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文檔簡介
1、解析幾何專題系列一:圓錐曲線的基本量問題 考情分析把握方向圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容,是高考的命題的熱點之一,其特點是用代數(shù) 的方法研究和解決幾何問題,所以它是數(shù)形結合思想的典型載體。圓錐曲線的 基本量是江蘇近幾年來高考中的熱點問題,在近三年的高考中均有所體現(xiàn),考 查內(nèi)容如下表所示:高考年份填空題解答題知識點2010 年第6題中心在坐標原點的雙曲線的標準方程、圓錐曲線的統(tǒng)一定義2011 年第18題橢圓的標準方程2012 年第8題第19題雙曲線的性質(zhì)、橢圓的性質(zhì)、直線方程、兩點間的距離公式由上表可以看出,在江蘇近三年的高考中,主要考察的是圓錐曲線的基本量及 其方程(特別是離心率的考查),弱化了
2、直線與圓錐曲線的位置關系,而且又以 橢圓與雙曲線的性質(zhì)考查為主。備考策略提升信心1江蘇高考的圓錐曲線的考查方式與其他新課標地區(qū)不同,淡化雙曲線與拋物 線,淡化直線與圓錐曲線的關系,以橢圓為載體的綜合問題是考查的重點。2. 新型的圓錐曲線的試題主要呈現(xiàn)以下特點:(1)在曲線的準線、漸近線、離 心率上做文章,圍繞圓錐曲線的定義、性質(zhì)、幾何量的含義進行解題,主要考 查處理有關問題的基本技能、基本方法;(2)橢圓處于更加突出的位置,幾乎 所有的解答題都會圍繞橢圓展開;(3)與圓一起出現(xiàn),特別是直線與圓的位置 關系,相切的內(nèi)容更是??純?nèi)容。a,b,c表示關系式中的量,再代入求3. 找出題中的等量關系(或
3、不等關系)利用 解小題訓練激活思維1. 等軸雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,C與拋物線y 25. 已知R、F2分別是橢圓令 乞1的左、右焦點,點P是橢圓上的任意一點,則84|PFpfPF2 |的取值范圍是.答案:02、2 2提示:整體消元;或焦半徑公式(文科學生適當掌握一些焦半徑(橢圓)知識會有幫助)2 26. 設P為雙曲線$ y? 1(a 0,b 0)上除頂點外的的任意一點,F(xiàn)1 , F2分別為左右a b = 4x的準線交于A B兩點,AB = .3,則C的實軸長為匚2 22. 已知雙曲線篤與1(a 0,b 0)的右焦點為F,若以F為圓心的圓a bx2 y2 6x 5 0與此雙曲線的漸近
4、線相切,則該雙曲線的離心率為答案:3 552 23. 設雙曲線 匕1的左、右焦點分別為Fl, F2,點P為雙曲線上位于第一象限45內(nèi)一點,且VPF1F2的面積為6,則點P的坐標為色-勺,25提示:注重方法的選擇2 24. (2012蘇北四市元月)已知橢圓的方程為 篤召1(a b 0),過橢圓的右焦a b點且與x軸垂直的直線與橢圓交于P,Q兩點,橢圓的右準線與x軸交于點M,若PQM為正三角形,則橢圓的離心率為 3點,F(xiàn)1PF2內(nèi)切圓交實軸于點 M則FiM F2M值為. b 2變式訓練:已知B為雙曲線占1(a 0,b 0)的左準線a b與X軸的交點,點A(0,b),若滿足AP 2aB的點P在雙曲線
5、上,則該雙曲線的離心率為 .2變式拓展分類解密題型一:直接求出a,c,求解ea,c易求時,可利用率心率公式e -來解決。a2與1(a b 0)過點P(3,1),其左右焦點分別是b2F1,F2,且F1P F2P 6,則橢圓的離心率為 題型二:構造a、c的齊次式,解出e根據(jù)題設條件,借助 a、b、c之間的關系,構造 a、c的關系(特別是齊二次 式),進而得到關于 e的 一元方程,從而解得離心率 e。2 2例2:已知F1、F2是雙曲線 務 y2 1 ( a 0,b 0 )的兩焦點,以線段F1F2為邊作正三角形 MF1F2,a b若邊MF1的中點在雙曲線上,則雙曲線的離心率是 c解:如圖,設 MF1的
