最后沖刺系列解析幾何專題系列一圓錐曲線的基本量問題

1、解析幾何專題系列一：圓錐曲線的基本量問題 考情分析把握方向圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，是高考的命題的熱點(diǎn)之一，其特點(diǎn)是用代數(shù) 的方法研究和解決幾何問題，所以它是數(shù)形結(jié)合思想的典型載體。圓錐曲線的 基本量是江蘇近幾年來高考中的熱點(diǎn)問題，在近三年的高考中均有所體現(xiàn)，考 查內(nèi)容如下表所示：高考年份填空題解答題知識(shí)點(diǎn)2010 年第6題中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的統(tǒng)一定義2011 年第18題橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2012 年第8題第19題雙曲線的性質(zhì)、橢圓的性質(zhì)、直線方程、兩點(diǎn)間的距離公式由上表可以看出，在江蘇近三年的高考中，主要考察的是圓錐曲線的基本量及 其方程（特別是離心率的考查），弱化了

2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，而且又以 橢圓與雙曲線的性質(zhì)考查為主。備考策略提升信心1江蘇高考的圓錐曲線的考查方式與其他新課標(biāo)地區(qū)不同，淡化雙曲線與拋物 線，淡化直線與圓錐曲線的關(guān)系，以橢圓為載體的綜合問題是考查的重點(diǎn)。2. 新型的圓錐曲線的試題主要呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：（1）在曲線的準(zhǔn)線、漸近線、離 心率上做文章，圍繞圓錐曲線的定義、性質(zhì)、幾何量的含義進(jìn)行解題，主要考 查處理有關(guān)問題的基本技能、基本方法；（2）橢圓處于更加突出的位置，幾乎 所有的解答題都會(huì)圍繞橢圓展開；（3）與圓一起出現(xiàn)，特別是直線與圓的位置 關(guān)系，相切的內(nèi)容更是常考內(nèi)容。a,b,c表示關(guān)系式中的量，再代入求3. 找出題中的等量關(guān)系（或

3、不等關(guān)系）利用 解小題訓(xùn)練激活思維1. 等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y 25. 已知R、F2分別是橢圓令 乞1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則84|PFpfPF2 |的取值范圍是.答案：02、2 2提示：整體消元；或焦半徑公式（文科學(xué)生適當(dāng)掌握一些焦半徑（橢圓）知識(shí)會(huì)有幫助）2 26. 設(shè)P為雙曲線$ y? 1（a 0,b 0）上除頂點(diǎn)外的的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1 , F2分別為左右a b = 4x的準(zhǔn)線交于A B兩點(diǎn)，AB = .3,則C的實(shí)軸長(zhǎng)為匚2 22. 已知雙曲線篤與1（a 0,b 0）的右焦點(diǎn)為F,若以F為圓心的圓a bx2 y2 6x 5 0與此雙曲線的漸近

4、線相切，則該雙曲線的離心率為答案：3 552 23. 設(shè)雙曲線 匕1的左、右焦點(diǎn)分別為Fl, F2，點(diǎn)P為雙曲線上位于第一象限45內(nèi)一點(diǎn)，且VPF1F2的面積為6，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為色-勺,25提示：注重方法的選擇2 24. （2012蘇北四市元月）已知橢圓的方程為 篤召1（a b 0），過橢圓的右焦a b點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，若PQM為正三角形，則橢圓的離心率為 3點(diǎn)，F(xiàn)1PF2內(nèi)切圓交實(shí)軸于點(diǎn) M則FiM F2M值為. b 2變式訓(xùn)練：已知B為雙曲線占1(a 0,b 0)的左準(zhǔn)線a b與X軸的交點(diǎn)，點(diǎn)A(0,b)，若滿足AP 2aB的點(diǎn)P在雙曲線

5、上，則該雙曲線的離心率為 .2變式拓展分類解密題型一：直接求出a,c，求解ea,c易求時(shí)，可利用率心率公式e -來解決。a2與1(a b 0)過點(diǎn)P(3,1)，其左右焦點(diǎn)分別是b2F1,F2，且F1P F2P 6，則橢圓的離心率為 題型二：構(gòu)造a、c的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助 a、b、c之間的關(guān)系，構(gòu)造 a、c的關(guān)系(特別是齊二次 式)，進(jìn)而得到關(guān)于 e的 一元方程，從而解得離心率 e。2 2例2:已知F1、F2是雙曲線 務(wù) y2 1 ( a 0,b 0 )的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形 MF1F2,a b若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是 c解：如圖，設(shè) MF1的

