爐鋼的得率為設用標準方法煉一爐鋼的得率為x，用新方法煉一爐鋼，用新方法煉一爐鋼的得率為的得率為y，則，則xn( ,),y n( 2,).(1)

7、首先考慮需檢驗的假設是什么首先考慮需檢驗的假設是什么? ?(2)檢驗統(tǒng)計量應用哪一個檢驗統(tǒng)計量應用哪一個? ?分析分析: : 先求出各方法的樣本均值和樣本方差先求出各方法的樣本均值和樣本方差: : 標準方法標準方法: : n1=10 x1=76.23 s12 =3.325 新新 方方 法法: : n2=10 x2=79.43 s22 =2.225在水平在水平 =0.005下檢驗假設下檢驗假設 h0: = 2, h1: 2當假設當假設h0為真時為真時, ,取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量222121)(1011ssyxnnsyxt 則則tt(18)由由pt- -t0.005(18)=0.005, ,查表得查表得

8、 t0.005(18)=2.8784。從而拒絕域為從而拒絕域為（- - ，- -2.8784.代入樣本值得代入樣本值得t的值為的值為t=- -4.295- -2.8784, ,所以拒絕所以拒絕h0. .故我們認為建議的操作方法較原來的標準方法為優(yōu)故我們認為建議的操作方法較原來的標準方法為優(yōu). .解解: :例例2 現(xiàn)在同一平爐上分別用標準方法和革新的方法交替各煉了現(xiàn)在同一平爐上分別用標準方法和革新的方法交替各煉了10 爐，其得率分別為爐，其得率分別為: :標準方法標準方法 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3新方法新

9、方法 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1設這兩個樣本相互獨立，都來自正態(tài)總體，且二總體的方差相同。設這兩個樣本相互獨立，都來自正態(tài)總體，且二總體的方差相同。問革新的方法能否提高得率？取問革新的方法能否提高得率？取 =0.005.例例3 某建筑構件廠使用兩種不同的沙石生產混凝土某建筑構件廠使用兩種不同的沙石生產混凝土預制塊預制塊, , 各在所產產品中取樣分析各在所產產品中取樣分析. .取使用甲種沙石的取使用甲種沙石的預制塊預制塊20塊塊, ,測得平均強度為測得平均強度為310kg / cm2, ,標準差為標準差為4

10、.2kg / cm2, ,取使用乙種沙石的預制塊取使用乙種沙石的預制塊16塊塊, ,測得平均強測得平均強度為度為308kg / cm2, ,標準差為標準差為3.6kg / cm2, ,設兩個總體都服設兩個總體都服從正態(tài)分布從正態(tài)分布, ,在在 =0.01下下, ,問問 (1)(1)能否認為兩個總體方差相等能否認為兩個總體方差相等? ? (2) (2)能否認為使用甲種沙石的預制塊的平均強度顯能否認為使用甲種沙石的預制塊的平均強度顯著的高于用乙種沙石的預制塊的平均強度著的高于用乙種沙石的預制塊的平均強度? ? 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量1221ssf 則則f(19,15)，查分布表得查分布表得 f0.01/

11、2(19,15)=f0.005(19,15)=3.59 f1- -0.005(19,15)=1/ f0.005(15,19)=0.26從而拒絕域為從而拒絕域為(0,0.263.59,+)將樣本值將樣本值s1=4.2,s2=3.6代入代入, ,得得f的數值為的數值為4.22/3.62=1.360.261.36 2取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量2111nnsyxt 則則tt(n1+n2- -2)=t(34)由由ptt0.01(34)=0.01, , 查分布表得查分布表得t0.01(34)=2.4411從而拒絕域為從而拒絕域為2.4411,+) )從而接受假設從而接受假設h0. . 即不能認為使用甲種沙石的預制塊

