211曲線與方程

1、導入新課導入新課觀察與分析觀察與分析 我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面平面截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是一個圓，如果改變平面與圓錐的交線）是一個圓，如果改變平面與圓錐曲線的夾角，會得到什么呢？曲線的夾角，會得到什么呢？拋物線拋物線雙曲線雙曲線橢圓橢圓 如圖：以上三個不垂直于圓錐軸的如圖：以上三個不垂直于圓錐軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸夾角不平面截圓錐，當截面與圓錐的軸夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是拋物線，雙曲線，和橢圓分別是拋物線，雙曲線，和橢圓.觀察與分析觀察

2、與分析 因此我們通常把因此我們通常把拋物線拋物線，雙曲線雙曲線和和橢圓橢圓統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為圓錐曲線圓錐曲線. 圓錐曲線與科研、生活以及人圓錐曲線與科研、生活以及人類生活有著密切的關系類生活有著密切的關系. 早在早在16、17世紀之交，開普勒就世紀之交，開普勒就發(fā)現(xiàn)行星繞太陽運行的軌道是一個橢發(fā)現(xiàn)行星繞太陽運行的軌道是一個橢圓圓. 噴泉噴出噴泉噴出美麗的拋物線美麗的拋物線 發(fā)電廠冷卻塔發(fā)電廠冷卻塔的外形是雙曲線的外形是雙曲線教學重難點教學重難點 重點重點 難點難點掌握曲線的方程，方程的曲線的概念掌握曲線的方程，方程的曲線的概念.使同學們理解曲線的方程的概念使同學們理解曲線的方程的概念.培養(yǎng)學生分析曲

3、線的能力培養(yǎng)學生分析曲線的能力. 我們知道，在直角坐標系中，平分第一、我們知道，在直角坐標系中，平分第一、三象限的直線的方程是三象限的直線的方程是x - y=0，這就是說，如，這就是說，如果點果點 M（x0，y0）是這條直線上的任意一點，）是這條直線上的任意一點，它到兩坐標軸的距離相等，它到兩坐標軸的距離相等，即即 x0 = y0，那么，那么，點點 M（ x0，y0 ）是方程是方程 x - y=0的解的解.M(x0，y0)yx0 反過來，如果（反過來，如果（ x0，y0 ）是）是方程方程x - y=0的解，即的解，即x0=y0， 那么那么以這個解為坐標的點到兩坐標軸以這個解為坐標的點到兩坐標軸

4、的距離相等的距離相等.M(x0，y0)yx0 一般地，在直角坐標系中，如果一般地，在直角坐標系中，如果某曲線某曲線 C（ 看作點的集合或適合某種條看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個一元二次件的點的軌跡）上的點與一個一元二次方程方程 f（x，y）=0的實數(shù)解建立了如下的實數(shù)解建立了如下的關系：的關系：（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解曲線上的點的坐標都是這個方程的解;（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線以這個方程的解為坐標的點都是曲線 上的點上的點. 那么，這個方程叫做那么，這個方程叫做曲線的方程曲線的方程；這條這條 曲線叫做曲線叫做方程的曲線方程的曲線.證明證明與兩條坐標

5、軸的距與兩條坐標軸的距離的積是常數(shù)離的積是常數(shù)k（k0）的點的軌跡方程是的點的軌跡方程是xy=k的解的解.MRO Q圖圖2.1-3例例1：yx證明證明：（1）如圖如圖2.1-3，設，設M（x0，y0）是軌跡上的任一點是軌跡上的任一點.因為點因為點M與與x軸的距離為軸的距離為|y0|，與與y軸的距離為軸的距離為|x0|，所以，所以|x0| |y0|=k，即（即（x0，y0）是）是方程方程 x y=k的解的解.MRO Q如圖如圖2.1-3yx（2）設點設點M1的坐標（的坐標（x1，y1）是方程）是方程xy=k 的解，的解，則則x1y1=k 即即|x1|y1|=k，|x1|，|y1|正是點正是點M1

