時間序列平滑預(yù)測

1、實驗3：時間序列平滑預(yù)測3.1實驗?zāi)康?1、了解移動平均法和指數(shù)平滑法的基本概念，基本原理；2、掌握一次移動平均法，二次移動平均法，單指數(shù)平滑，雙指數(shù)平滑和霍爾特指數(shù)平滑法預(yù)測模型形式，適用條件及內(nèi)在機理；3、掌握利用Excel軟件實現(xiàn)一次移動平均法，二次移動平均法操作步驟； 4、掌握利用Eviews軟件實現(xiàn)單指數(shù)平滑，雙指數(shù)平滑和霍爾特指數(shù)平滑法預(yù)測的操作流程。 3.2實驗原理 3.2.1移動平均法移動平均法是根據(jù)一段時間序列的樣本資料、逐項推移，依次計算包含一定項數(shù)的序時平均數(shù)，來預(yù)測序列趨勢的一種平滑方法。它是最簡單的自適應(yīng)預(yù)測模型，主要包括一次移動平均和二次移動平均兩種方法。（一）一次

2、移動平均法一次移動平均法又稱簡單移動平均法，它是根據(jù)序列特征，計算一定項數(shù)的算術(shù)平均數(shù)作為序列下一期的預(yù)測值，這種方法隨著時間的推移逐漸納入新的數(shù)據(jù)同時去掉歷史數(shù)據(jù)。（1）計算公式：設(shè)時間序列為：一次移動平均的計算公式為：式中：為第t期移動平均數(shù)；n為移動平均的項數(shù)。公式表明時間t每向前移動一個時期，一次移動平均便增加一個新近數(shù)據(jù)，去掉一個遠期數(shù)據(jù)，得到一個新的平均數(shù)。這種邊移動變平均的方法被稱為一次移動平均法。通過推到我們可以得到一次移動平均法遞推公式： 公式說明每一新預(yù)測值是對前一移動平均預(yù)測值的修正。（2）預(yù)測公式為： 即以第t期移動平均數(shù)作為第t+1期的預(yù)測值。（3）特點：該預(yù)測方法簡

3、單易行，當(dāng)序列的實際值波動較大時，我們通常會通過移動平均法減弱隨機波動性，消除隨機干擾，以幫助進行序列實際趨勢的分析；移動平均的項數(shù)n的選擇至關(guān)重要， n越大，修勻的程度也越大，移動平均后的序列波動程度越小。反之，如果n越小，對原序列的改變就越小。實際中 n到底取多大，應(yīng)該根據(jù)時間序列具體情況作出選擇擇。較有效的方法是取盡量多的n值進行試算，然后比較預(yù)測的均方誤差，計算最小的均方誤差的具體移動平均項數(shù)n便是最優(yōu)的。（3）應(yīng)用條件：一次移動平均法主要應(yīng)用于平穩(wěn)時間序列的預(yù)測，對于具有明顯遞增、遞減趨勢的時間序列一次移動平均預(yù)測法會有滯后偏差。（二）二次移動平均法1、二次移動平均法：當(dāng)時間序列具有

4、明顯遞增，遞減變動趨勢時，用一次移動平均法預(yù)測就會出現(xiàn)滯后偏差。需要進行修正，修正方法在一次移動平均的基礎(chǔ)上再進行一次移動平均，然后建立線性趨勢預(yù)測模型來修正滯后偏差。2、計算公式：一次移動平均數(shù)為： 二次移動平均：其遞推公式為 （三）預(yù)測模型二次移動平均的預(yù)測模型是利用滯后偏差建立直線趨勢預(yù)測模型，模型形式如下：其中系數(shù) 、的表達式為：， T是距離最近一期的樣本周期長度。 3.2.2 指數(shù)平滑法移動平均法存在將最近n期數(shù)據(jù)等權(quán)看待的缺點，而對t-N期以前的數(shù)據(jù)完全忽視，這往往不符合實際。為了改進上述缺點提出了指數(shù)平滑法。指數(shù)平滑法發(fā)展到現(xiàn)在有許許多多方法，這里我們主要講Eviews5.0能實