6、中點為P,貝U P的橫坐標為 一,由焦半徑公式 PF1exp a ,22即c cc a,得c2 c2 0,解得a2a ae -13 ( 1、3 舍去)a題型三:采用離心率的定義以及橢圓的定義(或統(tǒng)一定義)求解例3: ( 1)設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是 。說明:本題目的在于強化定義的運用核心問題聚焦突破2 2如圖,在平面直角坐標系xoy中,A,A2,B,B2為橢圓篤 占1(a b 0)的四個頂點,a bF為其右焦點,直線AB?與直線BF相交于點T,線段OT與橢圓的交點M恰為線 段0T的中點,則該橢圓的離心率
7、例1:已知圓錐曲線的標準方程或2(2012揚州期末)已知橢圓 篤a為e 2J 5解: e2ca 2a2c2ci2 iPFi PF22 2c 2c,2 i2(2)設橢圓X2a2當i (ab0,b0)的右焦點為Fi,右準線為li ,若過Fi且垂直于x軸的弦的長等于點Fi到li的距離,貝卩橢圓的離心-y為Fi到準線11的距離,根據(jù)橢圓的第二定義,iAFi 2 AB 丄|AD | AD 2率是 解:如圖所示,AB是過Fi且垂直于x軸的弦, AD li于D,二AD題型四:建立a,c不等關系求解離心率的范圍2 2例4: (i)若雙曲線篤 每i (a 0,b 0) 上橫坐標為竺的點到右焦點的距離a b2大于
8、它到左準線的距離,則雙曲線離心率的取值范圍是 2 2解析:由題意可知(3a -)e (3a -)即3e i 3丄解得e 22 c 2 c 22 e利用圓錐曲線相關性質(zhì)建立a,c不等關系求解.2 2(2)雙曲線篤 嶺i (a0,b 0)的兩個焦點為Fi、F2,若P為其上一點,且 a b|PFi|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為分析:求雙曲線離心率的取值范圍需建立不等關系,題設是雙曲線一點與兩焦 點之間關系應想到用雙曲線第一定義.如何找不等關系呢?解析:T |PFi|=2|PF2|,|PFi|?|PF2|=|PF2|=2a , |PF2| c a 即2a c a3a c所以雙曲線離心率的
9、取值范圍為i e 3點評:本題建立不等關系是難點,如果記住一些雙曲線重要結論(雙曲線上任一點到其對應焦點的距離不小于c a )則可建立不等關系使問題迎刃而解2 2變式訓練:設橢圓篤 爲1的左、右焦點為F1,F2,左準線為I , P為橢圓上一點, a b若四邊形PQF1F2為平行四邊形,則橢圓的離心率的取值范圍PQ I,垂足為Q ,為(丄22(3)已知橢圓篤a2爲1(a b 0)右頂為A,點P在橢圓上,O為坐標原點,且OPb2X0解:設P點坐標為(X0,y0),則有 a22X02 yc_ b2ax0y。20消去y。2得(a22 2b )X03a X0a2b2 0若利用求根公式求X0運算復雜,應注
10、意到方程的一個根為a,由根與系數(shù)關系知ax。2, 2a b72a bXoXo變式訓練:橢圓G :b 0)的兩焦點為Fi( c,0), F2(c,0),橢圓上存在點,亠 UULUV UUUUV M 使 FM F2M0.則橢圓離心率e的取值范圍為解析:設M(x,uumv uuuuv ,y),FM F2My2 c2將y2b2身x2代入得x2a2以a b2Q 0 x2a2求得于e 12 點評:篤 a2 y b21(a b 0)中 I xa,是橢圓中建立不等關系的重要依據(jù),在求解垂直于PA則橢圓的離心率e的取值范圍為參數(shù)范圍問題中經(jīng)常使用,應給予重視.運用函數(shù)思想求解離心率例5:設a 1,則雙曲線2 X
