建筑力學第2章

1、第第2章章 平面匯交力系平面匯交力系內容提要本章主要介紹了用解析法推出的平面匯交力系平衡條件，以及平衡條件的應用。2.1 平面匯交力系的概念和實例平面匯交力系的概念和實例2.1.1 概念概念實際工程中，作用在構件或結構上的力系是多種多樣的。但是，按照力作用線的分布情況，主要分為兩類力系：凡各力的作用線都在同一平面內的力系稱為平面力系平面力系；凡各力的作用線不在同一平面內的力系，稱為空間力系空間力系。在平面力系中， 各力作用線交于一點的力系，稱為平面匯交力系平面匯交力系；各力作用線互相平行的力系，稱為平面平行力系平面平行力系；各力作用線任意分布的力系，稱為平面一般力系平面一般力系。 tatbt、

2、t2.1.2 實際工程中的平面匯交力系問題實際工程中的平面匯交力系問題平面匯交力系是力系中最簡單的一種，在工程中有很多實例。例如，起重機起吊重物時(圖2-1a)，作用于吊鉤c的三根繩索的拉力都在同一平面內，且匯交于點，就組成了平面匯交力系(圖2-1b)。又如三角支架當不計桿的自重時(圖2-2a)，作用于鉸b上的三個力fn1、fn2、 也組成平面匯交力系(圖2-2b)。 圖2-1 圖2-2又如圖2-3所示的屋架，它通常被看作為由一些在其兩端用光滑圓柱鉸互相連接的直桿組成，而且由于各桿的自重比屋架所承受的各個荷載小很多而可忽略不計，因此每根直桿都在作用于其兩端的兩個力的作用下處于平衡。 圖2-3當

3、以各個鉸結點(或稱節(jié)點)為研究對象時，與結點相連接的各桿作用于該節(jié)點上的力也組成一個平面匯交力系。例如，圖2-3b)就是結點c的受力圖，它構成了一個平面匯交力系。 圖2-3研究平面匯交力系，一方面可以解決一些簡單的工程實際問題，另一方面也為研究更復雜的力系打下基礎。2.2 平面匯交力系的合成平面匯交力系的合成平面匯交力系的合成問題可以采用幾何法和解析法進行研究。其中，平面匯交力系的幾何法具行直觀、簡捷的優(yōu)點，但其精確度較差，在力學中用得較多的還是解析法。這種方法是以力在坐標軸上的投影的計算為基礎。or2.2.1用解析法求平面匯交力系的合力用解析法求平面匯交力系的合力我們在第一章已討論了力在坐標

4、軸上的投影規(guī)則和方法?，F在 我們來討論匯交力系各力投影與匯交力系合力投影之間的關系。設有一平面匯交力系f1、f2、f3作用在物體的 點，如圖。根據平行四邊形法則可求得該力系的合力 。123ir f fff321xxxxfffr12xxxxnxirffff因此可得 這一關系可推廣到任意匯交力的情形，即由此可見，合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數和軸上投影的代數和。這就是合力投影定理。（2-2）123yyyyrfff12yyyynyirffff2222()()tanxyxiyiyyxxrrrfffrrf從圖2-5中的幾何關系可知，合力r的大小

5、和方向可由下式確定： （2-3） 圖2-5 式中 為合力r與x軸所夾的銳角， 角在哪個象限由 和 的正負號來確定。xfyf0xxrf1230cos25cosfffa3224020 40 0.90634f370.3fkn圖2-7 解得 即解： 取直角坐標系如圖所示。因已知合力r沿y軸向下，故rx=0，ry= -r。由式(2-2)知，得例2-1 如圖2-7所示，已知f1=20kn，f2=40kn，如果三個力f1、f2、f3的合力r沿鉛垂向下，試求力f3和r的大小。23220sin25sin340 0.42370.33459.1yyrfffkn 圖2-7 又由 2259.1xyrrrkn【例】【例】

6、固定于墻內的環(huán)形螺釘上，作用有3個力 ，各力的方向如圖所示，各力的大小分別為 ， ， 。試求螺釘作用在墻上的力。解：要求螺釘作用在墻上的力可先求作用在螺釘上所有力的合力。12ff、 、3f13fkn24fkn35fkn123045cos308.33xxixxxrffffkn根據力的平衡可知，墻給螺釘的作用力應與 大小相等方向相反。再根據牛頓第三定律可知，螺釘作用在墻上的力 ，方向與 相同。123305sin300.5yyiyyyrffffkn 22228.33( 0.5)8.345xyrrrkn 8.33cos0.9988.345xrr3.6r8.345rrkn r0)()(22yxffr2)