12、的平均強度即不能認為使用甲種沙石的預制塊的平均強度顯著的高于使用乙種沙石的預制塊的平均強度顯著的高于使用乙種沙石的預制塊的平均強度. .代入樣本值代入樣本值n1=20,n2=16, s1=4.2,s2=3.6得得t的數值為的數值為 t=1.512.4411例例4 機床廠某日從兩臺機器所加工的同一種零件中，分別抽機床廠某日從兩臺機器所加工的同一種零件中，分別抽取若干樣品測量零件尺寸，測得數據如下：取若干樣品測量零件尺寸，測得數據如下：機器甲：機器甲：6.2 5.7 6.5 6.0 6.3 5.8 5.7 6.0 6.0 5.8 6.0機器乙：機器乙：5.6 5.9 5.6 5.7 5.8 6.0

13、 5.5 5.7 5.5問兩臺機器的加工精度是否有顯著差異？問兩臺機器的加工精度是否有顯著差異？05. 0 05. 0 211210:,: hh222121 ，2221 與與2221122210:,: hh解：在檢驗水平解：在檢驗水平下，檢驗假設下，檢驗假設 因為因為均未知，且不知均未知，且不知(1)故故先檢驗假設先檢驗假設是否相等，是否相等，0h )8 ,10(2221fssf 05. 0)8 ,10()810(205. 02221205. 012221 fssfssp，2597. 085. 31)10, 8(1)8 ,10(, 3 . 4)8 ,10(025. 0205. 01205. 0

14、 fff), 3 . 42597. 0, 0( 當假設當假設為真時，取檢驗統(tǒng)計量為真時，取檢驗統(tǒng)計量 由由 查表得：查表得：故拒絕域為故拒絕域為222221173. 0,253. 0 ss1386. 2173. 0253. 022 f211210: hh)2911(91111 tsyxt 05. 0)18(91111205. 0 tsyxp 1009. 2)18(025. 0 t173. 0, 7 . 5,253. 0, 62211 sxsx代入樣本值代入樣本值得得0h 所以接受所以接受2221 ，故可以認為故可以認為(2)再檢驗假設再檢驗假設0h 當假設當假設為真時，取檢驗統(tǒng)計量為真時，取檢

15、驗統(tǒng)計量 由由 查表得：查表得：代入樣本值代入樣本值1009. 20226. 3911112911173. 08253. 0107 . 5622 t0h所以拒絕所以拒絕 , ,故可以認為兩臺機器的加工精度有顯著差異。故可以認為兩臺機器的加工精度有顯著差異。 從而拒絕域為從而拒絕域為2.1009,+) )(- -,2.1009例例5 在在70年代后期人們發(fā)現(xiàn)，在釀造啤酒時，在麥年代后期人們發(fā)現(xiàn)，在釀造啤酒時，在麥 牙牙 干燥過程中形成致癌物質亞硝基二甲胺（干燥過程中形成致癌物質亞硝基二甲胺（ndma）。到）。到了了 80年代初期開發(fā)了一種新的麥牙干燥過程。下面給出年代初期開發(fā)了一種新的麥牙干燥過

16、程。下面給出分別在新老兩種過程中形成的分別在新老兩種過程中形成的ndma含量（以含量（以10億份中億份中的分數計）。的分數計）。老過程老過程6 45 56 5564674新過程新過程2 12 21 0321013記對應于老、新過程的總體的記對應于老、新過程的總體的設兩樣本分別來自正態(tài)總體，且兩總體的方差相等。設兩樣本分別來自正態(tài)總體，且兩總體的方差相等。檢驗假設（取檢驗假設（取)05. 0 獨立。分別以獨立。分別以21, 均值，均值，, 2:210 h, 2:211 h 分析分析:這是兩個正態(tài)總體均值關系的一個假設檢驗問題，這是兩個正態(tài)總體均值關系的一個假設檢驗問題， 是一個單邊檢驗，且兩總體

17、的方差未知但相等，該如何是一個單邊檢驗，且兩總體的方差未知但相等，該如何選取統(tǒng)計量呢？選取統(tǒng)計量呢？ 仍選擇仍選擇t 統(tǒng)計量。統(tǒng)計量。解：解：, 2:210 h, 2:211 h若若0h為真，則統(tǒng)計量為真，則統(tǒng)計量212111nnsyxt )()(21122121nntnnsyx 所以所以 )2(1122121nntnnsyxp12,05. 021 nn 查表得查表得7207. 1)22(05. 0 t所以拒絕域為：所以拒絕域為：7207. 1 t所以在所以在05. 0 下下，t落入拒絕域中，拒絕落入拒絕域中，拒絕0h即認為即認為221 代入計算得代入計算得7207. 13616. 4 t例例