5、現(xiàn)的單指數(shù)平滑，雙指數(shù)平滑，Holt-Winters無季節(jié)指數(shù)模型，Holt-Winters加法指數(shù)模型，Holt-Winters乘法指數(shù)模型。 3.2.21單指數(shù)平滑法（一）單指數(shù)平滑法如果序列前一期預(yù)測值加上前期預(yù)測值中產(chǎn)生誤差的修正值則為指數(shù)平滑法。即： 1、預(yù)測模型：給定修正系數(shù)，第t+1期預(yù)測值是t期預(yù)測值與t期觀測值的加權(quán)平均數(shù)。單指數(shù)平滑預(yù)測模型是由一次移動平均法得來的：因為一次移動平均公式為 又因為 所以 ，用近似代替整理得令，便得到所以指數(shù)平滑預(yù)測模型實質(zhì)是第t+1期的預(yù)測值是第t期的實際值和第t期的預(yù)測值的加權(quán)平均數(shù)。對此模型可以重新排列，所以第t+1期的預(yù)測值是第t期的預(yù)

6、測值加上第t期的實際值與第t期的預(yù)測值的修正值。2、遞推公式： 因為 所以 整理得：我們再將、，帶入上述模型整理得： 這里系數(shù)的范圍，所以第t+1期的預(yù)測值是第t期、t-1期、t-2期、t-n+1期的加權(quán)平均數(shù)，其權(quán)重按幾何級數(shù)遞減，越靠近預(yù)測期，權(quán)重越大。越遠離預(yù)測期，權(quán)重越小。3、初始預(yù)測值的選擇和加權(quán)系數(shù)的確定平滑模型的初始預(yù)測值是由預(yù)測者估計的。一般給定的原則（1）當(dāng)時間序列的數(shù)據(jù)較多，初始預(yù)測值值對以后的預(yù)測值影響很小，用最初一期數(shù)據(jù)做為初始值；（2）如果時間序列的數(shù)據(jù)中等，一般以最初幾期的實際值的算數(shù)平均數(shù)作為初始預(yù)測值；（3）如果時間序列的數(shù)據(jù)長度充分大，初始預(yù)測值可以任意給定。

7、加權(quán)系數(shù)的確定直接影響預(yù)測結(jié)果，所以的取值是否恰當(dāng)直接影響預(yù)測結(jié)果和精度，的取值范圍為，這區(qū)間的數(shù)據(jù)有許許多多，值既代表預(yù)測模型對時間序列數(shù)據(jù)變化的反應(yīng)速度，又決定預(yù)測模型修勻誤差的能力。實際中確定的值方法有許多，這里講兩種常用的方法：（1） 直接給定法。這種方法是根據(jù)所研究序列特征直接賦予平滑系數(shù)的具體值，當(dāng)序列變化幅度較小時，我們要選取較小的，反之，當(dāng)序列變化幅度較大，變化迅速時，要選取較大的靠近1的值。（2） 間接均方誤差法。先將平滑系數(shù)離散化，在0,1之間按一定的步長取的值，然后計算每一期的預(yù)測值，根據(jù)均方誤差公式計算每一次的值，均方誤差值最小的那個平滑系數(shù)便是最優(yōu)的。3.2.22雙指

8、數(shù)平滑法雙指數(shù)平滑法的原理與二次移動平均法類似，當(dāng)時間序列具有明顯遞增、遞減變動時，單指數(shù)平滑預(yù)測法會存在明顯滯后偏差所以此時要進行二次指數(shù)平滑，即雙指數(shù)平滑法。雙指數(shù)平滑法的預(yù)測模型其中T是預(yù)測期距離第t期的時期數(shù)，一般情況下t期取樣本數(shù)據(jù)最近的一期，截距和斜率的計算公式如下： 是一次指數(shù)平滑值，為二次指數(shù)平滑值 3.2.23 Holt-Winters無季節(jié)指數(shù)模型這種方法與雙指數(shù)平滑法一樣，主要用于具有線性趨勢，但無季節(jié)變動的時間序列的預(yù)測，預(yù)測模型為：模型中、由以下公式?jīng)Q定：兩個系數(shù)、，其范圍都在01之間。3.2.24 Holt-Winters加法指數(shù)模型，Holt-Winters加法指