11、 2 a2右1的離心率e的取值范圍是解析:由題意可知e2b 1(a b 0)的左、右焦點分別為題型五:圓錐曲線定義、焦半徑公式的運用2 例6:如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓與 ax(第 19 題)Fi(c, 0), F2(c,0).已知(1,e)和e, -3都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.(i)求橢圓的方程;(2)設A, B是橢圓上位于x軸上方的兩點,且直線AFi O與直線BF2平行,AF2與BF,交于點P.(i )若AFi BF2 -26,求直線AFi的斜率;(ii )求證:PFi PF2是定值.變式訓練:已知某橢圓的交點是F( -4,0 ) ,F2(4,0 ),過點F2且垂直于x軸
12、的直線與 橢圓的一個交點為B,且FiB F2B 10 ,橢圓上不同的兩點A(xi,yi) ,,滿足條件F2A, F2B, F2C成等差數(shù)列。(i)求該橢圓的方程;求弦AC中點的橫坐標?!緦n}總結畫龍點睛】精要歸納:1. 離心率問題的求解方法:(i)建立一個關于a,b,c的齊次等式,再消除b,求出 e ; (2)建立一個關于a,b,c的齊次不等式,再消除b,求出e的范圍;(3)利用 定義或題中蘊含的幾何關系,直接建立等式或不等式來求解 e。(4)在求解圓錐 曲線離心率取值范圍時,一定要認真分析題設條件,合理建立不等關系,把握好圓錐曲線的相關性質(zhì),記住一些常見結論、不等關系,在做題時不斷總結, 擇
13、優(yōu)解題.尤其運用數(shù)形結合時要注意焦點的位置等.2. 圓錐曲線的顯著特點是用代數(shù)的方法解決幾何問題,它的重點是用數(shù)形結合 的思想把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。在圓錐曲線問題中轉(zhuǎn)化后常出現(xiàn)多字母的 等式(不等式)的化簡,對字母運算能力要求較高。求圓錐曲線的標準方程包 括“定位”和“定量”兩方面,“定位”是指確定橢圓與坐標系的相對位置,在中心為原點的前提下,確定焦點位于哪條坐標軸上,以判斷方程的形式;“定量”則是確定a2、b2的具體值,常用待定系數(shù)法。專題檢測水到渠成2 2 2x ya1.設點P在橢圓三+ 2= 1(ab0)上,直線l的方程為x=;,且點F的坐a bc標為(一c, 0),作PQL l于點
14、Q若P、F、Q三點構成一個等腰直角三角形,則橢圓的離心率e =22.如圖,已知橢圓篤a2b 1(a b 0)的左、右準線分別為匚,且分別交x軸于C, D兩點,從h上一點A發(fā)出一條光線經(jīng)過橢圓的左焦點 F被x軸反射后與*交于點B,若75,則橢圓的離心率等于 AF BF,且 ABD23.已知雙曲線篤aAR(:gyi1I221,(a 0,b 0)的左,右焦點分別為Fi,F2,點P在雙曲線的右支上,且|PFi| 4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為解:門旳=4冋門|?眄|=3眄22,尸冋c a即& c1 e 53所以雙曲線離心率的取值范圍為24.已知F1 , F2分別為篤a2 了的最小值為8a ,PF22解析 lPF1l(2a El)2 4a2一點,若PFlPF2PF2PF2支上存在一點P,使PF22a,5. ( 11年蘇北四市二模).5a 一 a c3(a 0,b 0)的左、右焦點,P為雙曲線右支上任則該雙曲線的離心率的取值范圍是PF2 4a2.4a2 4a 8a,欲使最小值為8a,需右c a 即 2a c a所以 1 e 3.2 2-x y2= 1(a b 0) -a bPQL l,垂足為Q e的取值范圍是在平面直角坐標系 xOy中,橢圓二+ A, P是橢圓上一點,I為左準線,的左焦點為F
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