變化率與導(dǎo)數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1變化率與導(dǎo)數(shù)變化率與導(dǎo)數(shù)氣氣球球膨膨脹脹率率問問題題1 ,):(:,334rrVdmrLV 之間的函數(shù)關(guān)系是位單與半徑單位氣球的體積我們知道 .,343VVrVr 那么的函數(shù)表示為體積如果把半徑 在吹氣球的過程中, 可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加, 氣球的半徑增加得越來越慢. 從數(shù)學(xué)的角度, 如何描述這種現(xiàn)象呢?問題導(dǎo)入第1頁/共54頁 ,.,cmrrLV6200110 氣球半徑增加了時(shí)增加到從當(dāng)空氣容積 ./.Ldmrr6200101 氣球的平均膨脹率為 ,.,dmrrLL1601221 增加了氣球半徑時(shí)增加到當(dāng)空氣容量從類似地 ./.Ldmrr1601212 氣球的平均膨脹率為.

2、,脹率逐漸變小了它的平均膨隨著氣球體積逐漸變大可以看出?,:21均膨脹率是多少氣球的平時(shí)增加到當(dāng)空氣的容量從思考VV 2121r Vr VrVVV第2頁/共54頁高臺跳水高臺跳水問題問題2 .:,1056942 ttthstmh存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系單位單位與起跳后的時(shí)間與起跳后的時(shí)間單位單位面的高度面的高度運(yùn)動(dòng)員相對于水運(yùn)動(dòng)員相對于水在高臺跳水運(yùn)動(dòng)中在高臺跳水運(yùn)動(dòng)中人們發(fā)現(xiàn)人們發(fā)現(xiàn)那么述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描時(shí)間內(nèi)的平均速度如果我們用運(yùn)動(dòng)員某段,v ;/.,.smhhvt054050050500 這段時(shí)間里在 ./.,smhhvt28121221 這段時(shí)間里在播放暫停停止第3頁/共54頁思考： 何表

3、示？那么問題中變化率該如表示函數(shù)關(guān)系用如果上述兩個(gè)問題中的,xf ,1212xxxfxf第4頁/共54頁新授：一、函數(shù)的平均變化率 的到從數(shù)我們把這個(gè)式子稱為函若有211212,xxxfxxxfxf平平均均變變化化率率,1212xxxxxx即表示習(xí)慣上用)(y12xxff）（類似地，,.yx于是 平均變化率可表示為第5頁/共54頁注：;,) 1相乘與而不是是一個(gè)整體符號xxxxxxx121,)2即，的一個(gè)“增量”可看作是相對于那么，函數(shù)的平均變化率還可以表示為：xxfxxf )()(第6頁/共54頁 ?,1 . 1 . 11212表示什么變化率平均圖的圖象觀察函數(shù)思考xxxfxfxyxfOxy

4、 1xf 2xf xfy 12xfxf 12xx 1x2x111 .圖圖直線AB的斜率AB二、函數(shù)的平均變化率的幾何意義第7頁/共54頁例 (1) 計(jì)算函數(shù) f (x) = 2 x +1在區(qū)間 3 , 1上的平均變化率 ；(2) 求函數(shù)f (x) = x2 +1的平均變化率。(1)解：y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2422yx(2)解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2 22()2yx xxxxxx 第8頁/共54頁D3.求y=x2在x=x0附近的平均變化率. 2.t2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=t +3,則在時(shí)間(3,3+ t)中相應(yīng)的平均速度為( )

5、9A. 6+ t B. 6+ t+ C.3+ t D.9+ tA第9頁/共54頁l2.求函數(shù)的平均變化率的步驟: (1)求函數(shù)的增量：y=f(x2)-f(x1); (2)計(jì)算平均變化率：1212)()( y xxxfxfx1212)()( y xxxfxfx第10頁/共54頁1.1 變化率與導(dǎo)數(shù)1.1 .2導(dǎo)數(shù)的概念第11頁/共54頁探究一： 在高臺跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí) 間段內(nèi)的平均速度粗略 地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?hto第12頁/共54頁 65049,:1?2?t探究