9、數(shù)模型主要用于具有線性趨勢、季節(jié)性，且這種變化以加法形式疊加的序列預(yù)測。預(yù)測模型為：是趨勢因素，為季節(jié)指數(shù)，L是季節(jié)長度3.2.25 Holt-Winters乘法指數(shù)模型Holt-Winters乘法指數(shù)模型與二次指數(shù)相類似，主要用于具有線性趨勢、季節(jié)性，且這種變化以乘法形式疊加的序列預(yù)測。預(yù)測模型為：模型中、和的表達式為：這里有三個系數(shù)、，其范圍都在01之間，為季節(jié)指數(shù)，L是季節(jié)長度，T的含義與前面的相同。3.3實驗數(shù)據(jù)移動平均法表（1）顯示了某公司19932012年銷售量數(shù)據(jù)年份銷售量（萬元）19936.519947.819957.319968.719976.719986.619998.62

10、0008.120019.120028.720037.120046.820057.120067.820078.320089.320098.620107.820117.520127.9用移動平均法預(yù)測2013年該企業(yè)銷售量。某公司20012011年的產(chǎn)品銷售量數(shù)據(jù)如下表所示，根據(jù)數(shù)據(jù)特點采用指數(shù)平滑法預(yù)測該公司2012年的銷售量。表（2）年份銷售量（萬臺）20011752002172200318020041922005201200621020072202008227200923520102322011240表（3）為2005年1季度2012年4季度某汽車公司銷售季度統(tǒng)計數(shù)據(jù)，試用Holt-Wint

11、ers指數(shù)平滑法預(yù)測2013年該汽車公司14季度的銷售額。表（3）年份季度銷售額（萬輛）20051102.220052109.920053112.120054122.820061131.120062133.32006312120064123.720071139.720072162.220073139.32007417420081185.920082195.720083172.920084178.32009121920092230.120093221.920094230.920101268.520102268.120103206.420104226.42011127120112362.42011

12、3369.62011436420121466.220122468.620123402.8201245073.4實驗過程表（1）的實驗步驟步驟1：利用2007版的Excel繪制時序圖選中數(shù)據(jù)區(qū)域A1：B21，點擊Excel軟件菜單中的【插入】，從下拉菜單中點【散點圖】，選擇第一個散點圖樣式，單擊后得到如下散點圖散點圖比較平穩(wěn)，沒有遞增或遞減趨勢，所以應(yīng)選擇一次移動平均法。步驟2：單擊主菜單中的【數(shù)據(jù)】，在下來菜單中點數(shù)據(jù)分析，出現(xiàn)如下對話框，選擇移動平均。點確定得如下對話框：在“輸入?yún)^(qū)域”中按鼠標左鍵從B2拖動到B21，同理在“輸出區(qū)域”中選擇一段空白格以存儲平均后的序列，間隔即移動平均中所選擇

13、的步長，這里我們給予步長值為3，選中“圖表輸出”和“標準誤差”，點擊“確定”，即得到步長為3 的一次移動平均值、線性圖及其標準誤差。步驟3：根據(jù)輸出結(jié)果和預(yù)測模型得到未來的預(yù)測值實際操作中我們會根據(jù)數(shù)據(jù)特點和長度選擇不同的間隔值，通過對比均方誤差的大小，選擇恰當(dāng)?shù)牟介L值，本例通過對比最后得出步長為3 時的均方誤差最小，所以根據(jù)一次移動平均預(yù)測模型的計算公式可知，2013年該企業(yè)的銷售量為7.733333333萬元。步驟4：用二次移動平均法預(yù)測表（2）2012年企業(yè)銷售量首先按一次移動平均步驟得到一次移動平均值其次在一次移動平均值的基礎(chǔ)上再進行一次平均，結(jié)果如下：根據(jù)二次移動平均計算公式可以得到

14、2013年企業(yè)銷售量的預(yù)測值為：241.5778表（2）的實驗步驟如下：步驟1：觀察序列特征，繪制時序圖點數(shù)據(jù)對象工具條的View-Graph-line步驟2：由于銷售量的時序圖具有明顯遞增趨勢，所以我們采用雙指數(shù)平滑法進行預(yù)測，首先調(diào)整樣本區(qū)間，雙擊工作文件上方的Range,得到如下對話框，將End截止日期改為2012，單擊數(shù)據(jù)對象工具條過程Proc按鈕,在下拉菜單中選擇Exponential Smoothing ,顯示如下圖所示的對話框以下5個信息需要用戶來提供：（1）Smoothing method平滑方法，有5種，分別是單指數(shù)平滑法，雙指數(shù)平滑法，Holt-Winters無季節(jié)指數(shù)模型