6、到縱軸到縱軸和橫軸的距離，因此點和橫軸的距離，因此點M1到這兩條直線的距離的到這兩條直線的距離的積是常數(shù)積是常數(shù)k，點，點M1是曲線上的點是曲線上的點. 由（由（1）（）（2）可知）可知x y =k是與兩條坐標的距是與兩條坐標的距離的積為常數(shù)離的積為常數(shù)k（k0）的點的軌跡方程）的點的軌跡方程. 已知等腰三角形三個頂點的坐標已知等腰三角形三個頂點的坐標分別是分別是A（0，3），），B（-2，0），），C（2，0）.問問：中線中線AO（O為原點）所在直線的為原點）所在直線的方程是方程是 x = 0嗎？為什么？嗎？為什么？例例2：解解：是，由圖可知，等：是，由圖可知，等腰三角形腰三角形ABC的邊的

7、邊BC上上的中線的中線AO所在直線的方所在直線的方程是：程是：x=0ABCOxy 這里的這里的“曲線曲線”指的是三角形指的是三角形ABC中中BC的中線所在的直線的中線所在的直線, x=0是這條曲線的方程是這條曲線的方程. 在理解什么是在理解什么是“曲線曲線”時，要注時，要注意曲線是滿足條件的圖形；在理解意曲線是滿足條件的圖形；在理解“方程方程”時，要注意方程包含對其中時，要注意方程包含對其中未知數(shù)的限制未知數(shù)的限制. 比如本例題中，三角形比如本例題中，三角形ABC中中BC的中線的方程是的中線的方程是x=0（0y 3）. 注意！注意！課堂小結(jié)課堂小結(jié)（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解曲線上的

8、點的坐標都是這個方程的解（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線以這個方程的解為坐標的點都是曲線 上的點上的點 那么，這個方程叫做那么，這個方程叫做曲線的方程曲線的方程；“曲線的方程曲線的方程”的概念的概念 ：（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解曲線上的點的坐標都是這個方程的解（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線以這個方程的解為坐標的點都是曲線 上的點上的點 那么，那么，這條曲線叫做這條曲線叫做方程的曲線方程的曲線.“方程的曲線方程的曲線”的概念的概念 ：高考鏈接高考鏈接2.（2006北京理）北京理）已知：曲線已知：曲線C上的任意一點上的任意一點P到點到點F（0，1）的距離比它到直線的距離比

9、它到直線m:y=- -4的距離小的距離小3.不經(jīng)過不經(jīng)過坐標原點的直線坐標原點的直線l與曲線與曲線C相交于兩個不同點相交于兩個不同點A,B，且以，且以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O（1）求曲線方程）求曲線方程C的方程；的方程；（2）求證：直線）求證：直線l過定點，并求出過定點，并求出該該定定點的坐標；點的坐標；（3）三角形）三角形ABF的面積是否存在的面積是否存在最小值？若不存在請說明理由；最小值？若不存在請說明理由；（4）設曲線）設曲線C在點在點A、B處的切線處的切線分別為分別為l1，l2，證明，證明l1與與l2的焦點必的焦點必定在定直線定在定直線m：y=-4上上.解：解

10、： （1）解法解法1：依題意，：依題意，可知，曲線可知，曲線C是是“平面內(nèi)到平面內(nèi)到頂點頂點F（0，1）的距離與到）的距離與到定直線定直線y=-1的距離相等的點的距離相等的點的軌跡的軌跡”，所以它是以，所以它是以F（0，1）為焦點，以直線）為焦點，以直線y=-1為準為準線的拋物線線的拋物線.所以曲線所以曲線C的方程式的方程式x2=4y.（1）解法解法2：設點設點P的坐標為（的坐標為（x，y），依題意指），依題意指點點P必定在直線必定在直線m的上方，的上方，即即y -4于是于是 |PF|= |y+4|- 3= y+1，所，所以以 整理得整理得x2=4y所以曲線所以曲線C的方程是的方程是x2=4y

11、.它是以它是以F（0，1）為焦點，）為焦點，以直線以直線y=-1為準線的拋物線為準線的拋物線.22(1)1xyy（2）直線）直線l的斜率顯然存在，的斜率顯然存在，又直線又直線l不經(jīng)過坐標原點，故可不經(jīng)過坐標原點，故可設直線設直線l的方程為的方程為 y=kx+b（b0），并設），并設A（x1，y1），）， B（x2，y2）由由 ，消去，消去y，整理，整理得得 x2- 4kx - 4b=0 x1+x2=4k x1x2=-4byxbkxy42 若以若以AB為直徑的圓過坐標為直徑的圓過坐標原點原點O則則x1x2+y1y2=0，即即 將將帶入帶入，得得解的解的b=4或或b=0（舍去）（舍去）所以所以x1