6、計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度 并思考下面的問題運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎第13頁/共54頁探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知， ，所以，) 0 ()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv雖然運(yùn)動(dòng)員在 這段時(shí)間里的平均速度為 ，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)49650 t)/(0msthO65496598t 第14頁/共54頁又如何求瞬時(shí)速度呢?我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.第15頁/共54頁 .,.,;,.,.可

7、以得到如下表格內(nèi)平均速度和區(qū)間計(jì)算區(qū)間之后在時(shí)當(dāng)之前在時(shí)當(dāng)?shù)粸橐部梢允秦?fù)值正值可以是是時(shí)間的改變量任意取一個(gè)時(shí)刻之前或之后在附近的情況我們先考察vtttttttttt 22222202200222探究二：第16頁/共54頁t0時(shí)時(shí), 在在2, 2 +t 這段時(shí)這段時(shí)間內(nèi)間內(nèi)1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051v 當(dāng)t = 0.01時(shí),13.149v 當(dāng)t = 0.01時(shí),0951.13v當(dāng)t = 0.001時(shí),1049.13v當(dāng)t =0.001時(shí),13.09951v 當(dāng)t = 0.0001時(shí),13.10049v 當(dāng)t =0.0001時(shí),099951.13vt = 0.

8、00001,100049.13vt = 0.00001,13.0999951v t = 0.000001,13.1000049v t =0.000001, 平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.l如何精確地刻畫曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢呢?105 . 69 . 4)(2ttth當(dāng)t趨近于0時(shí),平均速度有什么變化趨勢?第17頁/共54頁.,1132220 個(gè)確定的值平均速度都趨近于一時(shí)一邊趨近于還是從大于的一邊從小于即無論時(shí)趨近于當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)tt./.,.,|,smttvt11322 時(shí)的瞬時(shí)速度是員在運(yùn)動(dòng)因此時(shí)的瞬時(shí)速度就無限趨近于速度平均無限變小時(shí)時(shí)間間隔從物理的角度看第18頁/共54

9、頁 .,.lim,11302113220 定值趨近于確平均速度時(shí)趨勢近于當(dāng)表示我們用為了表述方便vttththt .時(shí)的極限時(shí)的極限趨近于趨近于當(dāng)當(dāng)是是我們稱確定值我們稱確定值022113tthth 那么,運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度?0lim t00()( )h tth tt 第19頁/共54頁定義:函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000稱為函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的導(dǎo)數(shù), 記作0000( )() ()lim. xf xxf xfxx )(0 xf 或 , 即0|xxy。其導(dǎo)數(shù)值一般也不相同的

10、值有關(guān)，不同的與000)(. 1xxxf 的具體取值無關(guān)。與 xxf)(. 20一概念的兩個(gè)名稱。瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)是同. 3注：號一致性時(shí)，注意分子分母的符在求x y. 4 第20頁/共54頁設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則 ()Af(x0)Bf(x0)Cf(x0) Df(x0)C例第21頁/共54頁跟蹤訓(xùn)練1.第22頁/共54頁2設(shè)f(x)在x0處可導(dǎo)，下列式子中與f(x0)相等的是()B第23頁/共54頁由導(dǎo)數(shù)的定義可知, 求函數(shù) y = f (x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法:1. 求函數(shù)的改變量2. 求平均變化率3. 求值);()(00 xfxxfy.lim)(00 xyxfx;)()(00 xxf

11、xxfxy一差、二比、三極限第24頁/共54頁例1. (1)求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).(2)求函數(shù)f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) (3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點(diǎn)在t=3的瞬時(shí)速度.典例分析第25頁/共54頁 .,62).80(157:,.,220并說明它們的意義的瞬時(shí)變化率原油溫度時(shí)和第計(jì)算第為單位的溫度原油時(shí)如果在和加熱行冷卻油進(jìn)對原需要品產(chǎn)柴油、塑膠等各種不同將原油精煉為汽油、例hhxxxxfCxh,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義 xfxfxy22 .6f和 262,fhh就是原油溫度的瞬時(shí)變化率時(shí)和第在第解 xxx152721527222 第26頁

12、/共54頁, 3742 xxxxx , 33limlim2,00 xxyfxx所以 .56 f同理可得.運(yùn)運(yùn)算算過過程程請請同同學(xué)學(xué)們們自自己己完完成成具具體體./,;/,.,的速率上升原油溫度大約以附近在率下降的速原油溫度大約以附近它說明在第與分別為原油溫度的瞬時(shí)變化率時(shí)與第在第hChhChhh0056325362 .,情況附近的變化反映了原油溫度在時(shí)刻一般地00 xxf第27頁/共54頁由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟：（1）求函數(shù)的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均變化率（3）求極限yx00()limxyfxx 第28頁/共54頁第29頁/共54頁1.1 變化率與導(dǎo)數(shù)1.