18、6 在在10塊土地上試種甲乙兩種作物，所得產量塊土地上試種甲乙兩種作物，所得產量,(21xx,(),2110yyx).10y假設作物產量假設作物產量并計算得并計算得.79.21,97.30 yx分別為分別為服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，若取顯著若取顯著可以認為這兩個品種的產量沒有顯著性差異？可以認為這兩個品種的產量沒有顯著性差異？112726.,. yxss問是否問是否乙種作物產量乙種作物產量),(222 ny解解 甲種作物產量甲種作物產量),(211 nx要檢驗要檢驗.:210 h由于由于2221, 未知，檢驗假設未知，檢驗假設h0，先要檢驗，先要檢驗.:22210 h用用 f檢驗，若檢驗，若

19、0h 成立，則統(tǒng)計量成立，則統(tǒng)計量)1, 1(2122 nnfssfyx01. 0 查表得臨界值查表得臨界值:1529. 0)9 , 9(,54. 6)9 , 9(995. 0005. 0 ff性水平為性水平為1%，所以所以0h 的接受域為：的接受域為：)54.6 ,1529.0(代入已知值，求得代入已知值，求得869. 4)1 .12()7 .26(2222 yxssf顯然顯然f落入接受域，所以接受原假設落入接受域，所以接受原假設22210: h若若0h成立，則統(tǒng)計量成立，則統(tǒng)計量)2(211121 nntsyxtnn 01. 0 查表得臨界值查表得臨界值,8784. 2)18(005. 0

20、 t所以所以0h的接受域為：的接受域為：8784. 2)18(|005. 0 tt代入已知值，求得代入已知值，求得99. 0 t顯然顯然t落入接受域中，所以接受落入接受域中，所以接受,0h即兩個品種的即兩個品種的產量沒有產量沒有 顯著性差別。顯著性差別。2. 分布函數的擬合檢驗分布函數的擬合檢驗.)(0不含未知參數不含未知參數其中設其中設xf假設假設, )( :00 xfxh的分布函數為的分布函數為總體總體 , )( :01xfxh的分布函數不是的分布函數不是總體總體 kiiinnpf12為真時為真時當當0h kiiiipnfpn122 1)-(k2 , )1k(22 拒絕域：拒絕域：說明：說

21、明：首首先先求求出出個個未未知知參參數數分分布布函函數數含含有有所所假假設設的的若若,0rh),(iiiappp 的的估估計計值值進進而而求求出出 ,參數的最大似然估計參數的最大似然估計npnfkiii 122 .0的統(tǒng)計量的統(tǒng)計量作為檢驗假設作為檢驗假設 h可以證明可以證明,為真時近似地有為真時近似地有在在0hnpnfkiii 122 )1(2 rk 可得假設檢驗問題的拒絕域為可得假設檢驗問題的拒絕域為),1(22 rk 以以p93,15檢查了一本書的檢查了一本書的100頁，記錄各頁中的印刷錯誤的頁，記錄各頁中的印刷錯誤的個數，其結果如下：個數，其結果如下：問在顯著性水平問在顯著性水平0.0

22、5下，能否認為一頁中的印刷錯誤個數下，能否認為一頁中的印刷錯誤個數服從泊松分布？服從泊松分布？解：設解：設!:0ieixphi ., 1 , 0 i 將將x的所有取值分為：的所有取值分為：x=0,x=1,x=6,x7等子集，等子集，根據假設求出根據假設求出x落在每個子集內的概率，根據樣本數據求落在每個子集內的概率，根據樣本數據求出出x落在每個子集內的頻率，得下表：落在每個子集內的頻率，得下表：1 x 的最大似然估計值：的最大似然估計值：0001. 00005. 00031. 00153. 00613. 01839. 03679. 03679. 003. 8 630.19490.43227.35iaifip ipn iipnf2 0: xao 1:1 xa 2:2 xa 3:3 xa 4:4 xa 5:5 xa 6:6 xa364019