6、中點(diǎn)為P，貝U P的橫坐標(biāo)為 一，由焦半徑公式 PF1exp a ,22即c cc a，得c2 c2 0，解得a2a ae -13 ( 1、3 舍去)a題型三：采用離心率的定義以及橢圓的定義(或統(tǒng)一定義)求解例3： ( 1)設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 。說明：本題目的在于強(qiáng)化定義的運(yùn)用核心問題聚焦突破2 2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A,A2,B,B2為橢圓篤 占1(a b 0)的四個(gè)頂點(diǎn)，a bF為其右焦點(diǎn)，直線AB?與直線BF相交于點(diǎn)T,線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線 段0T的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率

7、例1:已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或2(2012揚(yáng)州期末)已知橢圓 篤a為e 2J 5解: e2ca 2a2c2ci2 iPFi PF22 2c 2c,2 i2(2)設(shè)橢圓X2a2當(dāng)i (ab0,b0)的右焦點(diǎn)為Fi，右準(zhǔn)線為li ,若過Fi且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)Fi到li的距離，貝卩橢圓的離心-y為Fi到準(zhǔn)線11的距離，根據(jù)橢圓的第二定義,iAFi 2 AB 丄|AD | AD 2率是 解：如圖所示，AB是過Fi且垂直于x軸的弦， AD li于D，二AD題型四：建立a,c不等關(guān)系求解離心率的范圍2 2例4： (i)若雙曲線篤 每i (a 0,b 0) 上橫坐標(biāo)為竺的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離a b2大于

8、它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是 2 2解析：由題意可知(3a -)e (3a -)即3e i 3丄解得e 22 c 2 c 22 e利用圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)建立a,c不等關(guān)系求解.2 2(2)雙曲線篤 嶺i (a0,b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi、F2,若P為其上一點(diǎn)，且 a b|PFi|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為分析：求雙曲線離心率的取值范圍需建立不等關(guān)系，題設(shè)是雙曲線一點(diǎn)與兩焦 點(diǎn)之間關(guān)系應(yīng)想到用雙曲線第一定義.如何找不等關(guān)系呢？解析：T |PFi|=2|PF2|,|PFi|?|PF2|=|PF2|=2a , |PF2| c a 即2a c a3a c所以雙曲線離心率的

9、取值范圍為i e 3點(diǎn)評(píng)：本題建立不等關(guān)系是難點(diǎn)，如果記住一些雙曲線重要結(jié)論(雙曲線上任一點(diǎn)到其對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)的距離不小于c a )則可建立不等關(guān)系使問題迎刃而解2 2變式訓(xùn)練：設(shè)橢圓篤 爲(wèi)1的左、右焦點(diǎn)為F1,F2，左準(zhǔn)線為I , P為橢圓上一點(diǎn), a b若四邊形PQF1F2為平行四邊形，則橢圓的離心率的取值范圍PQ I，垂足為Q ,為(丄22(3)已知橢圓篤a2爲(wèi)1(a b 0)右頂為A,點(diǎn)P在橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OPb2X0解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(X0,y0),則有 a22X02 yc_ b2ax0y。20消去y。2得(a22 2b )X03a X0a2b2 0若利用求根公式求X0運(yùn)算復(fù)雜，應(yīng)注

10、意到方程的一個(gè)根為a,由根與系數(shù)關(guān)系知ax。2, 2a b72a bXoXo變式訓(xùn)練：橢圓G :b 0)的兩焦點(diǎn)為Fi( c,0), F2(c,0)，橢圓上存在點(diǎn)，亠 UULUV UUUUV M 使 FM F2M0.則橢圓離心率e的取值范圍為解析：設(shè)M(x,uumv uuuuv ,y),FM F2My2 c2將y2b2身x2代入得x2a2以a b2Q 0 x2a2求得于e 12 點(diǎn)評(píng)：篤 a2 y b21(a b 0)中 I xa，是橢圓中建立不等關(guān)系的重要依據(jù)，在求解垂直于PA則橢圓的離心率e的取值范圍為參數(shù)范圍問題中經(jīng)常使用，應(yīng)給予重視.運(yùn)用函數(shù)思想求解離心率例5:設(shè)a 1，則雙曲線2 X