12、x2=-16，直線直線l的方程為的方程為y=kx+4，顯然，直線顯然，直線l過定點過定點M（0，4）0161222121xxxx0)4(16142bbOBOA （3）由弦長公式得）由弦長公式得把把帶入上式，得帶入上式，得設點設點F（0，1）到直線）到直線l：kx-y+4=0的距離為的距離為d，則則2122124)(1|xxxxkAB414|22kkAB131|410|22kkd46|212kdABSAFB 當當k=0時，時，SAFB有最有最小值，是小值，是12 AFB的面積存在最的面積存在最小值，最小值是小值，最小值是12.（4）曲線）曲線C的方程可化為的方程可化為則則 ，所以所以l1的方程為

13、：的方程為： l2的方程為：的方程為：214yxxy211121|1xykxx2221|2xykxx)(21411121xxxxy)(21412222xxxxy解解聯(lián)立方程組，得聯(lián)立方程組，得所以所以l1與與l2的焦點為的焦點為 M（2k，-4）它恒定在直線它恒定在直線m：y=-4上上.12121212x +xx +xx=2k,x=2k,2 2x xx xx=-4x=-44 4課堂練習課堂練習1.下面各對方程中表示的曲線相同的下面各對方程中表示的曲線相同的一對是（一對是（ ）. （A） y2=x與與y=x （B）y=x與與 y / x=1 （C）y=x與與y2=x2 （D）y=lgx2與與y=

14、2lgxC 2. 如果命題如果命題“坐標滿足方程坐標滿足方程f (x, y)0的點都在曲線的點都在曲線c上上”是不正確的，那是不正確的，那么下列命題正確的是（么下列命題正確的是（ ）.A. 坐標滿足方程坐標滿足方程f (x, y)0的點都的點都 不在曲線不在曲線c上上 B. 坐標滿足方程坐標滿足方程f (x, y)0的點有的點有 些在曲線些在曲線c上，有些不在曲線上，有些不在曲線c上上 C. 曲線曲線c上的點不都滿足方程上的點不都滿足方程f (x, y)0 D. 一定有不在曲線一定有不在曲線c上的點，其坐標滿足上的點，其坐標滿足 方程方程f (x, y)0 D填空題：填空題：1.已知已知ABC

15、的面積為的面積為4，A、B兩點的兩點的坐標分別是（坐標分別是（2，0）、（）、（2，0），），則頂點則頂點C的軌跡方程是的軌跡方程是 _ .y=2和和 y =2 2. m=2是直線是直線(2m )xmy+3=0和和直線直線 xmy3=0互相垂直的互相垂直的_ .充分而不必要的條件充分而不必要的條件1.若直線若直線 l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能圍成三角形能圍成三角形,求求a的取值范圍的取值范圍.解答題解答題解：解：由由l1、l2相交，需要相交，需要1a- -110，得到，得到a 1，此時，解方程組，此時，解方程組可解得可解得 .即即l1，l2的交點為（的

16、交點為（- -1- -a，1），），由由l1、l3相交，需相交，需11- -aa0,a1,又又(- -1- -a,1) l3a(- -1- -a)+1+10,得得a1且且a- -2,綜上，綜上，aR且且a1且且a- -2,能保證三交點能保證三交點(- -1- -a,1),(1,- -1- -a)、(- -1- -a,- -1+a+a2)互不重合，互不重合，所以所求所以所求a的范圍為的范圍為a(- -,- -2)(- -2,- -1)(- -1,1)(1,+).x+y +a = 0 x+ay +1= 0 x =1y =1a 解解：如圖，設圍成四邊形為：如圖，設圍成四邊形為OABC，因因OABC有外接圓，且有外接圓，且AOC90，故故ABC90.兩條直線兩條直線x+3y-7=0,kx y 2 = 0互互相垂直，相垂直，(- )k=-1，即，即k=3.312.已知直線已知直線x+3y-7=0，kx-y-2=0和和x軸、軸、y軸圍成軸圍成四邊形有外接圓，求四邊形有外接圓，求k. 教材習題答案教材習題答案1.已知等腰三角形的三個頂點坐標分已知等腰三角形的三個頂點坐標分別是（別是（0，3）（）（-2，0）（）（2，0）.中中線線AO（O為原點）所在直線方程是為原點）所在直線方程是x=0嗎？為什么？嗎？為什么？解：解：是，容易求出等腰三角形是，容易求出等腰三角形ABC的的變變BC