2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)基礎(chǔ)練習(xí)1.4.2《用空間向量研究距離、夾角問題(2)》（解析版）

1、1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題(2) -A基礎(chǔ)練一、選擇題1.若平面的一個(gè)法向量為n1=(1,0,1),平面的一個(gè)法向量是n2=(-3,1,3),則平面與所成的角等于()A.30B.45C.60D.90【答案】D【解析】因?yàn)閚1n2=(1,0,1)(-3,1,3)=0,所以,即平面與所成的角等于90.2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),則直線AB和直線CD所成角的余弦值為()A.52266B.-52266 C.52222D.-52222【答案】A【解析】AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),而cosAB,CD=ABCD|A

2、B|CD|=5322=52266,故直線AB和CD所成角的余弦值為52266.3.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,則AA1與平面AB1C1所成角的大小為()A.30B.45C.60D.90【答案】A【解析】取AB的中點(diǎn)D,連接CD,分別以DA,DC,DE所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,3,3),設(shè)平面AB1C1的法向量為m=(a,b,c),根據(jù)mAB1=0,mAC1=0,解得m=(3,-3,2),cos=mAA1|m|AA

3、1|=12.故AA1與平面AB1C1所成角的大小為30,故選A.4（2020浙江省高二期末）在底面為銳角三角形的直三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（ ）ABCD【答案】A【解析】由題可知，直三棱柱的底面為銳角三角形，是棱的中點(diǎn)，設(shè)三棱柱是棱長(zhǎng)為的正三棱柱，以為原點(diǎn)，在平面中，過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，平面的法向量，設(shè)平面的法向量，則，取，得，二面角的平面角為，由圖可知，為銳角，即，由于在區(qū)間上單調(diào)遞減，則.故選：A.5（多選題）（2020江西宜春二中高二月考）正三棱柱中，則

4、（ ）A與底面的成角的正弦值為B與底面的成角的正弦值為C與側(cè)面的成角的正弦值為D與側(cè)面的成角的正弦值為【答案】BC【解析】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，并連接，則，三條直線兩兩垂直，則分別以這三條直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；設(shè)；則；，1，1，；，0，底面的其中一個(gè)法向量為：，與底面的成角的正弦值為，；錯(cuò)對(duì)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，；側(cè)面的其中一個(gè)法向量為：；與側(cè)面的成角的正弦值為：，；故對(duì)錯(cuò)；故選：6（多選題）（2020江蘇鎮(zhèn)江二中高二期末）如圖，已知四棱錐中，平面，底面為矩形，.若在直線上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，使得直線與平面所成角都為.則實(shí)數(shù)的值為（ ）ABCD【答案】ABC【解析】假設(shè)在直線BC上有

5、一點(diǎn)Q，使得直線PQ與平面ABCD所成角為，此時(shí)，易得，在中，由于，可得.所以，在直線BC上存在兩個(gè)不同點(diǎn)Q，使得直線PQ與平面ABCD所成角都為，等價(jià)于在直線BC上有兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離為，由此可得.故選：ABC二、填空題7（2020全國(guó)高二課時(shí)練）在直三棱柱中,若 ，則異面直線與所成的角等于_.【答案】【解析】三棱柱為直三棱柱,且 以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為 軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則 , ,，又 異面直線所成的角在 異面直線與所成的角等于 8.已知正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA平面ABCD,若PA=PB,則平面PAB與平面PCD的夾角為_.【答案】【解析】如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)

6、系.設(shè)PA=AB=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),AD=(0,1,0).取PD的中點(diǎn)E,則E0,12,12,AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的一個(gè)法向量,AE是平面PCD的一個(gè)法向量,所以cos=22,故平面PAB與平面PCD的夾角為45.9（2020浙江省紹興市陽(yáng)明中學(xué)高二期中）如圖，在底面邊長(zhǎng)均為2，高為1的長(zhǎng)方體中，E、F分別為、的中點(diǎn)，則異面直線、所成角的大小為_；平面與平面所成銳二面角的余弦值為_.【答案】； 【解析】以D為原點(diǎn)建立如圖所示空間之間坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)異面直線、所成角的大小為，所以，因?yàn)?，所?又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，則，即，

7、令，則，平面一個(gè)法向量為：，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以.故答案為：；10（2020河北正定三中學(xué)校高二月考（理）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上，記.當(dāng)為銳角時(shí)，的取值范圍是_【答案】【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由得，則，因?yàn)闉殇J角，所以，解得或，又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上，所以的取值范圍為.三、解答題11.如圖所示,四邊形ABCD是直角梯形,ABC=BAD=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC與平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD夾角的余弦值.【解析】 (1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,S(0,0,2),

8、C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,-2),AB平面SAD,故平面ASD的一個(gè)法向量為AB=(0,2,0),設(shè)SC與平面ASD所成的角為,則sin =|cos|=|SCAB|SC|AB|=33,故cos =63,即SC與平面ASD所成角的余弦值為63.(2)平面SAB的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),SC=(2,2,-2),SD=(1,0,-2),設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),由SCn=0,SDn=0x+y-z=0,x-2z=0,令z=1可得平面SCD的一個(gè)法向量為n=(2,-1,1),設(shè)平面SAB和平面SCD的夾角為,則cos =|mn|m|n|=63,即平面

9、SAB和平面SCD夾角的余弦值為63.12.（2020四川南充一中高二月考）如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PBC平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,且BCD=4,PDBC.(1)求證:PC=PD;(2)若底面ABCD是菱形,PA與平面ABCD所成的角為6,求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值.【解析】(1)如圖,過P作PEBC,垂足為E,連接DE.圖因?yàn)槠矫鍼BC平面ABCD,所以PE平面ABCD.因?yàn)镻DBC,所以BC平面PDE,所以DEBC.因?yàn)锽CD=4,所以DE=CE.在PED和PEC中,PE=PE,PED=PEC=90,DE=CE,所以PEDPEC,所以PD=PC.(2)因?yàn)锽C平面PDE,PE平面ABCD,所以PAE是直線PA與平面ABCD所成的角,即PAE=6,且DEBC,DEPE.設(shè)PE=a,則AE=3a,PA=2a.在DEC中,設(shè)DE=m,則EC=m,DC=2m,所以在RtEDA中,(3a)2=m2+(2m)2,所以m=a.以E為坐標(biāo)原點(diǎn),ED,EB,EP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,圖則D(a,0,0),A(a,2a,0),P(0,0,a),則平面PBC的一個(gè)法向量為a=(1,0,