11、 2 a2右1的離心率e的取值范圍是解析：由題意可知e2b 1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為題型五：圓錐曲線定義、焦半徑公式的運(yùn)用2 例6：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓與 ax（第 19 題）Fi(c, 0), F2(c,0).已知(1,e)和e, -3都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.(i)求橢圓的方程;(2)設(shè)A, B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AFi O與直線BF2平行，AF2與BF,交于點(diǎn)P.(i )若AFi BF2 -26，求直線AFi的斜率;(ii )求證：PFi PF2是定值.變式訓(xùn)練：已知某橢圓的交點(diǎn)是F( -4,0 ) ,F2(4,0 ),過點(diǎn)F2且垂直于x軸

12、的直線與 橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且FiB F2B 10 ,橢圓上不同的兩點(diǎn)A(xi,yi) ,，滿足條件F2A, F2B, F2C成等差數(shù)列。(i)求該橢圓的方程；求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)?！緦ｎ}總結(jié)畫龍點(diǎn)睛】精要?dú)w納：1. 離心率問題的求解方法：(i)建立一個(gè)關(guān)于a,b,c的齊次等式，再消除b，求出 e ; (2)建立一個(gè)關(guān)于a,b,c的齊次不等式，再消除b，求出e的范圍；(3)利用 定義或題中蘊(yùn)含的幾何關(guān)系，直接建立等式或不等式來求解 e。(4)在求解圓錐 曲線離心率取值范圍時(shí)，一定要認(rèn)真分析題設(shè)條件，合理建立不等關(guān)系，把握好圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，記住一些常見結(jié)論、不等關(guān)系，在做題時(shí)不斷總結(jié)， 擇

13、優(yōu)解題.尤其運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)要注意焦點(diǎn)的位置等.2. 圓錐曲線的顯著特點(diǎn)是用代數(shù)的方法解決幾何問題，它的重點(diǎn)是用數(shù)形結(jié)合 的思想把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。在圓錐曲線問題中轉(zhuǎn)化后常出現(xiàn)多字母的 等式(不等式)的化簡(jiǎn)，對(duì)字母運(yùn)算能力要求較高。求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程包 括“定位”和“定量”兩方面，“定位”是指確定橢圓與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在中心為原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式；“定量”則是確定a2、b2的具體值，常用待定系數(shù)法。專題檢測(cè)水到渠成2 2 2x ya1.設(shè)點(diǎn)P在橢圓三+ 2= 1(ab0)上，直線l的方程為x=；，且點(diǎn)F的坐a bc標(biāo)為(一c, 0)，作PQL l于點(diǎn)

14、Q若P、F、Q三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，則橢圓的離心率e =22.如圖，已知橢圓篤a2b 1(a b 0)的左、右準(zhǔn)線分別為匚，且分別交x軸于C, D兩點(diǎn)，從h上一點(diǎn)A發(fā)出一條光線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn) F被x軸反射后與*交于點(diǎn)B，若75，則橢圓的離心率等于 AF BF，且 ABD23.已知雙曲線篤aAR(:gyi1I221,(a 0,b 0)的左，右焦點(diǎn)分別為Fi,F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PFi| 4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為解：門旳=4冋門|?眄|=3眄22,尸冋c a即& c1 e 53所以雙曲線離心率的取值范圍為24.已知F1 , F2分別為篤a2 了的最小值為8a ,PF22解析 lPF1l(2a El)2 4a2一點(diǎn)，若PFlPF2PF2PF2支上存在一點(diǎn)P,使PF22a，5. ( 11年蘇北四市二模).5a 一 a c3(a 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任則該雙曲線的離心率的取值范圍是PF2 4a2.4a2 4a 8a，欲使最小值為8a，需右c a 即 2a c a所以 1 e 3.2 2-x y2= 1(a b 0) -a bPQL l，垂足為Q e的取值范圍是在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓二+ A, P是橢圓上一點(diǎn)，I為左準(zhǔn)線，的左焦點(diǎn)為F