7、(xf2)(yf00yxff2.3 平面匯交力系平衡條件平面匯交力系平衡條件從上面章節(jié)可知，平面匯交力系合成的結果是一個合力。顯然物體在平面匯交力系的作用下保持平衡，則該力系的合力應等于零；反之，如果該力系的合力等于零，則物體在該力系的作用下，必然處于平衡。所以，平面匯交力系平衡的必要和充分條件是平面匯交力系的合力等平面匯交力系平衡的必要和充分條件是平面匯交力系的合力等于零于零。而根據式（2-3)的第一式可知上式與恒為正數，要使r=0，必須且只須所以平面匯交力系平衡的必要和充分的解析條件是：平面匯交力系平衡的必要和充分的解析條件是：力系中所有各力力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上的投影的代數

8、和都等于零在兩個坐標軸中每一軸上的投影的代數和都等于零。式(2-4)稱為平面匯交力系的平衡方程。應用這兩個獨立的平衡方程可以求解兩個未知量。 （2-4）2.4 平面匯交力系平衡方程的應用平面匯交力系平衡方程的應用例例2-2 平面剛架在c點受水平力p作用，如圖2-8a)圖所示。已知p=30kn，剛架自重不計，求支座a、b的反力。圖2-8解 取剛架為研究對象，它受到力p、 ra和rb的作用。這三力平衡其作用線必匯交于一點，故可畫出剛架的受力圖如圖2-10b)所示，圖中ra 、rb的指向是假設的。設直角坐標系如圖，列平衡方程 0xf0cosarp530cos233.5()aprakn 0yf0sin

9、abrr15 5arkn 1sin15 5155barrakn 解得 得負號表示ra的實際方向與假設的方向相反。再由 由于列得的數值連同負號一起代入，即將代入，于是得得正號表示rb假設的方向正確。為了形象地表示支座反力的方向，可在反力答數后面加一括號標出反力的實際方向。 時，ra仍按原假設的方向求其投影，故應將上面求 0yf例例2-3 一結構受水平p作用如圖2-11a)所示。不計各桿自重，求三根桿ab、bc、ca所受的力。 解 桿ab、bc、ca兩端鉸接，中間不受力，故三根桿都是二力桿。先取鉸鏈c為研究對象，假定桿ca、bc都受拉，畫出鉸c的受力圖如圖 2-11b)所示。設直角坐標系如圖，列平

10、衡方程 0xf045cos0cbnfp 0yf045sin0ncbncaffpfncb2pfnca2 (a) 由式(a)、(b)解得fncb的結果為負值，表示其指向與假設的相反，桿bc應是受壓；fnca得正號，表示桿ca受拉。再取鉸鏈b為研究對象，假定桿bc、ab受拉，畫出鉸b的受力圖如圖2-11c)所示。桿bc是二力桿，故它對兩端鉸鏈的作用力，應當是大小相等，方向相反，用fnbc表示，fnbc =fncb。 (b) 0xf045cos0nbcnbaff2,nbcfp ppffnbcnba22)2(45cos0設直角坐標系如圖，列平衡方程 原假設桿bc受拉，得正號表示桿ab受拉。通過以上各例的

11、分析，可知用解析法求解平面匯交力系平衡問題的步驟一般如下:1選取研究對象。2畫受力圖 約束反力指向未定者應先假設。3選坐標軸 最好使某一坐標軸與一個未知力垂直，以便簡化計算。4列平衡方程求解未知量 列方程時注意各力的投影的正負號。當求出的未知力為負數時，就表示該力的實際指向與假設的指向相反。 (c)將其代入式(c)，于是得解：選球為研究對象。畫出受力圖。 為 主動力， 為約束力。三力匯交于 點。以球心 為坐標原點，建立圖示坐標系。根據平衡條件建立平衡方程。 【例】重 的球放在與水平成 的光滑斜面上，并用與斜面平行的繩 系住。試求繩 受到的拉力及球對斜面的壓力。1gkn30ababgtn、oo0

12、 xfcos30cos600tn根據作用與反作用定律，繩子所受拉力為 ；球對斜面的壓力為 ，其方向與圖中相反。 也可以沿斜面向上、垂直斜面向上為 軸，則聯立解之，得0yfsin30sin600tng0.866nkn0.50tkn0.50kn0.866kn, x y0 xfcos600tg10.502tgkn由此可見，選擇恰當的坐標系，可使問題求解變得更簡單。 【例】圖所示為起重機起吊一無縫鋼管而處于平衡時的情況。已知鋼管重 ， ，不計吊繩和吊鉤的重量。試求鉛垂吊索和鋼絲繩 、 中的拉力。解：由對稱性可知， 0yfsin600ng30.8662ngkn4gkn60abac12tt0yf12cos