15、，Holt-Winters加法指數(shù)模型，Holt-Winters乘法指數(shù)模型。實際中選擇其中一種，這里我們選擇雙指數(shù)平滑法；（2）平滑參數(shù)，平滑參數(shù)有三個，實際操作中用戶可以自行選擇，當(dāng)用戶不指定參數(shù)具體值時，Eviews軟件會根據(jù)誤差平方和達到最小的準則自動估計平滑參數(shù)；（3）平滑預(yù)測的序列名。Eviews軟件在原序列加sm作為平滑預(yù)測后序列，用戶也可以更改此平滑預(yù)測的名字；（4）估計樣本區(qū)間，Eviews軟件默認的是工作文件的樣本區(qū)間，所以要進行樣本外預(yù)測，用戶必須修改樣本區(qū)間；（5）季節(jié)循環(huán)數(shù)，其默認值是月度數(shù)據(jù)為12，季度數(shù)據(jù)為4，用戶可以更改每年的季節(jié)數(shù)，這個選項用戶可以根據(jù)數(shù)據(jù)特點

16、賦予不同的循環(huán)數(shù)。步驟3：預(yù)測結(jié)果點擊ok得到如下對話框由于我們選擇的是雙指數(shù)平滑預(yù)測法，只有一個平滑參數(shù)，這里根據(jù)誤差平方和最小的原則計算出參數(shù)值為0.001，誤差平方之和為230.0977，據(jù)對均方誤差4.573617，模型中的均值項為247.0416，修正趨勢項的值為7.828568。2012年的銷售額預(yù)測值為5254.8702，而且每一年的預(yù)測值都已給出，我們可以計算出預(yù)測的相對誤差。表（3）的實驗步驟如下：步驟1：做序列時序圖，觀察數(shù)據(jù)特征由上圖可知，樣本數(shù)據(jù)具有明顯固定周期變動，且有遞增趨勢，所以可以選擇Holt-Winters加法指數(shù)模型，Holt-Winters乘法指數(shù)模型來預(yù)

17、測。步驟2：Holt-Winters加法指數(shù)模型預(yù)測結(jié)果調(diào)整樣本區(qū)間，然后選擇Holt-Winters加法指數(shù)模型進行預(yù)測結(jié)果給出了參數(shù)值，模型中的均值，修正趨勢項和季節(jié)指數(shù)。我們賦予Holt-Winters加法指數(shù)預(yù)測模型后的序列名為YSM1，2013年各季度值如下：步驟3：Holt-Winters乘法指數(shù)模型預(yù)測結(jié)果預(yù)測方法選擇Holt-Winters乘法模型，會出來如下預(yù)測結(jié)果：與上述Holt-Winters加法指數(shù)預(yù)測模型的結(jié)果對比可知，Holt-Winters乘法指數(shù)預(yù)測模型的誤差平方和和絕對均方誤差都遠遠小于Holt-Winters加法指數(shù)預(yù)測模型，所以這里銷售額的預(yù)測應(yīng)選擇Hol

18、t-Winters乘法指數(shù)預(yù)測模型。即2013年各季度銷售額為YSM2中的597.7202，624.6717553.0266，591.0173。3.5小結(jié)通過本實驗的學(xué)習(xí)能夠更好的理解移動平均法和指數(shù)平滑法的基本原理；各模型適用條件及內(nèi)在機理。能夠靈活的掌握Excel軟件實現(xiàn)一次移動平均法，二次移動平均法操作步驟及利用Eviews軟件實現(xiàn)單指數(shù)平滑，雙指數(shù)平滑和霍爾特指數(shù)平滑法預(yù)測的操作流程。掌握一次移動平均法，二次移動平均法，單指數(shù)平滑，雙指數(shù)平滑和霍爾特指數(shù)平滑法預(yù)測模型形式。3.6練習(xí)實驗1、 某公司過去十年的利潤額如下年次12345678910利潤額4232456043214612462445894633462746684671根據(jù)數(shù)據(jù)選擇合適的步長，用移動平均法預(yù)測第11年該公司利潤額。2、某企業(yè)2007年1季度-2012年4季度的銷售額如下表，根據(jù)數(shù)據(jù)特點選擇具體指數(shù)平滑方法對2012年每季度銷售額作出預(yù)測。年份季度銷售額（萬元）20071362200723852007343220074341200813822008240920083498200843872009147320092513200935822009447420101544201025822010368120104