13、1 .3導(dǎo)數(shù)的幾何意義第30頁/共54頁 ?,.,0000的幾何意義是什么呢導(dǎo)數(shù)么那附近的變化情況在數(shù)反映了函處的瞬時(shí)變化率在表示函數(shù)導(dǎo)數(shù)我們知道xfxxxfxxxfxf第31頁/共54頁探究：y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點(diǎn),Q(x0+x,y0+y)為P鄰近一點(diǎn),PQ為C的割線,PM/x軸,QM/y軸,為PQ的傾斜角.tan,: xyyMQxMP則則yx請問：是割線PQ的什么?斜率!第32頁/共54頁P(yáng)Qoxyy=f(x)割線切線T請看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí),割線PQ繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的

14、情況.第33頁/共54頁 我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即x0時(shí),割線PQ有一個(gè)確定位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線. 設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)x0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即:00000()()()limlimxxf xxf xykfxxx 切線 這個(gè)概念:提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).切線定義：第34頁/共54頁要注意,曲線在某點(diǎn)處的切線: 1) 與該點(diǎn)的位置有關(guān);2) 要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在 此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3) 曲線的切線,

15、并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn), 可以有多個(gè),甚至可以無窮多個(gè).PQoxyy=f(x)割線切線T切線定義解析：第35頁/共54頁導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線 y=f(x)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0)處的切線的斜率.即:0()kfx切線 故曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0)處的切線方程是:)()(000 xxxfxfy /000/0/01y=f(x)P(x ,f(x )f (x )y 2f (x )0,Xf (x )0,X注注：（ ）若若曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在，就就是是切切線線與與 軸軸平平行行。（ ）切切線線與與軸軸正正方方向向

16、夾夾角角為為銳銳角角，切切線線的的斜斜率率為為正正，切切線線與與軸軸正正方方向向夾夾角角為為鈍鈍角角，切切線線的的斜斜率率為為負(fù)負(fù)。第36頁/共54頁 .,.105 . 69 . 4, 31 . 12102附近的變化情況在述、比較曲線請描據(jù)圖象根圖象的數(shù)時(shí)間變化的函示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨它表如圖例tttthttth0l1l2lthO0t1t2t311 .圖圖.,的變化情況的變化情況刻畫曲線在動(dòng)點(diǎn)附近刻畫曲線在動(dòng)點(diǎn)附近利用曲線在動(dòng)點(diǎn)的切線利用曲線在動(dòng)點(diǎn)的切線 .,變化情況在上述三個(gè)時(shí)刻附近的線刻畫曲處的切線在我們用曲線解thtttxh210第37頁/共54頁 .,.,幾乎沒有升降較平坦附近曲線比在所

17、以軸平行于處的切線在曲線時(shí)當(dāng)00001ttxltthtt .,.,附近單調(diào)遞減在即函數(shù)降附近曲線下在所以的斜率處的切線在曲線時(shí)當(dāng)11111102ttthttthltthtt .,.,單調(diào)遞減附近也在即函數(shù)附近曲線下降在所以的斜率處的切線在曲線時(shí)當(dāng)12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得緩慢附近比在在這說明曲線程度的傾斜的傾斜程度小于直線直線可見從圖2121311ttthll 0l1l2lthO0t1t2t311 .圖圖第38頁/共54頁00()( )( )limlimxxyf xxf xfxyxx 在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的導(dǎo) 函 數(shù)在點(diǎn) 處的函數(shù)值函數(shù)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí),f(x0) 是一個(gè)確定的數(shù).那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).即:第39頁/共54頁例1第40頁/共54頁第41頁/共54頁第42頁/共54頁第43頁/共54頁例2第44頁/共54頁第45頁/共54頁第46頁/共54頁第47頁/共54頁精彩推薦典例展示例3題型三求曲線過某點(diǎn)的切線方程第48頁/共54頁第49頁/