13、4ttgkn124ttkn節(jié)點：【例】簡易絞車如圖所示， 處為鉸鏈連接，鋼絲繩繞過滑輪 將 的重物緩緩吊起。桿件和滑輪重量以及一切摩擦均不計?；?半徑很小，可視為一個點。試求 和 所受的力。解： abc、 、a20qknaabac20tqkn0 xfcos30sin300abacfftsin30cos300acftq0yf以 為坐標原點，建立圖示坐標系。【例】平面剛架如圖所示， 和 為已知，不考慮自重，求支承 和 處的約束反力。 解：選剛架為研究對象。畫出受力圖。因 處為活動鉸，故 的方向豎直向上。 處為固定鉸，其約束反力 方向未知，但因剛架受三力作用平衡，根據三力平衡匯交定理，可知三力必匯

14、交于 點。故 沿 方向，55abfkn75acfknpaadddracaracarctan(2 )26.6aa注意：寫平衡方程時，注意：寫平衡方程時， 的指向是以圖示指向為準，故將的指向是以圖示指向為準，故將 代入代入式時仍保留負號。式時仍保留負號。根據平衡條件建立平衡方程。 （負號表示 的方向與圖中所設的方向相反）0 xf cos26.60apr1.12arp ar0yf sin26.60darr0.448( 0.448) ( 1.12 )0.502darrpp arar小小 結結平面匯交力系是最簡單的力系，也是基本力系之一，它解決問題的方法在其他力系中仍要采用，一定要掌握好。 1平面匯交力

15、系的合成 合成方法有兩種，一是幾何法，二是解析法。幾何法直觀、明了，但不太實用。實際工程中多采用解析法，因此應重點掌握。 2合力投影定理 合力在某軸上的投影等于力系中各力在同一軸上投影的代數和。 3平面匯交力系的平衡條件 (1)平衡的幾何條件是力多邊形自行封閉。(2)平衡的解析條件是力系中各力在兩坐標軸上投影的代數和分別等于零。平衡方程為：0;0 xyff 這兩個方程式相互獨立，可根據計算需要任意選擇。選擇依據是一個方程解出一個未知數，盡量避免聯立方程求解。 4解題步驟 (1)首先進行受力分析，根據解決問題的需要確定研究對象，畫出受力圖；(2)畫出坐標系，列出平衡方程式，在列平衡方程式時要注意

16、力投影的正負號。思考題思考題1. 分力與投影有什么不同?2. 如果平面匯交力系的各力在任意兩個互不平行的坐標軸上投影的代數和等于零，該力系是否平衡?習習 題題2-1 如題2-1圖，某桁架接頭，由四根角鋼焊接在連接扳上而成。已知作用在桿件a和c上的力為fa2kn，fc4kn，并知作用在桿b和d上的fb、fd力作用的方向，該力系匯交于o點。求在平衡狀態(tài)下力fb、fd的值。(答：fb2.83kn,fd3.46kn)。 題2-1圖 題2-2圖2-2 如題2-2圖所示，一個固定在墻壁上的圓環(huán)受三條繩的拉力作用。f1沿水平方向，f2與水平線成400角，f3沿鉛垂方向。三力大小分別為：f1200kn，f22

17、50kn，f3150kn。求這三力的合力。(答：f500kn，(f，f1)38027，(f，f3)51033)題2-4圖題圖2-3 2-3 如題2-3圖，一均質球重w100kn，放在兩個相交的光滑面之間。斜面ab的傾角為450，斜面bc的傾角為2-4 如題2-4圖，用兩根繩子ac和bc懸掛一個重w1kn的物體。繩ac長0.8m，繩bc長1.6m，a、b兩點在同一水平線上，相距2m。求這兩根繩子所受的拉力。(答：fa0.974kn，fb0.684kn)2-5 梁ab的支座如題2-5圖所示。在梁的中點作用一力f2kn，力和梁的軸線成450角。若梁的重量略去不計，試分別求a)和b)兩種情形下的支座反力。(答：a)fa1.58 kn，fb0.71kn b) fa2.16kn，fb0.82kn)題2-5圖-600，求兩斜面的反力fd和fe的大小。2-6 如題2-6圖，壓路機滾子重w20kn，半徑r40cm，今用水平力f拉滾子而欲越過高h8cm的石坎，問f力應至少多大?又若此拉力可取任意方向，問要使拉力為最小時，它與水平線的夾角應為多大?并求此拉力的最小值。(答：f15kn，arctan ，fmin12k